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第8章 三角形
单元小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.复习三角形的基本性质(内角和、外角、三边关系)及分类。
2.掌握多边形内角和与外角和定理，能快速计算相关角度。
3.理解正多边形铺设地面的条件，能设计合理的铺设方案。
4.通过实际问题分析与几何建模，培养逻辑推理与空间想象能力。
学习重点：1.三角形内角和定理与三边关系的应用。
2.多边形内角和公式的推导与计算。
3.正多边形平面镶嵌的条件分析。
学习难点：1.复杂图形中多角度关系的综合运用。
2.正多边形组合铺设地面的角度匹配逻辑。
教学过程
一、创设情境、导入新课
二、合作交流、新知探究
探究一：思考回顾
三角形按边如何分类？
三角形三边有什么关系？
三角形中三条重要线段指的是什么？它们有什么重要作用？
三角形的内角和定理是什么？三角形外角和是多少度？三角形外角的性质是什么？
多边形的内角和定理是什么？多边形的外角和是多少度？
用正多边形铺设地面的关键条件是什么？
要点:
1. 本章通过对三角形和多边形的一系列探索活动， 归纳得到关于三角形的边、 角及多边形的角的一些推断， 演绎证明了某些推断的正确性.
2. 推理的数学思想在本章得到了充分体现: 我们运用归纳推理， 从具体的多边形着手分析， 发现其中的逻辑关系， 归纳出多边形内角和公式; 我们还对探索得到的 “三角形的内角和等于 180°” 这一推断， 进行了演绎推理， 基本依据是有关平行线的一些基本事实和推导所得的结论.
3. 本章还将学习得到的数学结论用于实际生活， 理解某些正多边形能够铺满地面的道理.
探究二：典例精析
例1如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
例2如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC的度数是( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
例3老师让同学们用20cm，90cm，100cm长的三根木条搭一个三角形，小明不小心把100cm的木条折断了，他用折断后剩下的较长木条与另两根木条怎么搭也不能搭成三角形.
你知道这是为什么吗？
(2)小明把100cm的木条至少折去了多少厘米？
如果100cm的木条折去了40cm，你能通过截90cm长的木条的办法帮小明搭一个小的三角形吗？
例4一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
例5已知等腰三角形ABC的两个底角相等(∠ABC=∠C)，且一腰AC上的高BD与另一腰AB的夹角为40°.求∠ABC，∠C的度数.
例6如果用正方形材料和正n边形(n>4)材料能够把地面铺得既平整又无空隙，那么n的值为多少？
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题:
1．如图，BE是△ABC的高的是(　　)
从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是(　　)
3．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是(　　)
A．9　B．10　C．11　D．12
选做题:
4．如图，在△ABC中，∠C＝60°，把△ABC沿直线DE折叠，使得点B与点A重合．若AD恰好平分∠BAC，则∠BDE的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、AD、EC的中点，若S△ABD＝4，则S△BFC＝(　　)
A．2 B．1 C． D．
6．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，连结CD交BE于点O.
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
(2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
【综合拓展类作业】
7.阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是________°.
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
8.簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下了极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决．
问题1.
已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一种不能是下列哪种形状的正多边形________．(填序号)
①正四边形；②正五边形； ③正六边形．
问题2.
小强发现某个花纹用4个相同的正八边形进行拼接，使相同的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1.小强猜想，如果用n个相同的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为________，并简要说明理由．
　
四、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题:
1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE相交于点O，则下列结论:①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.其中正确的结论是　　　.(填序号)
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　　　.
第2题图
3.如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点.
(1)若S△ABC＝1，则S△BEF＝　　　；
(2)若S△BFC＝1，则S△ABC＝　　　.
4.已知a、b、c是△ABC的三边长.
(1)化简:｜a－b＋c｜＋｜a－b－c｜；
(2)若a和b满足方程组且c为偶数，求这个三角形的周长.
选做题:
5.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠BDC＝85°，则∠BDE的度数为　　　.
6.如图，在△ABC中，∠A＝20°，CD是∠BCA的平分线，在△CDA中，DE是边CA上的高，如果∠EDA＝∠CDB，求∠B的度数.
7.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为25°、75°、80°的三角形是“三倍角三角形”.
(1)△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最大内角的度数.
【综合拓展类作业】
8某小组利用延时课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题.
主题 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究.
日期 2024年*月*日
成员 组长:*　成员:*
知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
问题解决
题干 如图，点D在AB上，点E在BC上，AE、CD相交于点P.
任务 (1)若∠A＝30°，∠B＝40°，∠APC＝110°，求∠C的度数； (2)试猜想∠APC与∠A＋∠B＋∠C之间的关系，并说明理由.
答案：
课内练习：
1．C　解析:A.BE不是△ABC的高，不符合题意；B.BE不是△ABC的高，不符合题意；C.BE是△ABC的高，符合题意；D.BE不是△ABC的高，不符合题意．故选C.
2．C　解析:∵C选项中的伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项都是利用了三角形的稳定性，∴选项C中的图片与众不同．故选C.
3．C　解析:设这个多边形的边数为n，根据题意，得
(n－2)·180°＝360°×4＋180°，
解得n＝11.则这个多边形的边数是11.故选C.
4．C　解析:由折叠可知∠B＝∠DAB，∠BED＝∠AED＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∠C＝60°，∴3∠B＝120°.解得∠B＝40°.∴∠BDE＝90°－40°＝50°.故选C.
5．A　解析:如图，连结BE，
∵点D、E、F分别是BC、AD、EC的中点，
∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC.
∵S△ABD＝4，
∴S△ABD＝S△ACD＝4，
S△ABE＝S△BED＝S△ABD＝2，S△AEC＝S△CDE＝S△ACD＝2.
∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2＋2＝4.
∴S△BFC＝S△BEF＝S△BEC＝×4＝2.故选A.
6．解:(1)∵△BCD的周长为BC＋CD＋BD，△ACD的周长为AC＋CD＋AD，
∴△BCD与△ACD的周长差为BC－AC＋BD－AD.
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD.
又∵BC＝3，AC＝2，
∴BC－AC＋BD－AD＝BC－AC＝3－2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1.
(2)∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°.
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°.
∴∠BOC＝∠CDB＋∠ABE＝90°＋31°＝121°.
7．解:(1)30
(2)由(1)知，这个多边形是正十二边形，
所以这个正多边形的一个内角是180°－＝150°.
8．解:问题1:②
问题2:6
理由如下:由题意得，这n个正六边形围成的图形是一个正多边形．由图2可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是120°.
所以(n－2)180°＝120°n.
解得n＝6.
作业布置：
1.①③　2.100°　3.(1)　(2)4
4.(1)2c　(2)这个三角形的周长为11或13.
5.25°
6.∠B＝60°
7.(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由略.
(2)△ABC中最大内角的度数为90°，112.5°或140°.
【项目化学习】
8.(1)∠C＝40°
(2)∠APC＝∠A＋∠B＋∠C.
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