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类型1　函数图象的应用
画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
【例1】　已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＝f (2－x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝x.求x∈[－3，5]时，f (x)＝的所有解的和．
[解]　当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，∴f (－x)＝－x.
又∵f (x)为奇函数，∴x∈[－1，0]时，f (x)＝－f (－x)＝x.即x∈[－1，1]时，f (x)＝x.
又由f (x)＝f (2－x)可得f (x)的图象关于直线x＝1对称．
由此可得f (x)在[－3，5]上的图象如下：
在同一坐标系内画出y＝的图象，
由图可知在[－3，5]上共有四个交点，
∴f (x)＝在[－3，5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴＝1，＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝4.
类型2　函数性质的应用
1．解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
2．研究与抽象函数有关的问题时要紧扣其定义，通过赋值来求解．
【例2】　已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，且当x>0时，f (x)<0，f (1)＝－.
(1)求证：f (x)在R上是减函数；
(2)求f (x)在[－3，3]上的最大值和最小值；
(3)解不等式f (x)－f (－x)>2.
[解]　(1)证明：由f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，可得
f (x＋y)－f (x)＝f (y)．
在R上任取x1>x2，
令x＋y＝x1，x＝x2，
则f (x1)－f (x2)＝f (x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0，
即f (x1)－f (x2)<0.
由定义可知f (x)在R上是减函数．
(2)∵f (x)在R上是减函数，
∴f (x)在[－3，3]上单调递减，
∴f (－3)最大，f (3)最小．又f (1)＝－，
∴f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×＝－2.
∴f (－3)＝f (4－3)－f (4)＝f (1)－f (3)－f (1)
＝－f (3)＝2.
即f (x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.
(3)由(2)知f (－3)＝2，
f (x)－f (－x)>2，即f (x)>f (－x)＋2＝f (－x)＋f (－3)＝f (－3－x)，
由(1)知f (x)在R上为减函数，∴f (x)>f (－3－x)，得x<－3－x，解得解集为.
类型3　数学思想在函数中的应用
　数形结合思想
数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．
【例3】　已知x2>，求x的取值范围．
[解]　x2与有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以在同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1.
　分类讨论思想
考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．
【例4】　设函数f (x)＝x2－2x，x∈，若函数的最小值为g(a)，试求g(a).
[思路点拨]　由于a与1的大小关系不确定，所以应分－2[解]　f (x)＝x2－2x＝－1，对称轴为直线x＝1.
而1不一定属于区间，应进行讨论．
当－2当a≥1时，f (x)在区间上单调递减，在[1，a]上单调递增，
则g(a)＝f (1)＝－1.
综上，g(a)＝
　转化的数学思想
通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．
【例5】　若函数f (x)＝x2＋mx＋n对任意实数x都有f (2－x)＝f (2＋x)成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．
[解]　依题意可知f (x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f (－1)＝f (5)．
∵f (x)在[2，＋∞)上单调递增，
∴f (2)即f (2)章末综合测评(二)　函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是(　　)
A．
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
B．
C．y＝x2
D．(x＋y)(x－y)＝0
D　[A、B、C符合函数的定义，能表示y是x的函数，而D中x，y满足y2＝x2，对于一个x值，有两个y值和其对应，因此，不能表示y是x的函数，故选D.]
2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　)
A．f (x)＝，g(x)＝x－1
B．f (x)＝，g(x)＝()2
C．f (x)＝x2－2，g(t)＝t2－2
D．f (x)＝·，g(x)＝
C　[对于A，f (x)＝，g(x)＝x－1的定义域不同，化简后对应关系相同，不是同一个函数；
对于B，f (x)＝，g(x)＝()2的定义域不同，对应关系不同，不是同一个函数；
对于C，f (x)＝x2－2，g(t)＝t2－2的定义域相同，对应关系相同，是同一个函数；
对于D，f (x)＝·，g(x)＝的定义域不同，化简后对应关系相同，不是同一个函数．故选C.]
3．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
C．[1，3]
D．(1，3)
C　[由－x2＋4x－3≥0得x2－4x＋3≤0，
解得1≤x≤3，故选C.]
4．已知函数f (x)＝则f (2)的值等于(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．无意义
C　[∵f (x)＝
∴f (2)＝f (5)＝＝2.故选C.]
5．已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (－1)＋g(1)＝2，f (1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝(　　)
A．4 　 B．3
C．2 　 D．1
B　[∵f (x)是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f (－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f (1)＝2．①
∵f (1)＋g(－1)＝4，∴f (1)＋g(1)＝4．②
由①②，得g(1)＝3.]
6．已知f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是单调递减的，则a的取值范围为(　　)
A．(0，1) 　 B．(0，1]
C．(－1，0)∪(0，1) 　 D．[－1，0)∪(0，1]
B　[f (x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
其单调减区间为[a，＋∞)，f (x)在区间[1，2]上单调递减，则a≤1.
又g(x)＝在区间[1，2]上单调递减，则a>0.
综上可得，07．已知定义域为R的函数f (x)在区间(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f (x＋4)为偶函数，则(　　)
A．f (2)>f (3) 　 B．f (2)>f (5)
C．f (3)>f (5) 　 D．f (3)>f (6)
D　[∵y＝f (x＋4)为偶函数，∴f (－x＋4)＝f (x＋4)．令x＝2，得f (2)＝f (－2＋4)＝f (2＋4)＝f (6)，
同理，f (3)＝f (5)．又知f (x)在(4，＋∞)上单调递减，
∵5<6，∴f (5)>f (6)，∴f (2)f (6)．故选D.]
8．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f (x－1)－1 　 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 　 D．f (x＋1)＋1
B　[法一：因为f (x)＝，所以f (x－1)＝＝，f (x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f (x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f (x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f (x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．故选B.
法二：f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f (x－1)＋1，故选B.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)的值域是[－2，2]，则函数f (x＋1)的值域为[－3，1]
B．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
C．若A∪B＝B，则A∩B＝A
D．函数f (x)的定义域是[－2，2]，则函数f (x＋1)的定义域为[－3，1]
BCD　[由f (x)与f (x＋1)的值域相同知，A错误；设f (x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f (x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f (x)有无数个，B正确；由A∪B＝B得，A B，从而A∩B＝A，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选BCD.]
10．有下列几个命题，其中正确的是(　　)
A．函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增
B．函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上单调递减
C．函数y＝的单调区间是[－2，＋∞)
D．已知函数g(x)＝是奇函数，则f (x)＝2x＋3
AD　[由y＝2x2＋x＋1＝2＋在上单调递增知，函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；y＝在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是单调递减的，但在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上不是单调递减的，如－2<0，但<，故B错误；y＝在[－2，－1)上无意义，从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C错误；设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3，因为g(x)为奇函数，所以f (x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，故D正确．故选AD.]
11．定义在R上的奇函数f (x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f (x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式正确的是(　　)
A．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
B．f (b)－f (－a)C．f (a)－f (－b)>g(b)－g(－a)
D．f (a)－f (－b)AC　[∵f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f (－a)＝f (a)，g(－b)＝g(b)．∵a>b>0，∴f (a)>f (b)>f (0)＝0，g(a)>g(b)>g(0)＝0，且f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)，f (b)－f (－a)＝f (b)＋f (a)＝g(b)＋g(a)>g(a)－g(b)＝g(a)－g(－b)，∴A正确，B不正确．又g(b)－g(－a)＝g(b)－g(a)<0，而f (a)－f (－b)＝f (a)＋f (b)>0，∴C正确，D不正确．故选AC.]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上的最大值为________．
－4　[∵y＝在区间[2，4]上单调递减，y＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴函数f (x)＝－3x在区间[2，4]上单调递减，∴f (x)最大值＝f (2)＝－3×2＝－4.]
13．若函数f (x)＝x3＋(b－1)x2＋x是定义在[2a，1－a]上的奇函数，则a＋b＝________．
0　[由题意知解得
∴a＋b＝0.]
14．已知函数f (x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f (x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f (x)在[－1，1]上与x轴有交点，则实数a的取值范围为________．
(1)(1，＋∞)　(2)[－8，0]　[(1)∵f (x)的图象与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f (x)的图象的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f (x)在[－1，1]上为减函数，
∴要使f (x)在[－1，1]上与x轴有交点，
需满足即
∴－8≤a≤0，即实数a的取值范围为[－8，0].]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数f (x)＝x＋，且f (1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f (x)的奇偶性．
[解]　(1)∵f (1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f (x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，又∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)，∴此函数是奇函数．
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝1－.
(1)若g(x)＝f (x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f (x)在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
[解]　(1)由已知g(x)＝f (x)－a，得g(x)＝1－a－，
因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即1－a－＝－，
解得a＝1.
(2)函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
任取0因为00，
从而<0，即f (x1)所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
17．(本小题满分15分)
如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f ( f (4))的值及f (x)的解析式；
(2)若f (x)＝，求实数x的值．
[解]　(1)根据图象可知f (4)＝0，
则f ( f (4))＝f (0)＝1.
设直线段对应的方程为y＝kx＋b.
将点(0，1)和点(－1，0)代入可得b＝1，k＝1，
即y＝x＋1.
当x>0时，设y＝ax2＋bx＋c.
因为图象过点(0，0)，(4，0)，(2，－1)，
代入可得y＝x2－x.
所以f (x)＝
(2)当x＋1＝时，x＝－，符合题意；
当x2－x＝时，解得x＝2＋或x＝2－(舍去)．
故x的值为－或2＋.
18．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，求f (x)的定义域；
(2)若f (x)在区间(0，1]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f (x)的定义域是.
(2)当a－1>0，即a>1时，要使f (x)在(0，1]上单调递减，则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时，要使f (x)在(0，1]上单调递减，则需－a>0，且3－a×1≥0，此时a<0.
综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，3].
19．(本小题满分17分)已知函数y＝x＋有如下性质：若常数t>0，则该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
(1)已知f (x)＝，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f (x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f (x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g(x2)＝f (x1)成立，求实数a的值．
[解]　(1)y＝f (x)＝＝2x＋1＋－8．设u＝2x＋1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，故y＝u＋－8，u∈[1，3].由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f (x)为减函数，所以f (x)的递减区间为；当2≤u≤3，即≤x≤1时，f (x)为增函数，所以f (x)的递增区间为.
由f (0)＝－3，f ＝－4，f (1)＝－，得f (x)的值域为[－4，－3].
(2)因为g(x)＝－x－2a在[0，1]上单调递减，
所以g(x)∈[－1－2a，－2a].
由题意，得f (x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以解得a＝.(共11张PPT)
章末综合提升
第二章　函数
巩固层·知识整合
类型1　函数图象的应用
画函数图象是表示函数的一种方法，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
提升层·题型探究
类型2　函数性质的应用
1．解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
2．研究与抽象函数有关的问题时要紧扣其定义，通过赋值来求解．
[解]　(1)证明：由f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，可得
f (x＋y)－f (x)＝f (y)．
在R上任取x1>x2，
令x＋y＝x1，x＝x2，
则f (x1)－f (x2)＝f (x1－x2)．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f (x)<0，∴f (x1－x2)<0，
即f (x1)－f (x2)<0.
由定义可知f (x)在R上是减函数．
[思路点拨]　由于a与1的大小关系不确定，所以应分－2角度3　转化的数学思想
通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而运用其性质来解题．
【例5】　若函数f (x)＝x2＋mx＋n对任意实数x都有f (2－x)＝f (2＋x)成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．
[解]　依题意可知f (x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f (－1)＝f (5)．
∵f (x)在[2，＋∞)上单调递增，∴f (2)即f (2)

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