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(共22张PPT)
7.3.1离散型随机变量的
均值
学习目标
1.了解离散型随机变量的均值的意义与计算公式，会根据离散型随
机变量的分布列求出均值．
2.理解线性运算公式“E(aX+b )=aE(X)+b”，及其应用.
3.能利用离散型随机变量的均值解决实际中的决策问题.
复习导入
一般地，设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2,…,xn
X
P
称X取每一个值 的概率 为X的概率分布列，简称分布列.通常列表为
对于离散型随机变量，确定了分布列，就掌握了
随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通
过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有均值与方差.
探究新知
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数X的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
思考1：假设射击n次，能否列出甲的频率分布表？
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分布表：
环数X 7 8 9 10
频数
频率
所以，甲n次射箭射中的平均环数为
探究新知
甲、乙射箭射中成绩的概率分布为
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
甲 稳定于
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9.
因为甲射中环数的平均值高于乙，所以甲射箭水平高于乙的射击水平.
思考2：乙射中的平均环数的稳定值为多少？
因为当n足够大时，频率稳定于概率，所以
乙稳定于
探究新知
问题2 某班有10位同学参加一次数学竞赛，成绩分别为 97、95、95、92、 92、92、92、91、91、91.
求平均成绩是多少？
平均成绩为：
有何意义？
把成绩看成随机变量的概率分布列
如何计算均值？
x 97 95 92 91
p
加权平均数
算术平均数
讲授新知
离散型随机变量的均值:
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量
取值的平均水平.
典例讲解
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
罚球1次的得分为X的均值为：
E(X)＝0×0.2＋1×(0.8)＝0.8.
0 1
0.2 0.8
解：由题意：可知X的取值为0，1.　
讲授新知
两点分布的数学期望：
0 1
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
典例讲解
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：
解：
即点数X的均值是3.5.
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
典例讲解
求离散型随机变量的均值的方法步骤
(1)定取值：写出X所有可能的取值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义公式求出E(X)
方法总结:
新知应用
解：
课后练习题2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－ 1分，求得分X的均值.
探究新知
已知随机变量X，其均值为E(X). 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．那么，随机变量Y的均值E(Y)= .
P
6
5
4
3
2
1
X
P
13
11
9
7
5
3
Y
例如 随机抛掷一个骰子所得点数X的均值E(X)=3.5.
定义随机变量Y=2X+1，E(Y)= .
2×3.5+1=8
aE(X)+b
问题3
讲授新知
的分布列为:


讲授新知
若 是两个随机变量, 且,
则有
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
离散型随机变量的均值的性质：
典例讲解
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
X的可能取值为0，1000，3000，6000.
典例讲解
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列为
X的均值为
例3
新知应用
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
例3
变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，那个大
同理
当按A,C,B的顺序时
当按B,A,C的顺序时
当按B,C,A的顺序时
当按C,B,A的顺序时
当按C,A,B的顺序时
E(X)=2144,
E(X)=2256，
E(X)=2112
E(X)=1872，
E(X)=1904.
当按A,B,C的顺序时
E(X)=2336
可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.
新知应用
解：
3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
甲机床次品数的分布列
乙机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.
典例讲解
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
典例讲解
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.
因此,P(X1=3800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,
因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.
采用方案3,
P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,
E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
课堂小结
1.离散型随机变量的均值:
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
若 是两个随机变量, 且, 则有
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
2.离散型随机变量的均值的性质：

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