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(共20张PPT)
7.3.2离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法．
3.能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(2)一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
(3)一般地,下面的结论成立:
E(aX+b)=aE(X)+b .
复习回顾
思考：你还记得什么是一组数据x1，x2，…，xn的方差及其意义吗？
期望反映了随机变量取值的平均水平或分布的 “集中趋势”；
当两组数据的期望相同时，那还能通过探究这组数据的什么数字特征呢？
方差用于体现数据的两极分化程度，
即反映这组数据相对于平均值的集中程度。
还可以考察数据的方差
新知探究
问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
E(X)= 8 ；E(Y)=8
新知探究
追问 怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度 （如何比较离散程度）
为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
O
6
7
8
10
9
P
0.1
0.2
0.3
0.4
比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
新知探究
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.
样本的方差 ：
随机变量的方差
新知探究
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
则称
为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
离散型随机变量的方差：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，
随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，
随机变量的取值越分散.
概念生成
分别计算两位同学的方差
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
已知：E(X)= 8 ；E(Y)=8
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
新知应用
例1 由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为


现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ）
A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定
解：∵E(X1)＝E(X2)＝1.1，
D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，
D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，
∴D(X1)X1(甲得分) 0 1 2
P 0.2 0.5 0.3
X2(乙得分) 0 1 2
P 0.3 0.3 0.4
A
新知应用
例2 已知随机变量X的分布列如表所示：则a＝____，D(X)＝_____？
解: 根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，
所以a＝0.5，
E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
1 3 5
0.4 0.1 a
0.5
3.56
新知应用
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
新知探究
问题2 离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
离散型随机变量加上一个常数, 其均值也相应加上常数, 故不改变与其均值的离散程度, 方差保持不变
而离散型随机变量X乘以一个常数 , 其方差变为原方差的倍
新知探究
方差的性质:
1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X )
特殊地：
(1)当a=0时, D(b)=0
(2)当b=0时,D(aX )=a2D(X )
2. D(X )=E(X2)－E(X)2
新知探究
例5 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解：随机变量X的分布列为
新知应用
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
投资哪种股票的期望收益大 (2) 投资哪种股票的风险较高
分析：如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.
新知应用
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
∵E(X)>E(Y), ∴投资股票A的期望收益较大.
解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),
所以投资股票A比投资股票B的风险高.
(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6 1.12=1.29,
D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3 12=0.6.
新知应用
解：
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
新知应用
3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
甲班的目测误差分布列
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
解：直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.
∵D(X)>D(Y)
∴ X的分布离散程度较大
新知应用
课堂小结
1.离散型随机变量的方差：
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
为随机变量的方差，有时也记为，
并称为随机变量的标准差，记为.
2.方差的性质:
1. 若X，Y 是两个随机变量, 且Y＝aX+b, 则：D(Y )=D(aX＋b)=a2D(X )
2. D(X )=E(X2)－E(X)2

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