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2.1　函数概念
§2　函数
第二章　函数
学习任务 核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(重点、难点)
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(重点)
3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点、难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．
2．借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
1．函数的定义是什么？
2．函数的自变量、定义域是如何定义的？
3．函数的值域是如何定义的？
知识点1　函数的有关概念
函数的定义 给定实数集R中的两个________A和B，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 y＝f (x)，x∈A
定义域 ______称为函数的定义域，x称为自变量
值域 与x值对应的y值称为函数值，集合____________称为函数的值域
非空数集
唯一确定
集合A
{f (x)|x∈A}
思考1．(1)有人认为“y＝f (x)”表示的是“y等于f 与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f (x)与f (a)有何区别与联系？
[提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f (x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f (x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f (x)与f (a)的区别与联系：f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
体验1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
①②④　[由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．]
{x|x<4}　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．]
体验3．已知f (x)＝x2＋1，则f (－1)＝________．
2　[∵f (x)＝x2＋1，∴f (－1)＝(－1)2＋1＝2.]
①　　　　②　　　③　　　　④
①②④　
{x|x<4}
2
知识点2　同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
思考2．(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系？
(2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
[提示]　(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
(2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
③
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数的概念
【例1】　(1)下列各图中，不可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　)
A　　　 　B　　 　　C　　 　　D
√
(1)B　[根据函数的定义，当图形与垂直于x轴的直线有两个交点时，图形不可能是函数的图象，故选B.]
(2)[解]　①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f ：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
③集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
④对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f ：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思领悟　1．判断一个对应是否是函数的方法
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
①
①　[对于①，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，因此①是A到B的函数．
对于②，当x＝0时，在集合B中，没有元素和它对应，因此②不是A到B的函数．
对于③，当x＝2时，在B中没有元素和它对应，因此③不是A到B的函数．
对于④，当x＝3时，在B中没有元素和它对应，因此④不是A到B的函数．]
反思领悟　求函数值的方法
(1)已知f (x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由里到外的原则．
16　
√
反思领悟　判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤．
(2)两个注意点．
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域．
√
D　[对于A，两函数的定义域不同，因此不是同一函数．
对于B，两函数的对应关系不同，因此不是同一函数．
对于C，两函数的定义域不同，因此不是同一函数．
对于D，两函数的定义域和对应关系相同，因此是同一函数，故选D.]
反思领悟　求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是非空的数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
2
4
3
题号
1
5
C　[根据函数的定义知，函数的定义域和值域是非空的数集．故选C.]
2．如图所示的图象不可能成为函数y＝f (x)图象的是(　　)
√
2
4
3
题号
1
5
A　[根据函数的定义知，函数图象与垂直于x轴的直线只有一个交点，故选A.]
A．(1) 　 B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3) 　 D．(3)(4)
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
－3§2　函数
2.1　函数概念
学习任务 核心素养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(重点、难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(重点) 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点、难点) 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数的定义域的求解，培养数学运算素养．
1．函数的定义是什么？
2．函数的自变量、定义域是如何定义的？
3．函数的值域是如何定义的？
知识点1　函数的有关概念
函数的定义 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数
函数的记法 y＝f (x)，x∈A
定义域 集合A称为函数的定义域，x称为自变量
值域 与x值对应的y值称为函数值，集合{f (x)|x∈A}称为函数的值域
1．(1)有人认为“y＝f (x)”表示的是“y等于f 与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f (x)与f (a)有何区别与联系？
[提示]　(1)这种看法不对．符号y＝f (x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量x的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f (x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f 与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f (x)与f (a)的区别与联系：f (a)表示当x＝a时，函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a)是f (x)的一个特殊值，如一次函数f (x)＝3x＋4，当x＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
1．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．
①　　　　②　　　　③　　　　④
①②④　[由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．]
2．函数f (x)＝的定义域是______________．
{x|x<4}　[由4－x>0，解得x<4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．]
3．已知f (x)＝x2＋1，则f (－1)＝________．
2　[∵f (x)＝x2＋1，
∴f (－1)＝(－1)2＋1＝2.]
知识点2　同一个函数
一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
2．(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系？
(2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
[提示]　(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否为同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
(2)不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
4．给出下列三组函数，其中表示同一个函数的是______(填序号)．
①f (x)＝x，g(x)＝；
②f (x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1；
③f (x)＝x，g(x)＝.
③　[①中f (x)＝x与g(x)＝的定义域不同；②中f (x)＝2x＋1，g(x)＝2x－1的对应关系不同．③中f (x)＝x，g(x)＝＝x.两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一个函数．]
类型1　函数的概念
【例1】　(1)下列各图中，不可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
(2)判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f ：x→y＝|x|；
②A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝；
④A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f ：x→y＝0.
(1)B　[根据函数的定义，当图形与垂直于x轴的直线有两个交点时，图形不可能是函数的图象，故选B.]
(2)[解]　①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f ：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
③集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
④对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f ：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
　1．判断一个对应是否是函数的方法
2．根据图形判断是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
[跟进训练]
1．下列对应是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝{1，2，3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4；
②A＝R，B＝{正实数}，f ：y＝；
③A＝R，B＝R，f ：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝.
①　[对于①，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，因此①是A到B的函数．
对于②，当x＝0时，在集合B中，没有元素和它对应，因此②不是A到B的函数．
对于③，当x＝2时，在B中没有元素和它对应，因此③不是A到B的函数．
对于④，当x＝3时，在B中没有元素和它对应，因此④不是A到B的函数．]
类型2　求函数值
【例2】　设f (x)＝2x2＋2，g(x)＝.
(1)求f (2)，f (a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g( f (2))；
(2)求g( f (x))．
[解]　(1)因为f (x)＝2x2＋2，
所以f (2)＝2×22＋2＝10，
f (a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＝(a≠－2).
g( f (2))＝g(10)＝＝.
(2)g( f (x))＝＝＝.
　求函数值的方法
(1)已知f (x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由里到外的原则．
[跟进训练]
2．已知函数f (x)＝－1，且f (a)＝3，则a＝________．
16　[因为f (x)＝－1，所以f (a)＝－1.
又因为f (a)＝3，所以－1＝3，a＝16.]
类型3　判定同一个函数
【例3】　下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x
C．y＝与y＝x
D．y＝与y＝x－1
C　[对于A、B，两函数的定义域不同，因此不是同一个函数．
对于C，y＝＝x，两函数的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．
对于D，y＝＝|x－1|.两函数的对应关系不同，因此不是同一个函数．故选C.]
　判断同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否为同一个函数的三个步骤．
(2)两个注意点．
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
提醒：不能将函数的解析式变形后求定义域．
[跟进训练]
3．下列各组函数中表示同一个函数的是(　　)
A．y＝20与y＝
B．y＝±1与y＝
C．y＝与y＝
D．y＝x＋1与y＝
D　[对于A，两函数的定义域不同，因此不是同一函数．
对于B，两函数的对应关系不同，因此不是同一函数．
对于C，两函数的定义域不同，因此不是同一函数．
对于D，两函数的定义域和对应关系相同，因此是同一函数，故选D.]
类型4　求函数的定义域
【例4】　求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2；
(3)y＝.
[解]　(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2的定义域为.
(3)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}.
　求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f (x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f (x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f (x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
[跟进训练]
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋；
(2)y＝·；
(3)y＝(x－1)0＋.
[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(3)为使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x>－1，且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是非空的数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
C　[根据函数的定义知，函数的定义域和值域是非空的数集．故选C.]
2．如图所示的图象不可能成为函数y＝f (x)图象的是(　　)
A．(1) 　 B．(1)(3)(4)
C．(1)(2)(3) 　 D．(3)(4)
A　[根据函数的定义知，函数图象与垂直于x轴的直线只有一个交点，故选A.]
3．在下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝2x＋1，x∈N，g(x)＝2x－1，x∈N
B．f (x)＝·，g(x)＝
C．f (x)＝，g(x)＝x＋3
D．f (x)＝x2，g(x)＝
D　[对于A，两函数的对应关系不同，因此不是同一个函数．
对于B，C，两函数的定义域不同，因此不是同一个函数．
对于D，g(x)＝＝x2，两函数的定义域与对应关系都相同，因此是同一个函数，故选D.]
4．函数y＝的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} 　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0} 　 D．{x|0≤x≤1}
D　[由题意可知解得0≤x≤1.]
5．已知函数f ＝.若f (m)＝2，则m的值为________.
－3　[由f ＝2，得＝2，解得m＝－3.]
课时分层作业(十四)　函数概念
一、选择题
1．(多选)下列两个集合间的对应中，是M到N的函数的有(　　)
A．M＝{－1，0，1}，N＝{－1，0，1}，f ：M中的数的平方
B．M＝{0，1}，N＝{－1，0，1}，f ：M中的数的开方
C．M＝Z，N＝Q，f ：M中的数的倒数
D．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8}，f ：M中的数的2倍
AD　[根据函数的定义，A，D可构成函数关系；B中，集合M中的元素1，在集合N中有两个元素－1，1与之对应，因此不是函数关系．C中，集合M中的元素0，在集合N中没有元素与之对应，因此不是函数关系，故选AD.]
2．(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．f (x)＝x，g(x)＝
B．f (x)＝x，g(x)＝
C．f (x)＝x－1(x≠－1)，g(x)＝
D．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0
AC　[A中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是R，且g(x)＝＝x，是同一个函数；B中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是R，但g(x)＝|x|，不是同一个函数；C中f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是{x|x≠－1}，且g(x)＝＝x－1(x≠－1)，是同一个函数；D中f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是{x|x≠0}，不是同一个函数．故选AC.]
3．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．[2，3)
B．(3，＋∞)
C．[2，3)∪(3，＋∞)
D．(2，3)∪(3，＋∞)
C　[由解得x≥2，且x≠3.故函数f (x)的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．]
4．设f (x)＝，则等于(　　)
A．1 　 B．－1
C． 　 D．－
B　[∵f (2)＝＝，f ＝＝－，∴＝－1.]
5．若f (x)＝，则方程f (4x)＝x的根是(　　)
A． 　 B．－
C．2 　 D．－2
A　[∵f (4x)＝＝x，∴4x2－4x＋1＝0，∴x＝.]
二、填空题
6．(2022·北京高考)函数f (x)＝的定义域是________．
(－∞，0)∪(0，1]　[依题意解得x∈(－∞，0)∪(0，1].]
7．函数f (x)＝x2－2x，x∈{－1，0，1}的值域为________.
{3，0，－1}　[因为f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＝3，f (0)＝02－2×0＝0，f (1)＝12－2×1＝－1，所以f (x)的值域为{3，0，－1}．]
8．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝的定义域为B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是________．
(－∞，3]　[由题可知，g(x)的定义域为{x|x三、解答题
9．已知函数f (x)＝.
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－3)，f 的值；
(3)当a>0，求f (a)，f (a－1)的值．
[解]　(1)要使函数f (x)有意义，则
即x≥－3，且x≠－2，
故函数f (x)＝的定义域为{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f (－3)＝＝0－1＝－1.
f ＝＝＝.
(3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义，
所以f (a)＝；
f (a－1)＝＝.
10．已知f (x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)．
(1)求f (2)，g(3)的值；
(2)求f (g(3))的值及f (g(x))．
[解]　(1)因为f (x)＝，所以f (2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f (g(3))＝f (8)＝＝－，
f (g(x))＝＝＝(x≠0)．
11．(多选)下列函数中，满足f (2x)＝2f (x)的是(　　)
A．f (x)＝|x|
B．f (x)＝x－|x|
C．f (x)＝x＋1
D．f (x)＝－x
ABD　[在A中，f (2x)＝|2x|＝2|x|，2f (x)＝2|x|，满足f (2x)＝2f (x)；在B中，f (2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f (x)，满足f (2x)＝2f (x)；在C中，f (2x)＝2x＋1，2f (x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f (2x)＝2f (x)；在D中，f (2x)＝－2x＝2(－x)＝2f (x)，满足f (2x)＝2f (x)．]
12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个 　 B．9个
C．8个 　 D．4个
B　[由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域包含2个元素的集合有4个，定义域包含3个元素的集合有4个，定义域包含4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
13．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的值为________．
0　[函数y＝的定义域是使k2x2＋3kx＋1≠0成立的实数x的集合．
由函数的定义域为R，得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，函数的定义域为R，因此，k＝0符合题意；
当k≠0时，k2x2＋3kx＋1＝0无解，又Δ＝9k2－4k2＝5k2>0，不存在满足条件的k值．
综上可知，实数k的值为0.]
14．已知函数f (x)＝x2－mx＋n，且f (1)＝－1，f (n)＝m，则f ( f (－1))＝________，f ( f (x))＝________．
－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1　[由题意知解得
所以f (x)＝x2－x－1，故f (－1)＝1.
f ( f (－1))＝－1，f ( f (x))＝f (x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1.]
15．已知函数f (x)＝.
(1)求f (2)＋f 的值；
(2)求证：f (x)＋f 是定值；
(3)求2f (1)＋f (2)＋f ＋f (3)＋f ＋…＋f (9)＋f ＋f (10)＋f 的值．
[解]　(1)因为f (x)＝，所以f (2)＋f ＝＝1.
(2)证明：f (x)＋f ＝＝＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f (x)＋f ＝1，
所以f (1)＋f (1)＝1，
f (2)＋f ＝1，
f (3)＋f ＝1，
f (4)＋f ＝1，
…
f (10)＋f ＝1，
所以2f (1)＋f (2)＋f ＋f (3)＋f ＋…＋f (9)＋f ＋f (10)＋f ＝10.

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