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(共32张PPT)
第八章 三角形
单元复习：小结与评价
01
教学目标
03
思考回顾
02
思维导图
04
典例精析
05
课堂巩固
06
作业布置
01
教学目标
1.复习三角形的基本性质(内角和、外角、三边关系)及分类。
2.掌握多边形内角和与外角和定理，能快速计算相关角度。
3.理解正多边形铺设地面的条件，能设计合理的铺设方案。
4.通过实际问题分析与几何建模，培养逻辑推理与空间想象能力。
02
思维导图
1.三角形按边如何分类？
三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边与腰不相等的等腰三角形和等边三角形.
03
思考回顾
2.三角形三边有什么关系？
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
03
思考回顾
高、中线、角平分线.每种都有三条，且所在直线都相交于一点.除了高线有可能在三角形的外部或边上外，中线和角平分线都在三角形的内部.
中线用来求线段长或等分面积，角平分线用来求角，高用来求面积.
3.三角形中三条重要线段指的是什么？它们有什么重要作用？
4.三角形的内角和定理是什么？三角形外角和是多少度？三角形外角的性质是什么？
三角形内角和等于180°；
三角形外角和为360°；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
03
思考回顾
(1)n边形的内角和等于(-2)×180°；
(2)多边形的外角和等于360°
5.多边形的内角和定理是什么？多边形的外角和是多少度？
03
知识回顾
围绕一点的角度和为360°(如正三角形:60°×6=360°)
6.用正多边形铺设地面的关键条件是什么？
1. 本章通过对三角形和多边形的一系列探索活动， 归纳得到关于三角形的边、 角及多边形的角的一些推断， 演绎证明了某些推断的正确性.
2. 推理的数学思想在本章得到了充分体现: 我们运用归纳推理， 从具体的多边形着手分析， 发现其中的逻辑关系， 归纳出多边形内角和公式; 我们还对探索得到的 “三角形的内角和等于 180°” 这一推断， 进行了演绎推理， 基本依据是有关平行线的一些基本事实和推导所得的结论.
3. 本章还将学习得到的数学结论用于实际生活， 理解某些正多边形能够铺满地面的道理.
03
思考回顾
例1如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
04
典例精析
B
04
典例精析
例2如图，在中，的平分线相交于点，，则的度数是( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
C
分析:利用三角形内角和定理，建立要求的角与已知角之间的关系解决问题
解:
的平分线分别为，
∴.
.答案:C
例3老师让同学们用20cm，90cm，100cm长的三根木条搭一个三角形，小明不小心把100cm的木条折断了，他用折断后剩下的较长木条与另两根木条怎么搭也不能搭成三角形.
(1)你知道这是为什么吗？
(2)小明把100cm的木条至少折去了多少厘米？
(3)如果100cm的木条折去了40cm，你能通过截90cm长的木条的办法帮小明搭一个小的三角形吗？
04
典例精析
分析:判断三条线段能否组成三角形，关键是看其是否满足三角形的三边关系.
04
典例精析
(2)设把的木条折去后，与另两根木条可搭成三角形。
根据题意得
解得.
小明把的木条至少折去了
(3)设的木条截去后，与另两根木条可以搭成一个小的三角形.
根据题意得(100-40)-20<90-a<(100-40)+20，解得10∴90cm的木条截去的长度应大于10cm且小于50cm才能搭成一个小的三角形.
分析:利用多边形的内角和公式和外角和建立方程解决.
04
典例精析
解:∵多边形外角和是360°，外角和是内角和的.
∴多边形的内角和为900°，
设多边形边数为n，则有(n-2)×180°=900，
解得n=7，
故答案选C.
C
例5已知等腰三角形ABC的两个底角相等(∠ABC=∠C)，且一腰AC上的高BD与另一腰AB的夹角为40°.求∠ABC，∠C的度数.
解:(1)如图，BD在三角形的内部.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°.
∴∠A=180°-90°-40°=50°.
∴∠ABC=∠C=1/2(180°-∠A)=65°.
04
典例精析
分析:若等腰三角形的顶角是钝角，则腰上的高在三角形的外部；若等腰三角形的顶角是锐角，则腰上的高在三角形的内部，题中没明确指出三角形的形状，要分两种情况讨论.
解:(2)如图，BD在三角形的外部.
，
.
.
是的外角，
.
综上，的度数都是或都是.
04
典例精析
例6:如果用正方形材料和正n边形(n>4)材料能够把地面铺得既平整又无空隙，那么n的值为多少？
04
典例精析
分析:紧扣密铺的规则:围绕一点的几个内角的和等于360°，列出方程和不等式解决问题.
解:设正n边形内角的度数为x°
因为，所以.
设用块正方形，块正n边形拼，则有
(其中为正整数)
因为，所以，
即，故，所以或
.若，则，则x为270的因数
又因为，所以
，∴.
若，则，
则为的因数，而，故无解
综上，的值为8.
04
典例精析
方法点拨:用两种正多边形密铺，既要考虑两种正多边形每个内角的度数，又要考虑每种正多边形选用的块数，而密铺的规则是列方程的依据。
1．如图，BE是△ABC的高的是(　　)
2．从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是(　　)
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
C
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，则这个多边形的边数是(　　)
A．9　B．10　C．11　D．12
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
C
A
4．如图，在△ABC中，∠C＝60°，把△ABC沿直线DE折叠，使得点B与点A重合．若AD恰好平分∠BAC，则∠BDE的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、AD、EC的中点，若S△ABD＝4，则S△BFC＝(　　)
A．2 B．1 C． D．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解:(1)∵△BCD的周长为BC＋CD＋BD，△ACD的周长为AC＋CD＋AD，
∴△BCD与△ACD的周长差为BC－AC＋BD－AD.
∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD.
又∵BC＝3，AC＝2，
∴BC－AC＋BD－AD＝BC－AC＝3－2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1.
6．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，连结CD交BE于点O.
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
(2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解(2)∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°，
∴∠ABE＝∠ABC＝×62°＝31°.
∵CD是△ABC的高，
∴∠CDB＝90°.
∴∠BOC＝∠CDB＋∠ABE＝90°＋31°＝121°.
6．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，连结CD交BE于点O.
(1)若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差；
(2)若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数．
06
课堂小结
一、三角形基本性质
内角和:180°；外角性质:外角=不相邻两内角和
三边关系:a+b>c，a-b分类:按边(等边、等腰、不等边)；按角(锐角、直角、钝角)
二、多边形定理
内角和:(n-2)×180°；外角和:360°
三、正多边形铺设
条件:围绕一点的角度和为360°(如正三角形:60°×6=360°)
1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE相交于点O，则下列结论:①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.其中正确的结论是　　　.(填序号)
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
①③
3.如图，在△ABC中，已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点.
(1)若S△ABC＝1，则S△BEF＝　　　；
(2)若S△BFC＝1，则S△ABC＝　　　.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
100°
2.如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　　　.
4.已知a、b、c是△ABC的三边长.
(1)化简:｜a－b＋c｜＋｜a－b－c｜；

(2)若a和b满足方程组且c为偶数，求这个三角形的周长.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
解：∵两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
∴原式=a+c-b+b+c-a=2c
解：解方程组得，∴3∵c为偶数，∴c=4或6，
故a+b+c=2+5+4=11或a+b+c=2+5+6=13，
即三角形的周长为11或13.
5.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠BDC＝85°，则∠BDE的度数为　　　.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
25°
6.如图，在△ABC中，∠A＝20°，CD是∠BCA的平分线，在△CDA中，DE是边CA上的高，如果∠EDA＝∠CDB，求∠B的度数.
解：∵DE 是 CA 边上的高，
∴∠DEA=∠DEC=90°.∵∠A=20°，∴∠EDA=90°-20° =70°.
∵∠EDA= ∠CDB，∴∠CDE=180° -70°×2=40°.
在 Rt△CDE中，∠DCE=90°-40°=50°.
∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°.
∴∠B=180°-∠BCA-∠A=60°.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
7.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为25°、75°、80°的三角形是“三倍角三角形”.
(1)△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最大内角的度数.
解:(1)是，理由如下：
∵∠A=20°，∠B=40°，∴∠C=120°，
∵120=3×40，∴△ABC是“三倍角三角形”.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解: (2)∵ △ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，
∴∠A+∠C＝150°.
设△ABC的最大内角为x，
当最大内角是∠B的三倍时，即x＝90°.
当最大内角是另一个角的三倍时，即x+3x＝150°
∴x＝37.5°，3x＝112.5°
当∠B时∠A或∠C的三倍时， 则10°+30°+x＝180°， ∴x=140°.
∴△ABC中最大内角的度数为90°或112.5°或140°
Thanks!
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