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(共12张PPT)
章末综合提升
第四章　对数运算与对数函数
巩固层·知识整合
提升层·题型探究
类型1　对数的运算
1．利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式，然后正用对数运算法则化简．
2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
类型2　函数图象及其应用
函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
角度1　由解析式判断函数图象
【例2】　已知f (x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f (3)·g(3)<0，那么
f (x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
√
[思路点拨]　本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与对数函数的关系．可利用排除法进行判断．
C　[由于f (x)与g(x)互为反函数，所以它们的图象应关于直线y＝x对称，由此，可排除A，D.
又f (3)>0，而f (3)·g(3)<0，
则g(3)<0，所以0＜a＜1，
据此可知C正确，故选C.]
类型3　对数函数的性质及应用
角度1　比较大小
1．当底数相同时，用对数函数的性质直接比较；
2．当底数不同，真数相同时，用图象作比较；
3．当底数和真数都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数或真数，常用“0”或“1”作为中介数．
c＞b＞a　类型1　对数的运算
1．利用幂的运算把底数或真数化成分数指数幂的形式，然后正用对数运算法则化简．
2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
【例1】　(1)求值：lg lg ＋lg ；
(2)已知2lg ＝lg x＋lg y，求.
[解]　(1)原式＝(lg 32－lg 49)
＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5－2lg 2
＝(lg 10－lg 5)＋lg 5＝.
(2)由已知得lg ＝lg xy，
∴＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴－6＋1＝0.
∴＝3±2.
∵∴＞1，
∴＝3＋2，
＝(3＋2)
＝＝－1.
类型2　函数图象及其应用
函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
　由解析式判断函数图象
【例2】　已知f (x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f (3)·g(3)<0，那么f (x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是图中的(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
[思路点拨]　本题的关键是确定a与1的关系，转化成指数函数与对数函数的关系．可利用排除法进行判断．
C　[由于f (x)与g(x)互为反函数，所以它们的图象应关于直线y＝x对称，由此，可排除A，D.
又f (3)>0，而f (3)·g(3)<0，
则g(3)<0，所以0＜a＜1，
据此可知C正确，故选C.]
　应用函数图象研究函数性质
【例3】　已知f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)，如果对于任意的x∈都有| f (x)|≤1成立，试求a的取值范围．
[解]　
∵f (x)＝logax，则y＝| f (x)|的图象如图．
由图示，要使x∈时恒有| f (x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
故当a＞1时，得a-1≤≤a，即a≥3；
当0综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
类型3　对数函数的性质及应用
　比较大小
1．当底数相同时，用对数函数的性质直接比较；
2．当底数不同，真数相同时，用图象作比较；
3．当底数和真数都不相同时，常找一个“中间变量”统一底数或真数，常用“0”或“1”作为中介数．
【例4】　已知f (x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，设a＝f ，b＝f (log43)，c＝f (0.41.2)，则a，b，c的大小关系是________.
c＞b＞a　[∵f (x)是定义在(－∞，＋∞)内的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，∴f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且a＝f ＝f (－ln 3)＝f (ln 3)．
∵ln 3>ln e＝1，＝log42f (log43)>f (ln 3)，即c>b>a.]
　函数性质综合应用
指数函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数来研究．
【例5】　已知函数f ＝lg .
(1)求函数f 的定义域；
(2)在函数y＝f 的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f 在(1，＋∞)上恒取正值？
[解]　(1)由ax－bx>0得>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f 的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则，
所以>0，
即，故f >f ，
所以f 在定义域(0，＋∞)上为增函数；
假设函数y＝f 的图象上存在不同的两点A，B，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f 是增函数矛盾．
故函数y＝f 的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f 在定义域(0，＋∞)上是增函数，
所以当x∈(1，＋∞)时，f >f .
这样只需f ＝lg ≥0，
即当a≥b＋1时，f 在(1，＋∞)上恒取正值．
章末综合测评(四)　对数运算与对数函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz 　 B．y＝x7z
C．y＝7x 　 D．y＝z7x
B　[由logx＝z，得xz＝，y＝x7z.故选B.]
2．函数y＝的定义域是(　　)
A． 　 B．
C．(0，＋∞) 　 D．R
A　[要使函数有意义，则5x－3＞0，
∴x＞，函数的定义域为.]
3．已知函数f (x)＝那么f (ln 2)的值是(　　)
A．0 　 B．1
C．ln(ln 2) 　 D．2
B　[∵04．函数f (x)＝ 的图象大致是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　D
C　[∵f (x)＝＝∴选C.]
5．0.32，log20.3，20.3三个数的大小关系为(　　)
A．0.32＜20.3＜log20.3 　 B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3 　 D．log20.3＜20.3＜0.32
C　[∵0.32＝0.09，log20.3＜0，20.3＞1，∴log20.3＜0.32＜20.3.]
6．设函数f (x)＝若f (x0)>1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1，3)
C　[当x0≥2时，∵f (x0)>1，∴log2(x0－1)>1，
即x0>3；
当x0<2时，由f (x0)>1得>，∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．]
7．函数f (x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为(　　)
A．0 　 B．10
C．1 　 D．
C　[由已知得，a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当08．(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　)
A．log2<
B．log2>
C．log2D．log2>x1＋x2
B　[因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，且x1≠x2，则，所以y1＋y2＝，所以>0，所以.故选B.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)
A．函数y＝的最小值为
B．已知函数y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(1，2)
C．在同一直角坐标系中，函数y＝log2x与y＝的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称
AD　[A正确，令t＝－x2＋1，则t的最大值为1，∴y＝的最小值为；B错误，∵函数y＝loga(2－ax)在(0，1)上单调递减，∴解得110．设函数y＝ln (x2－x＋1)，则下列命题中正确的是(　　)
A．函数的定义域为R
B．函数是增函数
C．函数的值域为R
D．函数的图象关于直线x＝对称
AD　[A正确，∵x2－x＋1＝＋>0恒成立，∴函数的定义域为R；B错误，函数y＝ln (x2－x＋1)在x>时单调递增，在x<时单调递减；C错误，由x2－x＋1＝＋可得y＝ln (x2－x＋1)≥ln ，∴函数的值域为；D正确，函数的图象关于直线x＝对称．]
11．已知函数f (x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)
A．f (4)＝－3
B．函数y＝f (x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f (x)的最小值为－4
D．函数y＝f (x)的最大值为4
ABC　[A正确，f (4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f (x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f (x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f (x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f (x)取得最小值－4；D错误，f (x)没有最大值．]
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________．(用a，b表示)
ab　[由于log37＝＝b，又log23＝a，
所以log27＝ab.]
13．如图所示，四条曲线分别是y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx，则a，b，c，d与0，1的大小关系是________．
014．已知函数y＝f (x)的图象与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2)．
(1)函数f (x)的解析式为________；
(2)若f (3x－1)>f (－x＋5)成立，则x的取值范围为________．
(1)f (x)＝x　(2)　[(1)因为g(9)＝loga9＝2，解得a＝3，所以g(x)＝log3x.
因为函数y＝f (x)的图象与g(x)＝log3x的图象关于x轴对称，所以f (x)＝x.
(2)因为f (3x－1)>f (－x＋5)，
所以(－x＋5)，
则解得即x的取值范围为.]
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A，若点A也在函数f (x)＝3x＋b的图象上，求b的值．
[解]　当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A.
若点A也在函数f (x)＝3x＋b的图象上，则－＝3-2＋b，所以b＝－1.
16．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝logm(m>0，且m≠1)．
(1)判断f (x)的奇偶性并证明；
(2)若m＝，判断f (x)在(3，＋∞)上的单调性．
[解]　(1)f (x)是奇函数．证明如下：
由>0解得x<－3或x>3，
所以f (x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称．
∵f (－x)＝logm＝logm
＝logm＝－f (x)，
故f (x)为奇函数．
(2)任取x1，x2∈(3，＋∞)且x1f (x1)－f (x2)＝logm－logm＝logm，
∵(x1－3)(x2＋3)－(x1＋3)(x2－3)<0，
∴(x1－3)(x2＋3)<(x1＋3)(x2－3)，
即<1，
当m＝时，>0，
即f (x1)>f (x2)，
故f (x)在(3，＋∞)上单调递减．
17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)当a＝3时，f (x)<1，求实数x的取值范围；
(2)若f (x)在[3，6]上的最大值大于0，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝3时，log3(3x－1)<1，
∴0<3x－1<3，得∴实数x的取值范围是.
(2)∵a>0，∴y＝ax－1在定义域内单调递增，
当a>1时，函数f (x)在[3，6]上单调递增，
f (x)max＝f (6)＝loga(6a－1)>0，
得6a－1>1，即a>，
又a>1，故a>1；
当00，
得0<3a－1<1，综上，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
18．(本小题满分17分)设f (x)＝＋lg .
(1)求函数的定义域；
(2)判断f (x)的单调性，并根据函数单调性的定义证明；
(3)解关于x的不等式f ＋lg 3>0.
[解]　(1)因为函数f (x)＝＋lg ，所以x＋2≠0且>0，解得－2(2)任取x1，x2∈(－2，2)，且x1则f (x2)－f (x1)＝＋lg －lg ＝＋lg ，
因为x1，x2∈(－2，2)，且x1所以<0，0<<1，
所以<0，lg <0，
所以f (x2)－f (x1)<0，即f (x2)所以函数f (x)在(－2，2)上单调递减．
(3)因为函数f (x)＝＋lg ，
令x＝1，即f (1)＝＋lg ＝－lg 3，
则不等式f ＋lg 3>0，
即f >－lg 3＝f (1)，
所以
解得－1所以不等式的解为(－1，1)∪(2，4)．
19．(本小题满分17分)已知函数f (x)＝log9(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f (x)＝＋b有实数根，求b的取值范围．
[解]　(1)∵f (x)为偶函数，
∴ x∈R，有f (－x)＝f (x)，∴log9(9－x＋1)－kx＝log9(9x＋1)＋kx对x∈R恒成立．
∴2kx＝log9(9－x＋1)－log9(9x＋1)
＝log9－log9(9x＋1)＝－x对x∈R恒成立，
∴(2k＋1)x＝0对x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)由题意知，log9(9x＋1)－＝x＋b有实数根，即log9(9x＋1)－x＝b有解．
令g(x)＝log9(9x＋1)－x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝b有交点．即g(x)＝log9(9x＋1)－x＝log9＝log9.
∵1＋>1，
∴g(x)＝log9>0，
∴b的取值范围是(0，＋∞)．

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