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普通高中教科书数学必修第二册
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第八章 立体几何初步
温故知新
前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，大家还记得它们的结构特征吗？
新知引入
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！
棱锥
棱台
棱柱
典例讲解
例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
B
C
A
P
解:因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
因此，四面体P-ABC的表面积
棱柱、棱锥、棱台的体积
问题： 你还记得正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？
可以统一为：V = Sh(S为底面面积，h为高)
思考: 该公式能否推广到一般的柱体？
实验探究
问题: 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，
观察改变前后的体积是否发生变化？
祖暅[gèng]原理
祖暅[gèng]原理
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论.
（429年~500年）
“幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
棱柱体积公式
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
棱柱与棱锥的体积关系
问题：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
A
C
A1
B
B1
C1
A1
B
B1
C1
A
A1
B
C1
A
C
B
C1
分成的每个锥体的
体积有什么关系？
棱锥体积公式
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱锥的截面性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么
①截面和底面相似，
②面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高之比的平方。
棱台体积公式推导
棱台体积公式
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.




棱柱、棱锥、棱台体积关系
问题： 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
几何体 棱柱 棱台 棱锥
直 观 图
体 积
S’=S
上底扩大
S’=0
上底缩小
典例讲解【 割补法——割】
典例讲解【 割补法——补】
变式2-1. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少立方米？
解：
如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有
B
C
A'
B'
C'
D'
A
D
E
F
G
∴这个石凳的体积为
典例讲解【等积法】
例3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为　 　.
例4 正四棱台的底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780 ，求其体积.
典例讲解【公式法】
2800
课堂小结
1、 棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积公式
2、求几何体体积的常用方法
课堂小结
1、教材119页1、2
2、精准化作业8.3.1
课后作业

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