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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第04讲 整式的除法
要点一、单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
2.单项式除以单项式的运算步骤：
（1）把系数相除，所得的结果作为商的系数；
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；
（3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
特别解读：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除；
2.单项式除以单项式的结果还是单项式；
3.根据乘除互为逆运算，可用单项式乘单项式来验证结果.
要点二、多项式除以单项式
1.多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
用字母表示为(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b(m≠0)
2.多项式除以单项式的运算步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除的商相加.
特别解读：
1.多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式；
2.商的项数与多项式的项数相同；
3.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号.
【考点1】单项式除以单项式
【例1】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）（结果用科学记数法表示）．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）一个长方形的面积为，长为，则宽为 ．
【考点2】多项式除以单项式
【例2】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）. （2）.
【变式1】（2023下·山东淄博·六年级统考期中）长方形的面积为，若它的一边长为，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）（1） ．
（2） ．
【考点3】利用整式的除示化简求值
【例3】（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）先化简，再求值：
（1）．已知．
（2）．其中．
【变式1】（2019下·七年级课时练习）如果（4a2-3ab2）÷M=-4a+3b2，那么单项式M等于（　　）
A．ab B． C． D．
【变式2】（2022下·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）已知，，则的值为 ．
【考点4】整式的混合运算
【例4】（2023上·八年级课时练习）解方程：
（1）；
（2）．
【变式1】（2023·上海·七年级假期作业）计算的结果是（ ）．
A． B． C．1 D．
【变式2】（2022上·浙江宁波·七年级校考期中）已知多项式的值是9，则多项式的值是 ．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第04讲 整式的除法
要点一、单项式除以单项式
1.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
2.单项式除以单项式的运算步骤：
（1）把系数相除，所得的结果作为商的系数；
（2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式；
（3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式.
特别解读：
1.单项式除以单项式最终转化为同底数幂相除；
2.单项式除以单项式的结果还是单项式；
3.根据乘除互为逆运算，可用单项式乘单项式来验证结果.
要点二、多项式除以单项式
1.多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
用字母表示为(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b(m≠0)
2.多项式除以单项式的运算步骤
（1）用多项式的每一项除以单项式；
（2）把每一项除的商相加.
特别解读：
1.多项式除以单项式的实质就是转化为单项式除以单项式；
2.商的项数与多项式的项数相同；
3.用多项式的每一项除以单项式时，包括每一项的符号.
【考点1】单项式除以单项式
【例1】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）（结果用科学记数法表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（2）利用单项式除以单项式得运算法则计算；
（3）利用单项式除以单项式得运算法则，积的乘方运算法则计算；
（4）利用单项式除以单项式得运算法则计算．
（1）解：原式．
（2）解：．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
【点拨】本题考查了单项式除以单项式，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则．
【变式1】（2023上·八年级课时练习）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用单项式除以单项式得运算法则．
解：A、，运算正确，不符合题意；
B、，运算正确，不符合题意；
C、，运算错误，符合题意；
D、，运算正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握同底数幂的除法，底不变，指数相减．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）一个长方形的面积为，长为，则宽为 ．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式法则结合题意计算即可．
解：．
故答案为：．
【点拨】本题考查单项式除以单项式的应用．熟练掌握单项式除以单项式法则是解题关键．
【考点2】多项式除以单项式
【例2】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1）. （2）.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（2）先计算乘方，再根据多项式除以单项式法则计算即可．
（1）解：；
（2）解：
．
【点拨】本题考查多项式除以单项式．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．
【变式1】（2023下·山东淄博·六年级统考期中）长方形的面积为，若它的一边长为，则这个长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据长方形的面积求得长方形的另一边的长，进而即可求解．
解：∵长方形的面积为，若它的一边长为，
∴长方形的另一边的长为：，
∴长方形的周长为：，
故选：B．
【点拨】本题考查了多项式除法的应用，整式的加减的应用，求得长方形的另一边长是解题的关键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）（1） ．
（2） ．
【答案】
【分析】（1）利用整式的除法法则计算各题即可；
（2）利用整式的除法法则计算各题即可．
解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
【点拨】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
【考点3】利用整式的除示化简求值
【例3】（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）先化简，再求值：
（1）．已知．
（2）．其中．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简整式，然后代值计算即可．
（2）先对整式进行化简，然后整体代入求值即可．
解：（1）原式，
当时，原式；
（2）
，
当时，原式
【点拨】本题考查了整式的化简及代值计算，解题的关键是正确运用运算法则进行精确的计算．
【变式1】（2019下·七年级课时练习）如果（4a2-3ab2）÷M=-4a+3b2，那么单项式M等于（　　）
A．ab B． C． D．
【答案】C
【分析】根据除数=被除数÷商，计算即可得到结果．
解：根据题意得：M=（4a2-3ab2）÷（-4a+3b2）=-a（-4a+3b2）÷（-4a+3b2）=-a，
故选C
【点拨】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】（2022下·辽宁沈阳·七年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考阶段练习）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】已知，，可以把等式右边转成同底数幂乘法，再把以为底和以为底的转成指数相同，从而逆用积的乘方公式，把底数和乘起来，从而转成以为底的，就可以比较指数，得出等于，从而可以代入要化简的式子求解．
解：，
由得，
由得，
得，即，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方的综合运用以及代数式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点4】整式的混合运算
【例4】（2023上·八年级课时练习）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根据整式乘法运算法则化简方程，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答；
（2）先根据整式乘法运算法则化简方程，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
（1）解：
．
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程、整式的混合运算等知识点，根据整式的混合运算法则化简原方程是解答本题的关键．
【变式1】（2023·上海·七年级假期作业）计算的结果是（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可．
解：
，
．
故选C．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．
【变式2】（2022上·浙江宁波·七年级校考期中）已知多项式的值是9，则多项式的值是 ．
【答案】
【分析】可以将多项式化简，然后运用整体代入的思想求解．
解：∵的值是9，即，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是根据题意得出，注意运用整体代换的思想．
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