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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第13讲 探索三角形全等的条件
要点一、三角形的稳定性
1.三角形的稳定性
（1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
（2）四边形具有不稳定性.
2.三角形稳定性的应用
稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.
特别提醒：
四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.
要点二、三角形全等的条件——边边边
1.边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
2.书写格式 如图
在△ABC和△A’B’C’中,
所以△ABC≌△A’B’C’（SSS）
特别提醒：
在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来.
要点三、三角形全等的条件——角角边
1.角边角 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
2.书写格式 如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，CB=C’B’
所以△ABC≌△A’B’C（AAS）
3.“ASA”与“AAS”的区别与联系：
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推到得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
特别提醒：
1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2.将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等.
3.找等角的几个方式：公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余（或补）角，等角加（或减）等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角.
要点四、三角形全等的条件——角边角
1.角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
2.书写格式
在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，BC=B’C’，∠C=∠C’，
所以△ABC≌△A’B’C’（ASA）.
特别提醒：
1.相等的元素：两角及两角的夹边；
2.书写顺序：角→边→角；3.夹边为两个交的公共边.
要点五、三角形全等的条件——角角边
1.角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
2.书写格式
在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，BC=B’C’，∠B=∠B’，
所以△ABC≌△A’B’C’（AAS）.
3.“ASA”与”AAS”的区别与联系：
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出.
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
【考点1】三角形的稳定性
【例1】如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
【变式1】下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条．
【考点2】用“边边边”证明三角形全等
【例2】如图已知，，
（1）添加下列条件：①；②；
③；④．
其中能证明与全等的有______（直接填序号）；
（2）在（1）中选择一个进行证明．
【变式1】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
【考点3】全等的性质和“边边边”综合
【例3】已知：如图，与交于点，，、是上两点，且，，，
求证∶
（1）；
（2）．
【变式1】如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，在中，，，，则 ．
【考点4】用“边角边”证明三角形全等
【例4】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【变式1】如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【变式2】如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【考点5】全等的性质和“边角边”综合
【例5】如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【变式1】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）．
A． B． C． D．
【变式2】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【考点6】“边边边”和“边角边”综合
【例6】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
（1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【变式1】如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【变式2】如图，，，，点在线段上．若，，则 ．
【考点7】用ASA（或AAS）证明三角形全等
【例7】如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：．
【变式1】如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）
A． B． C． D．
【变式2】如图，，，，，则等于 ．
【考点8】用三角形全等的性质和ASA（或AAS）证明三角形全等
【例8】如图所示，点是线段上一点，是过点的一条直线，连接，过点作交于，且．
（1）求证：
（2）若，求证：．
【变式1】如图，是的平分线，于D，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式2】如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ．
【考点9】添加条件证明三角形全等
【例9】如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
【变式1】如图，相交于点，下列所给条件不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，在中，点是的中点．添加一个条件，使得．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
【考点10】灵活运用三角形全等判定方法和全等的性质证明或求值
【例10】如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
（1）与全等吗？请说明你的理由；
（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．
【变式1】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．
A． B． C． D．和
【变式2】已知和，，，，已知，则 ．
【考点11】“倍长中线”证明三角形全等求值
【例11】下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，，求的取值范围．

请将下面的解题过程补充完整
解：延长至点E，使，连接．

∵是的中线，
∴__________，
在和中，
∴（__________填判定定理用字母表示）
∴_________，
在中，根据“三角形三边关系可知：
__________________
又∵
∴__________________
【变式1】已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．

【考点12】“一线三直角”证明三角形全等求值
【例12】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【变式1】如图，已知，，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式2】如图，四边形是正方形，和都是直角，且，，三点在同一条直线上，，则阴影部分的面积是 ．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第13讲 探索三角形全等的条件
要点一、三角形的稳定性
1.三角形的稳定性
（1）只要三角形的三边长确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
（2）四边形具有不稳定性.
2.三角形稳定性的应用
稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.
特别提醒：
四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.
要点二、三角形全等的条件——边边边
1.边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.
2.书写格式 如图
在△ABC和△A’B’C’中,
所以△ABC≌△A’B’C’（SSS）
特别提醒：
在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列（一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧），并用大括号将其括起来.
要点三、三角形全等的条件——角角边
1.角边角 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
2.书写格式 如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’，CB=C’B’
所以△ABC≌△A’B’C（AAS）
3.“ASA”与“AAS”的区别与联系：
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推到得出
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
特别提醒：
1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.
2.将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等.
3.找等角的几个方式：公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余（或补）角，等角加（或减）等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角.
要点四、三角形全等的条件——角边角
1.角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.
2.书写格式
在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，BC=B’C’，∠C=∠C’，
所以△ABC≌△A’B’C’（ASA）.
特别提醒：
1.相等的元素：两角及两角的夹边；
2.书写顺序：角→边→角；3.夹边为两个交的公共边.
要点五、三角形全等的条件——角角边
1.角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
2.书写格式
在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，BC=B’C’，∠B=∠B’，
所以△ABC≌△A’B’C’（AAS）.
3.“ASA”与”AAS”的区别与联系：
“S”的意义 书写格式 联系
ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 “AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出.
AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后
【考点1】三角形的稳定性
【例1】如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？
如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？
如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？
归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；
②四边形木架的形状______说明四边形没有______．
【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．
【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；
②根据四边形的不稳定性进行解答即可．
解：图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；
图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；
图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；
归纳：
①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．
故答案为： 是三角形， 稳定性；
②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．
故答案为： 四边形， 稳定性 ．
【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．
【变式1】下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解本题的关键．根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
解：A、具有稳定性，故此选项不合题意；
B、不具有稳定性，故此选项符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可．
解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条．
故答案为：2．
【考点2】用“边边边”证明三角形全等
【例2】如图已知，，
（1）添加下列条件：①；②；
③；④．
其中能证明与全等的有______（直接填序号）；
（2）在（1）中选择一个进行证明．
【答案】（1）②③；（2）见分析
【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明；
（1）根据全等三角形的判定定理即可解答；
（2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可．
（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③，
故答案为：②③；
（2）证明：选③，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴．
【变式1】一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答．
解：由“”可以判定两个三角形全等，
，，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】在与中，已经有条件： 所以补充可以利用证明两个三角形全等.
解：在与中，
所以补充：
故答案为：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.
【考点3】全等的性质和“边边边”综合
【例3】已知：如图，与交于点，，、是上两点，且，，，
求证∶
（1）；
（2）．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质；
（1）先证明，然后根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可得证．
解：（1）证明：如图，
，

在和中
，，
（2）由（1）得：
．
【变式1】如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
【变式2】如图，在中，，，，则 ．
【答案】/110度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、邻补角等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而解得的度数即可．
解：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点4】用“边角边”证明三角形全等
【例4】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
解：（1）证明：证明：∵E为中点，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式1】如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.
解：在上截取连接,

，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中,
，
，
，
，
解得
故选A.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【变式2】如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ．
【答案】3
【分析】由旋转可得，可求得，可求得的面积．
解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，，
∴，
∴
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
【考点5】全等的性质和“边角边”综合
【例5】如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点；
（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
解：（1）为中点，
，
在和中，
，
，
，
∴；
（2）平分，
，
，
，
，，
，
．
【变式1】如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据邻补角的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得、；然后证明可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
解：∵，
∴，
∵，
∴
∵为的角平分线，
∴，即
在和，
,
∴，
∴，
∴．
故选A．
【变式2】如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，可得，再证明，即可得到，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点6】“边边边”和“边角边”综合
【例6】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
（1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）①②③或①③④（写出一种情况即可）；（2）见分析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1】如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
【答案】D
【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．
解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．
【变式2】如图，，，，点在线段上．若，，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．由，可得，结合题意可证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解．
解：，
，
，
又，，
，
，
，
故答案为：．
【考点7】用ASA（或AAS）证明三角形全等
【例7】如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：．
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合， 得到，即可得到证明；
解：证明：∵，
∴，
又∵， ，
∴，
在和中，
∵，
．
【变式1】如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可．
解：由题意可得：，，
∴当时，可根据可证，
故选：B．
【变式2】如图，，，，，则等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【考点8】用三角形全等的性质和ASA（或AAS）证明三角形全等
【例8】如图所示，点是线段上一点，是过点的一条直线，连接，过点作交于，且．
（1）求证：
（2）若，求证：．
【分析】（1）根据，可得，证明可得；
（2）可证明，根据，， ，，可证明，可得，进而可得．
（1）解：
在和中
（2）解：
又
在和中
【点拨】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答关键．
【变式1】如图，是的平分线，于D，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．如图所示，延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，推出，代入求出答案即可．
解：如图所示，延长交于E，
∵是的平分线，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【变式2】如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法，性质是解题的关键．
根据，可得，根据点是的中点，可得，可证，根据全等三角形的性质即可求解．
解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点9】添加条件证明三角形全等
【例9】如图，在中，，D是边上的点（不与点B，C重合），F，E分别是及其延长线上的点，． 请你添加一个条件，使（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：
【答案】（1）①（或点D是线段的中点）或②或③ ；（2）见分析
【分析】本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
（1）由已知可得，，根据三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：（或点D是线段的中点），②，③ ；
（2）以为例进行证明，由已知可得，，可根据判定．
（1）解：∵ ，
∴，
，
故添加的条件是：①（或点D是线段的中点），②，③ ，中任选一个即可，
故答案为：①（或点D是线段的中点）或②或③（人选一个）．
（2）选择，
证明：∵ ，
∴，
在与中，
，
∴．
【变式1】如图，相交于点，下列所给条件不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，利用全等三角形的判定依次判断即可；
解：A、若，且，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、若，且，无法证明，故选项B符合题意；
C、若，且，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、若，且，由“”可证，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式2】如图，在中，点是的中点．添加一个条件，使得．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
【答案】或或
【分析】本题考查全等三角形的判定，涉及全等三角形的判定定理、及，由已知条件，结合全等三角形的判定定理补全条件即可得到答案，熟记全等三角形的判定定理、及是解决问题的关键．
解：点是的中点，
，
，
①添加，则由即可判定；
②添加，则由即可判定；
③添加，则由即可判定；
综上所述，添加条件是或或，
故答案为：或或．
【考点10】灵活运用三角形全等判定方法和全等的性质证明或求值
【例10】如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．
（1）与全等吗？请说明你的理由；
（2）若，，的面积为3，请直接写出的面积．
【答案】（1），见分析；（2）6
【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得，的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解．
（1）解：，
理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：过点作交于点，如图：

∵，的面积为3，
∴，的面积为3，
∴，
则的面积为．
【点拨】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式1】如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．
A． B． C． D．和
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法的灵活运用．
解：、第块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
、第块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
、第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，符合题意；
、由上分析，和不符合题意；
故选：．
【变式2】已知和，，，，已知，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论当时，可得，则，当时，由可得，则问题可解
解：当时，，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或
【考点11】“倍长中线”证明三角形全等求值
【例11】下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，，求的取值范围．

请将下面的解题过程补充完整
解：延长至点E，使，连接．

∵是的中线，
∴__________，
在和中，
∴（__________填判定定理用字母表示）
∴_________，
在中，根据“三角形三边关系可知：
__________________
又∵
∴__________________
【答案】见分析
【分析】主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，延长至点E，使．证明，推出，再利用三角形的三边关系，可得结论；
解：延长至点E，使，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：
，
又∵，
∴．
【变式1】已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解．
解：如图所示，
在中，则，
即，，
延长至点，使，连接，
是的边上的中线，
，
又，
，
，
在中，，即，
，即，
．
故选：D．
【变式2】如图所示，在中，，则边上的中线的长取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题考查三角形的中线定义，全等三角形，三角形三边关系；倍长中线，构造全等三角形，在新的三角形中运用三边关系定理求解．延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可．
解：如图所示，延长到，且，并连接，

是中点，
，
又，
，
，
在中，
有，
，即，
．
【考点12】“一线三直角”证明三角形全等求值
【例12】通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
（3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值．
【答案】（1）；（2）见分析；（3）
【分析】（1）由即可求解；
（2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可；
（3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解．
（1）解：∵
∴
故答案为：；
（2）证明：作

由“K字模型”可得：
∴
即：点G是的中点
（3）解：作，如图：

∵四边形和四边形均为正方形
∴
由“K字模型”可得：
即：
∵
∴
【点拨】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
【变式1】如图，已知，，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
解：，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
故选：A．
【变式2】如图，四边形是正方形，和都是直角，且，，三点在同一条直线上，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】18
【分析】由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=6，即可求解．
解：∵四边形ACDF是正方形，
∴AC=AF，∠CAF=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF，
∴△ACE≌△FAB（AAS），
∴CE=AB=6，
∴S阴影=×AB×CE=18，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
第4页（共37页）

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