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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第12讲 图形的全等
要点一、全等图形
1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形
全等图形的特征 “两相同”、“两无关”——
（1）“两相同”：形状相同；大小相同；
（2）“两无关”：与位置无关；与方向无关
2.性质：全等图形的形状和大小都相同。
特别提醒：
完全重合说明两个图形的周长和面积相等；反之，周长或面积相等的两个图形不一定是全等图形。
要点二、全等三角形
全等三角形的相关概念
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②全等三角形中，能够重合的边；③全等三角形中，能够重合的角。
全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
要点三、全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
几何语言：
2.拓展： 全等三角形的对应元素相等。全等三角形对应边、对应角、对应边上的中线、高线、角平分线相等，周长、面积相等。
特别提醒：
应用三等三角形的性质时，要先确定两个条件：（1）两个三角形全等；（2）找出对应元素；其次，全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法。.
【考点1】全等图形的认识
【例1】找出七巧板中（如图）全等的图形．
【变式1】如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）

A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【变式2】如图，四边形四边形，若，，，则 °．

【考点2】全等三角形的认识
【例2】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．
解：（已知），
___________（垂直的定义）．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．
（___________）
点B与点___________重合，
与___________，
___________（全等三角形的定义），
（___________）．
【变式】下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【考点3】利用全等三角形的性质求值
【例3】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【变式1】如图所示，，则的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【变式2】如图所示，，，若，，则的度数是 ．
【考点4】利用全等三角形的性质证明与求值
【例4】如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且．
（1）求的度数；
（2）若，试判断与之间的关系，并说明理由．
【变式1】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列结论不正确的是（　　）
A．EF⊥AC B．AD=4AG
C．四边形ADEF为菱形 D．FH=BD
【变式2】如图，，若 ，则 ， ．
【考点5】全等三角形的性质综合应用
【例5】如图，C为BE上一点，点A，D在线段BE的两侧，若△ABC≌△CED，试说明：AB∥ED.
【变式1】如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．100° C．110° D．115°
【变式2】如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为 ．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第12讲 图形的全等
要点一、全等图形
1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形
全等图形的特征 “两相同”、“两无关”——
（1）“两相同”：形状相同；大小相同；
（2）“两无关”：与位置无关；与方向无关
2.性质：全等图形的形状和大小都相同。
特别提醒：
完全重合说明两个图形的周长和面积相等；反之，周长或面积相等的两个图形不一定是全等图形。
要点二、全等三角形
全等三角形的相关概念
（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②全等三角形中，能够重合的边；③全等三角形中，能够重合的角。
全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
要点三、全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
几何语言：
2.拓展： 全等三角形的对应元素相等。全等三角形对应边、对应角、对应边上的中线、高线、角平分线相等，周长、面积相等。
特别提醒：
应用三等三角形的性质时，要先确定两个条件：（1）两个三角形全等；（2）找出对应元素；其次，全等三角形的性质是证明线段、角相等的常用方法。.
【考点1】全等图形的认识
【例1】找出七巧板中（如图）全等的图形．
【答案】全等的图形
解：分析：能够完全重合的两个图形叫做全等形,做题时认真观察图形,根据是否重合去判断.
本题解析：
由图知：△ADE与△DEC，△EHK与△CJF，△ADC与△ABC，四边形AGKE与四边形CFKE，四边形AGKD与四边形CFKD是重合的，即是全等的图形．
【变式1】如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）

A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8
【答案】B
【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键．
解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成，
∴．
故选：B．
【变式2】如图，四边形四边形，若，，，则 °．

【答案】
【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数.
解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：105．
【点拨】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键.
【考点2】全等三角形的认识
【例2】如图，在中，于点D，．完成下面说明的理由的过程．
解：（已知），
___________（垂直的定义）．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC___________．
（___________）
点B与点___________重合，
与___________，
___________（全等三角形的定义），
（___________）．
【答案】；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的定义，即可得到答案．
解：（已知），
（垂直的定义）．
当把图形沿AD对折时，射线DB与DC重合．
（已知）
点B与点C重合，
与重合，
（全等三角形的定义），
（全等三角形的性质）．
故答案为：；重合；已知；C；重合；；全等三角形的性质．
【点拨】本题主要考查证明三角形全等，掌握全等三角形的定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，是关键．
【变式】下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】C
【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
解：A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点拨】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
【考点3】利用全等三角形的性质求值
【例3】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
【变式1】如图所示，，则的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得，进而可得答案．
解：，
，
，
，
．
故选：A．
【变式2】如图所示，，，若，，则的度数是 ．
【答案】80°/80度
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键．
根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到的度数，根据平行线的性质得到，进而得到的度数．
解：，
，
，，
，
，
，
，
所以的度数是．
【考点4】利用全等三角形的性质证明与求值
【例4】如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且．
（1）求的度数；
（2）若，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），，理由见分析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；
（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．
解：（1），，
，
，
，
，
，
；
（2），且．
理由：，
，，
．
【变式1】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°，下列结论不正确的是（　　）
A．EF⊥AC B．AD=4AG
C．四边形ADEF为菱形 D．FH=BD
【答案】C
【分析】根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．
解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F为AB的中点，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故A正确；
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中点，
∴HF=BC，
∵BC=AB，AB=BD，
∴HF=BD，故D说法正确；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∵AE≠EF，
∴四边形ADFE不是菱形；
故C说法不正确；
∴AG=AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
则AD=4AG，故B说法正确，
故选C．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解题时需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．
【变式2】如图，，若 ，则 ， ．
【答案】 5 4
【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解．
解：∵△ABD≌△CDB．
∴BC＝AD，CD＝AB．
∵AB＝4，AD＝5．
∴BC＝5，CD＝4．
故答案为5，4．
【点拨】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用．
【考点5】全等三角形的性质综合应用
【例5】如图，C为BE上一点，点A，D在线段BE的两侧，若△ABC≌△CED，试说明：AB∥ED.
【答案】证明见分析
【分析】由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，再由内错角相等则两直线平行即可判断.
解：由△ABC≌△CED可得∠B＝∠E，根据内错角相等则两直线平行可知AB∥ED.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质.
【变式1】如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．100° C．110° D．115°
【答案】B
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
解：延长C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．
【变式2】如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为 ．
【答案】或或
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．
⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动或或秒时，与全等．
故答案为：或或．
【点拨】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
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