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类型1　函数的零点及其应用
1． 确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
【例1】　(1)已知函数f (x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(2，3) 　 D．(3，4)
(2)已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，0) 　 B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) 　 D．[1，＋∞)
(1)C　(2)C　[(1)因为f (x)＝ln x－在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝ln 1－＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－<0，f (3)＝ln 3－>0，所以x0∈(2，3)，故选C.
(2)函数g(x)＝f (x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f (x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f (x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f (x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.
]
类型2　二分法及应用
1．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．
2．计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求．
3．二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f (x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．
【例2】　 设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的．
先求值：f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________．
所以f (x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，
区间 中点m f (m)符号 区间长度
结论x0的值为多少？(精确度为0.1)
[解]　f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31，
所以初始区间为(1，2)．
区间 中点m f (m)符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以x0≈1.125(不唯一)．
类型3　函数的实际应用
1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．
2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．
3．求解函数模型，并还原为实际问题的解．
【例3】　某市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为p(t)．
(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝－60(元)，问：当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值．
[解]　(1)由题设，当2≤t<10时，令p(t)＝500－k(10－t)2(k>0)，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴p(2)＝500－k(10－2)2＝372，解得k＝2.
∴p(t)＝ ，
故t＝5时，p(5)＝500－2×52＝450，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人．
(2)由(1)得：
Q(t)＝ ，
∵2≤t<10时，Q(t)≤260－2＝132，当且仅当t＝4时等号成立，
∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(4)＝132，
而10≤t≤20时，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝74.4，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大，为132元．
章末综合测评(五)　函数应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为(　　)
A．1，2，3 　 B．1，－1，3
C．1，－1，－3 　 D．无零点
B　[令y＝0，即(x－1)(x2－2x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，x3＝3.故选B.]
2．设f (x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f (x)有零点的区间是(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(－2，－1) 　 D．(－1，0)
D　[因为f (－1)＝3-1－1<0，f (0)＝30－0＝1>0，所以f (－1)·f (0)<0.]
3．函数y＝log2x－的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[当x＝4时，y＝log2x－＝0，所以舍去D；
当x＝16时，y＝log2x－＝0，所以舍去BC.故选A.]
4．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是(　　)
A．x2<2x 　 B．log2xC．log2x< 　 D．2xB　[当x∈(2，4)时，x2∈(4，16)，2x∈(4，16)，log2x∈(1，2)，∈，显然C，D不正确，对于选项A，若x＝3时，x2＝9>23，故A也不正确．]
5．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5．某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为(单位：元)(　　)
A．2[x＋1] 　 B．2([x]＋1)
C．2{x} 　 D．{2x}
C　[当x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A、B；当x＝0.5时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D，故选C.]
6．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.]
7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的根(精确度为0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875，0.6253≈0.244 14)(　　)
A．0.25 　 B．0.375
C．0.635 　 D．0.825
C　[令f (x)＝2x3＋3x－3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，
∵|0.75－0.625|＝0.125<0.25，
∴区间(0.625，0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
8．我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是(　　)
A．跌1.99% 　 B．涨1.99%
C．跌0.99% 　 D．涨0.99%
A　[设四天前股价为a，则现在的股价为a×1.12×0.92＝0.980 1a，跌1.99%.]
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列函数：
①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有零点的函数是(　　)
A．① 　 B．③
C．② 　 D．④
ABD　[分别作出这四个函数的图象(图略)，其中①y＝lg x，③y＝x2与x轴有一个交点，图象④y＝|x|－1的图象与x轴有两个交点，即有2个零点，故选ABD.]
10．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象选择错误的是(　　)
①　　　　②　　　③　　　　④
A．甲是图①，乙是图② 　 B．甲是图①，乙是图④
C．甲是图③，乙是图② 　 D．甲是图③，乙是图④
ACD　[由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]
11．若函数f (x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围不可能是(　　)
A．a<－3 　 B．－C．－3ABD　[∵函数y＝log2x，y＝4x在其定义域上是增加的，
∴函数f (x)＝alog2x＋a·4x＋3在区间上单调且连续，
∴由零点存在定理可得f ·f (1)<0，即(－a＋2a＋3)(4a＋3)<0，解得－3三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于________台．
180　[设产量为x台时利润为S万元，
则S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．]
13．若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(0，2)　[由函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点可得|2x－2|＝b有两个不等的根，从而可得函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图象有两个交点，结合函数的图象可得0]
14．已知函数f (x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列四个命题：
①F(x)＝| f (x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0②③④　[易知F(x)＝f (|x|)，故F(x)＝| f (x)|不正确；②∵F(x)＝f (|x|)，∴F(－x)＝F(x)，
∴函数F(x)是偶函数；③当a<0时，若0四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内实数解的存在性，并说明理由．
[解]　令f (x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x在[1，2]上都为单调递增函数，
∴f (x)＝4x3＋x－15在[1，2]上为单调递增函数，
∵f (1)＝4＋1－15＝－10<0，
f (2)＝4×8＋2－15＝19＞0，
∴f (x)＝4x3＋x－15在[1，2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1，2]内有一个实数解．
16．(本小题满分15分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
[解]　(1)由题意，
得y＝
(2)∵当x∈(0，15]时，0.1x≤1.5，
又y＝5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.
即老张的销售利润是39万元．
17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝x2－bx＋3.
(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x)的零点；
(2)若函数f (x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围．
[解]　(1)因为f (0)＝f (4)，所以3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f (x)＝x2－4x＋3，
令f (x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝1.
所以f (x)的零点是1和3.
(2)因为f (x)的一个零点大于1，另一个小于1，如图．
需f (1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
即b的范围为(4，＋∞)．
18．(本小题满分17分)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f (x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程为f (x)＝m(m∈R)，恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围．
[解]　当x≤0，即2x－1≤x－1时，
则f (x)＝(2x－1)*(x－1)＝(2x－1)2－(2x－1)(x－1)＝2x2－x，
当x＞0，即2x－1＞x－1时，则f (x)＝(2x－1)*(x－1)＝(x－1)2－(2x－1)(x－1)＝－x2＋x，画出大致图象如图，
可知当m∈时，f (x)＝m恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，其中x2，x3是方程－x2＋x－m＝0的根，x1是方程2x2－x－m＝0的一个根，则x2x3＝m，x1＝，所以x1x2x3＝，显然，该式随m的增大而减小，
因此，当m＝0时，(x1x2x3)max＝0；
当m＝时，(x1x2x3)min＝.
由以上可知x1x2x3的取值范围为.
19．(本小题满分17分)某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m(m∈N*)个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf (x)，其中f (x)＝当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果m＝6，那么渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？
(2)如果投放的药剂质量为m个单位，为了使在8天(从投放药剂算起且包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．
[解]　(1)由题设知，渔场的水质达到有效净化 6f (x)≥6 f (x)≥1 或 0即当m＝6时，渔场水质达到有效净化一共可持续8天．
(2)由题设知对任意的x∈(0，8]，6≤mf (x)≤18，m∈N*，
∵f (x)＝
∴对任意的x∈(0，5]，6≤mlog3(x＋4)≤18，且对任意的x∈(5，8]，6≤≤18.
∴且
解得6≤m<9，
又m＝9时符合题意，
故投放的药剂质量m的取值范围为[6，9]，
且m∈N*，即m∈{6，7，8，9}．(共12张PPT)
章末综合提升
第五章　函数应用
巩固层·知识整合
类型1　函数的零点及其应用
1．确定函数f (x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f (a)·f (b)<0．若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．
提升层·题型探究
√
√
类型2　二分法及应用
1．二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．
2．计算时注意依据给定的精确度，及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求．
3．二分法在具体使用时有一定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f (x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．
【例2】　设函数f (x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的．
先求值：f (0)＝_____，f (1)＝_____，f (2)＝_____，f (3)＝_____．
所以f (x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，
结论x0的值为多少？(精确度为0.1)
区间 中点m f (m)符号 区间长度




[解]　f (0)＝－5，f (1)＝－1，f (2)＝9，f (3)＝31，所以初始区间为(1，2)．
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以x0≈1.125(不唯一)．
区间 中点m f (m)符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1.125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 0.062 5
类型3　函数的实际应用
1．对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．
2．建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．
3．求解函数模型，并还原为实际问题的解．

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