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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第03讲 乘法公式
要点一、平方差公式
1.平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.平方差公式的几种常见变化及应用
变化公式 应用举例
（1）位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=
（2）符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)==-
（3）系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=-=9-4
（4）指数变化 (+)(-)==-
（5）增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=-
（6）连用公式 (a+b)(a-b)(+)=(-)(+)=-
（7）曾因式变化 (-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[](-)=
特别提醒：公式特征
1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
3.理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式.
要点二、平方差公式的验证
平方差公式的几何意义
边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为a+b,宽为a-b，面积为(a+b)(a-b).因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以(a+b)(a-b)=
特别提醒：
利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示.
要点三、完全平方公式
1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
即用字母表示为：=±2ab+
2.完全平方公式的几种常见变化公式
（1）+=-2ab=+2ab
（2）=+4ab
（3）=-4ab
（4）+=2(+)
（5）-=4ab
（6）ab=[-(+)]=[-)]
（7）+++2ab+2ac+2bc
特别解读：
1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.
2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.
要点四、完全平方公式的验证
1.验证=+2ab+ 如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即+ab+ba+，所以=+ab+ba+=+2ab+.
2.验证=-2ab+ 如图，阴影部分的面积可以表示为=，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以=-(a-b)·b-(a-b)·b=-2ab+
特别解读：
利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积.
要点五、利用乘法公式进行整式的混合运算
1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算.
2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.
特别解读：
1.添括号只是一个变式，不改变式子的值.
2.添括号是否正确，可利用去括号检验.
【考点1】运算平方差公式进行运算
【例1】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
； （2）；
（3）； （4）．
【变式1】（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ）
A、 B．
C． D．
【变式2】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若，，则与的等量关系是 （结果不含，）．
【考点2】构造平方差公式进行运算
【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）求的个位数字．
【变式1】（2023上·湖北·九年级校考周测）设，则以下四个选项中最接近的整数为（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【变式2】（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算： ．
【考点3】平方差公式中的整体思想
【例3】（2023上·全国·八年级专题练习）在下列等式中，A和B应表示什么式子？
（1）；
（2）．
【变式1】（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习），则 ．
【考点4】运用平方差公式化简求值
【例4】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（2022上·江苏南通·八年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．3 D．5
【变式2】（2023上·河南南阳·八年级统考期中）已知，则的值为 ．
【考点5】运用平方差公式进行简便运算
【例5】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：
（1） （2）
【变式1】（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）计算的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式2】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： ．
【考点6】建立平方差公式模型解决实际问题
【例6】（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）操作与探究
（1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）．
① ②
③ ④
思考与创新
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知，，求的值；
②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b）
【变式1】（2023上·四川泸州·八年级校联考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【考点7】运算完全平方公式进行运算
【例7】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
（1） （2）
【变式1】（2024上·上海宝山·七年级统考期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）若，则m的值为 ．
【考点8】应用乘法公式化简求值
【例8】（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知．
（1）______；
（2）求代数式的值．
【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．18
【变式2】（2023上·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，则的值是 ．
【考点9】应用完全平方公式进行简便运算
【例9】（2023下·全国·八年级假期作业）利用简便方法计算．
（1） （2）
【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（ ）
……① ……② ……③ ……④
A．步骤① B．步骤② C．步骤③ D．步骤④
【变式2】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【考点10】完全平方公式中的整体思想
【例10】（2023上·广东阳江·八年级统考期末）知识与方法：完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：∵，
∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
知识应用：
（1）当，时，________．
（2）若，求的值
迁移与拓展：
（3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．
【变式1】（2024上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
【变式2】（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）若，则代数式的值是 ．
【考点11】完全平方公式中的参数问题
【例11】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
（1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；
（2）若 是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数） 是完全平方式，则n的值为 ；
（3）已知 ，请求出b的值．
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）要使成为完全平方式，则常数的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·全国·八年级期末）如果多项式是完全平方式，那么k的值为 ．
【考点12】建立完全平方公式模型解决实际问题
【例12】（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
（1）代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【变式1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，下列各式中，表示甬道所占面积的为（ ）

A． B．
C． D．
【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）

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第2页（共12页）中小学教育资源及组卷应用平台
【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第03讲 乘法公式
要点一、平方差公式
1.平方差公式
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.平方差公式的几种常见变化及应用
变化公式 应用举例
（1）位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=
（2）符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)==-
（3）系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=-=9-4
（4）指数变化 (+)(-)==-
（5）增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=-
（6）连用公式 (a+b)(a-b)(+)=(-)(+)=-
（7）曾因式变化 (-a-b)(-a+b)(a-b)(a+b)=[](-)=
特别提醒：公式特征
1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
3.理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式.
要点二、平方差公式的验证
平方差公式的几何意义
边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是；将阴影部分剪拼成一个长方形，这个长方形的长为a+b,宽为a-b，面积为(a+b)(a-b).因为两个长方形的阴影部分面积相等，所以(a+b)(a-b)=
特别提醒：
利用图形验证平方差公式的关键是将同一个图形的面积用不同的方法表示，即直接表示和间接表示.
要点三、完全平方公式
1.完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于他们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
即用字母表示为：=±2ab+
2.完全平方公式的几种常见变化公式
（1）+=-2ab=+2ab
（2）=+4ab
（3）=-4ab
（4）+=2(+)
（5）-=4ab
（6）ab=[-(+)]=[-)]
（7）+++2ab+2ac+2bc
特别解读：
1.弄清公式的特征：公式的左边是是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.
2.理解字母a,b的意义：公式中的字母a,b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式.
要点四、完全平方公式的验证
1.验证=+2ab+ 如图，大正方形的面积可以表示为，也可以用四个部分的面积之和来表示，即+ab+ba+，所以=+ab+ba+=+2ab+.
2.验证=-2ab+ 如图，阴影部分的面积可以表示为=，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，所以=-(a-b)·b-(a-b)·b=-2ab+
特别解读：
利用几何图形验证完全平方公式时，所列式子表示同一个图形的面积.
要点五、利用乘法公式进行整式的混合运算
1.当两个三项式相乘是，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，在运用乘法公式计算.
2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.
特别解读：
1.添括号只是一个变式，不改变式子的值.
2.添括号是否正确，可利用去括号检验.
【考点1】运算平方差公式进行运算
【例1】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：
； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，运用公式时找准公式中的“”和“”，经过符号、系数、位置等变形后即符合平方差公式特征．
（1）直接利用平方差公式计算即可．
（2）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可．
（3）变换括号里面加数的位置后利用平方差公式计算即可．
（4）变换括号里面加数，符号的位置后利用平方差公式计算即可．
（1）解：
=
（2）
（3）
（4）
【变式1】（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ）
A、 B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式逐项判断即可得．
解：A、，能用平方差公式，则此项不符合题意；
B、，不能用平方差公式，则此项符合题意；
C、，能用平方差公式，则此项不符合题意；
D、，能用平方差公式，则此项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（2022下·浙江杭州·七年级统考期末）若，，则与的等量关系是 （结果不含，）．
【答案】
【分析】灵活运用平方差公式，求出答案即可．
解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平方差公式的计算，熟练运用平方差公式是本题的关键．
【考点2】构造平方差公式进行运算
【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）求的个位数字．
【答案】6
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据平方差公式，求出，根据的个位数字是6即可得出结果．
解：
，
∵，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而，
∴原式的个位数为6．
【变式1】（2023上·湖北·九年级校考周测）设，则以下四个选项中最接近的整数为（ ）
A．252 B．504 C．1007 D．2013
【答案】B
【分析】题目主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可．
解：
∴
，
故选：B．
【变式2】（2022下·四川成都·七年级校考期中）计算： ．
【答案】5050
【分析】先分别计算相邻的两个数的平方差，化简，再计算有理数的加法．
解：
，
故答案为：5050．
【点拨】此题考查了平方差公式的应用，正确理解式子的构成特点掌握平方差公式是解题的关键．
【考点3】平方差公式中的整体思想
【例3】（2023上·全国·八年级专题练习）在下列等式中，A和B应表示什么式子？
（1）；
（2）．
【答案】（1）A代表，B代表b；（2）A代表，B代表
【分析】本题主要考查平方差公式的推广，熟练掌握整体代入得思想是解题的关键．结合平方差公式的形式，分别找出符号相同的项和符号相反的项即可求解．
（1）解：
；
故A代表，B代表b；
（2）解：
．
故A代表，B代表．
【变式1】（2023上·四川内江·八年级校考期中）已知，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
解：，
，
故选：C．
【变式2】（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习），则 ．
【答案】
【分析】先设，然后根据平方差公式即可求解．
解：设
则，
，
，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：．
【点拨】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．
【考点4】运用平方差公式化简求值
【例4】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】本题考查了多项式乘多项式，平方差公式，整式的化简求值．
利用多项式乘多项式，平方差公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
解：
，
将代入得，原式．
【变式1】（2022上·江苏南通·八年级统考期中）已知，则的值为（ ）
A．13 B．8 C．3 D．5
【答案】A
【分析】由，可得，根据，代入求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了平方差公式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式2】（2023上·河南南阳·八年级统考期中）已知，则的值为 ．
【答案】13
【分析】本题考查了平方差公式、代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．先利用平方差公式求出，再代入计算即可得．
解：，
，
，
故答案为：13．
【考点5】运用平方差公式进行简便运算
【例5】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根据，利用平方差公式计算即可得；
（2）根据，利用平方差公式计算即可得．
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键．
【变式1】（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）计算的结果是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先根据平方差公式计算，再按照有理数的加减法计算即可．
解：，
故选：C．
【点拨】本题考查平方差公式的运用，解题关键是掌握平方差公式．
【变式2】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算： ．
【答案】9
【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式求解即可．
解：原式
．
故答案为：9．
【考点6】建立平方差公式模型解决实际问题
【例6】（2023上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）操作与探究
（1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）．
① ②
③ ④
思考与创新
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知，，求的值；
②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b）
【答案】（1）③；（2）①21或；②见分析
【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解；
（2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可；
②根据平方差公式画出图形求解即可．
解：（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为
∴，
∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③；
（2）①∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，；
当时，；
∴的值为21或；
②如图所示，选图2，
左边阴影的面积为，右边阴影的面积为
∴；
如图所示，选图3，
左边阴影的面积为，右边阴影的面积为
∴．
【变式1】（2023上·四川泸州·八年级校联考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示两个图形中阴影部分的面积．
根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．
解：∵图1中阴影部分的面积表示为：，
图2中阴影部分的面积表示为：，
∴，
故选：A．
【变式2】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
解：由作图可得：阴影部分的面积为；
由右图可得：阴影部分的面积为：；
所以．
故答案为
【考点7】运算完全平方公式进行运算
【例7】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键，注意整体思想的运用．平方差公式和完全平方公式．
（1）把看做为一个整体，运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算即可；
（2）把看做为一个整体，运用完全平方公式计算，再运用完全平方公式计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1】（2024上·上海宝山·七年级统考期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的特征：；
根据完全平方公式逐个判断即可．
解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确；
故选：D．
【变式2】（2024下·全国·七年级假期作业）若，则m的值为 ．
【答案】－7
【解析】略
【考点8】应用乘法公式化简求值
【例8】（2024上·广东广州·八年级统考期末）已知．
（1）______；
（2）求代数式的值．
【答案】（1）；；（2）；
【分析】（1）本题考查已知代数式的值求代数式的值，先变形代数式，代入求解即可得到答案；
（2）本题考查平方差公式及完全平方公式求值，先化简再带入计算即可得到答案；
（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：原式
．
【变式1】（2023上·上海青浦·七年级校考期中）已知，则的值为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．将所求式子利用完全平方公式转化为，代入计算即可得．
解：，
．
故选：A．
【变式2】（2023上·江西新余·八年级新余市第一中学校考阶段练习）已知，则的值是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式，换元法是解题的关键．设，换元后进行计算即可求解．
解：设，
∵，
∴，
即，
解得，
即的值为16．
故答案为：16．
【考点9】应用完全平方公式进行简便运算
【例9】（2023下·全国·八年级假期作业）利用简便方法计算．
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
解：（1）原式．
（2）原式．
【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图是嘉淇关于的计算过程，则开始出现错误的是（ ）
……① ……② ……③ ……④
A．步骤① B．步骤② C．步骤③ D．步骤④
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
解：
……①
……②
故选B．
【变式2】（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查有理数的运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．将原式变形后利用乘法公式简便计算即可．
解：
，
故答案为：2．
【考点10】完全平方公式中的整体思想
【例10】（2023上·广东阳江·八年级统考期末）知识与方法：完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：∵，
∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
知识应用：
（1）当，时，________．
（2）若，求的值
迁移与拓展：
（3）如图，点E是线段上的一点，在线段的同侧作以为边正方形，设，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式变形后整体代入求值即可；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出，即可求解．
解：（1），
，即，
，
，
；
故答案为：12；
（2）
，
，
，
，
；
（3）由题意可知：，
，
，
，
，
．
【变式1】（2024上·吉林长春·八年级统考期末）已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案．
解：∵，
又∵，即，
∴，
故选：D．
【变式2】（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了完全平方公式分解因式，代数式的值，正确分解因式是解题关键．先利用完全平方公式变形，进而把已知数据代入求出答案．
解：∵，
∴
．
故答案为:．
【考点11】完全平方公式中的参数问题
【例11】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
（1）请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ；
（2）若 是完全平方式，则m的值为 ；若（n为常数） 是完全平方式，则n的值为 ；
（3）已知 ，请求出b的值．
【答案】（1）左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可）；（2）10或；16；（3）
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键；
（1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可；
（2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可；
（3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可．
（1）解：完全平方公式：，
完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同，
故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可）
（2）解： 是完全平方式，
，
，
解得：或；
是完全平方式，
，
，
故答案为：10或；16；
（3）解：，
，
，
，
．
【变式1】（2023上·全国·八年级课堂例题）要使成为完全平方式，则常数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解．
解：化为完全平方式，即．
当成为两数和的完全平方式时，，
此时；
当成为两数差的完全平方式时，，
此时．
综上，．
答案：D．
【变式2】（2023上·全国·八年级期末）如果多项式是完全平方式，那么k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，根据口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央”来求k的值即可．
解：∵多项式是完全平方式，
∴
故答案为：．
【考点12】建立完全平方公式模型解决实际问题
【例12】（2023上·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
（1）代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【答案】（1）小，；（2）①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题．
（1）解：，
∵，
∴，
∴代数式有最小值，最小值为；
故答案为小，；
（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；
②由①可知：，
当时，，且，
当时，花圃的最大面积为1250平方米．
【变式1】（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，下列各式中，表示甬道所占面积的为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式及正方形的面积等知识点，用正方形场地的面积减去正方形场地除去甬道部分的面积即可．
解：甬道所占面积的为横向和纵向两条甬道面积之和减去重叠部分，即，
由图可知边长为的正方形场地的面积为：，
除去甬道部分的面积为：，
∴甬道所占面积为：．
故选：B．
【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）

【答案】或
【分析】设A类需用a块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：是一个完全平方式，据此求解即可得．
解：设A类需用a块，C类需用c块，
这些地砖拼成的正方形的面积为：，
根据题意，是一个完全平方式，，
所以或者；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
故答案为：或．
【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第26页（共26页）

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