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§1　随机现象与随机事件
1.1　随机现象
1.2　样本空间
学习任务 核心素养
1．理解确定性现象、随机现象的概念．(重点) 2．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点) 3．掌握试验的样本空间的写法．(重点) 1．通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助利用列举法写出试验的样本空间，培养数学建模素养．
1．我们日常生活中的现象可分为哪两类？
2．样本点和样本空间的概念是什么？用什么字母表示样本空间？
1．确定性现象和随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象．
(3)随机现象的两个特点：
①结果至少有2种；②事先并不知道会出现哪一种结果．
2．样本空间
(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果．
(2)样本空间：一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作Ω．
(3)样本点：样本空间Ω的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作ω．
(4)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的，那么称样本空间Ω为有限样本空间．
(1)“向上抛掷一枚骰子，观察向上的点数”是随机现象吗？如果是随机现象，那么它可能的结果有哪些？
(2)观察随机现象或进行试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示]　(1)是随机现象．它可能的结果有：出现1点、出现2点、出现3点、出现4点、出现5点、出现6点．
(2)不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
下列现象中，是随机现象的有(　　)
①在一条公路上，交警记录某一小时内通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]
类型1　随机现象和确定性现象的判断
【例1】　指出下列现象是确定性现象还是随机现象：
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)标准大气压下，把水加热至100 ℃沸腾；
(5)骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色．
[解]　(1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的；
(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．
(4)确定性现象．因为标准大气压下，水加热至100 ℃时“沸腾”这个结果一定会发生，是确定的．
(5)随机现象．因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
　判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为确定性现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
[跟进训练]
1．下列现象中，随机现象有________，确定性现象有________．
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
②④ 　①　[①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．]
类型2　样本点和样本空间
【例2】　指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[思路点拨]　根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
[解]　(1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，6－1＝5，
1－10＝－9，10－1＝9，
3－6＝－3，6－3＝3，
3－10＝－7，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2, 2，－5, 5，－9, 9，－3, 3，－7, 7，－4, 4}．
[母题探究]
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解]　样本点的总数为12.
2．在本例(2)中满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解]　满足“两个数的差大于0”的样本点有：2, 5, 9, 3, 7, 4.
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，写出试验的样本空间．
[解]　样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
[解]　由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
　当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．
[跟进训练]
2．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
[解]　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(2)样本点的总数是12.
(3)“第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的． (　　)
(2)某同学竞选本班班长成功是随机现象． (　　)
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点． (　　)
[提示]　(1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)正确．
(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是(　　)
A．①②③ 　 B．①③④
C．②③④ 　 D．①②④
C　[由随机现象的定义知②③④正确．]
3．下列事件中，确定性现象的个数为(　　)
①三角形内角和为180°；
②三角形中大边对大角，大角对大边；
③三角形中两个内角和小于90°；
④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
C　[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故③不一定成立，∴③为随机现象，而①②④均为确定性现象．]
4．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．
{(1，2)，(1，3)，(2，3)}　[从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：(1，2)，(1，3)，(2，3)，所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}．]
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本点数为________．
6　[该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.]
课时分层作业(三十八)　随机现象　样本空间
一、选择题
1．下列现象中，随机现象有(　　)
(1)某射手射击一次，射中10环；
(2)同时掷两颗骰子，都出现6点；
(3)某人购买福利彩票未中奖；
(4)若x为实数，则x2＋1≥1.
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[(4)是确定性现象，(1)(2)(3)是随机现象．]
2．下列现象中，确定性现象是(　　)
A．凸四边形的内角和为360°
B．小明放学在十字路口遇到红灯
C．三角形中两边之和小于第三边
D． 方程x2＋a＝0有实数根
A　[C项是不可能现象，B项、D项是随机现象．]
3．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的两个，则试验的样本点共有(　　)
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[该生选报的所有可能情况是：(数学和计算机)，(数学和航空模型)，(计算机和航空模型)，所以试验的样本点共有3个．]
4．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为(　　)
A．2个 　 B．3个
C．4个 　 D．5个
C　[从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}. 其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．]
5． “连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有(　　)
A．6种 　 B．12种
C．24种 　 D．36种
D　[试验的全部样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．]
二、填空题
6．下列现象是确定性现象的有________．
①某收费站在未来某天内通过的车辆数；
②一个平行四边形的对边平行且相等；
③某运动员在下届奥运会上获得冠军；
④某同学在回家的路上捡到100元钱；
⑤在没有水和阳光的条件下，小麦的种子不会发芽．
②⑤　[①③④都是随机现象，②⑤是确定性现象．]
7．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”的样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]
8．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有______种．
5　[样本点为：(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种．]
三、解答题
9．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
[解]　以J，S，B分别表示出剪刀、石头、布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含下列三个样本点：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)．
10．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)满足“x＋y＝5”的样本点有哪些？满足“x<3且y>1”的呢？
(4)满足“xy＝4”的样本点有哪些？满足“x＝y”的呢？
[解]　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)满足“x＋y＝5”的有以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
满足“x<3且y>1”的有以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(4)满足“xy＝4”的有以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
满足“x＝y”的有以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
11．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机现象的是(　　)
A．3件都是正品 　 B．至少有1件次品
C．3件都是次品 　 D．至少有1件正品
C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机现象．]
12．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”是确定性现象，则下列也是确定性现象的是(　　)
A．“出现奇数点” 　 B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” 　 D．“点数是3的倍数”
B　[若“出现2点”是确定性现象，由2为偶数，故“出现偶数点”也是确定性现象．]
13．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
[答案]　(1)Ω＝{胜，平，负}(2)Ω＝{0，1，2，3，4}
14．一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能摸出红球，则k的最小值为________．
16　[至少需摸完黑球和白球，共15个，所以k的最小值为16.]
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10，共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A，B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
[解]　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．(共22张PPT)
1.1　随机现象　
1.2　样本空间
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
学习任务 核心素养
1．理解确定性现象、随机现象的概念．(重点)
2．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点)
3．掌握试验的样本空间的写法．(重点) 1．通过对确定性现象、随机现象、样本空间等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助利用列举法写出试验的样本空间，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
1．我们日常生活中的现象可分为哪两类？
2．样本点和样本空间的概念是什么？用什么字母表示样本空间？
1．确定性现象和随机现象
(1)确定性现象：在一定条件下________的现象，称为确定性现象．
(2)随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现____的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象，称为随机现象．
(3)随机现象的两个特点：
①结果至少有_种；②事先并不知道会出现哪一种结果．
必然出现
不同
2
2．样本空间
(1)试验与试验结果：在概率与统计中，把观察________或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用__来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果．
(2)样本空间：一般地，将试验E的____________组成的集合称为试验E的样本空间，记作__．
(3)样本点：样本空间Ω的____，即试验E的____________，称为试验E的样本点，记作__．
(4)有限样本空间：如果样本空间Ω的样本点的个数是______，那么称样本空间Ω为有限样本空间．
随机现象
E
所有可能结果
Ω
元素
每种可能结果
ω
有限的
思考(1)“向上抛掷一枚骰子，观察向上的点数”是随机现象吗？如果是随机现象，那么它可能的结果有哪些？
(2)观察随机现象或进行试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？
[提示]　(1)是随机现象．它可能的结果有：出现1点、出现2点、出现3点、出现4点、出现5点、出现6点．
(2)不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．
体验下列现象中，是随机现象的有(　　)
①在一条公路上，交警记录某一小时内通过的汽车超过300辆；②若a为整数，则a＋1为整数；③发射一颗炮弹，命中目标；④检查流水线上一件产品是合格品．
A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
C　[当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]
√
关键能力·合作探究释疑难
类型1　随机现象和确定性现象的判断
【例1】　指出下列现象是确定性现象还是随机现象：
(1)小明在校学生会主席竞选中成功；
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；
(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；
(4)标准大气压下，把水加热至100 ℃沸腾；
(5)骑车经过十字路口时，红绿灯的颜色．
[解]　(1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知，无法确定的；
(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．
(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．
(4)确定性现象．因为标准大气压下，水加热至100 ℃时“沸腾”这个结果一定会发生，是确定的．
(5)随机现象．因为红绿灯的颜色对每位过路口的人来说事先都是不可知的，是无法确定的．
反思领悟　判断某一现象是随机现象还是确定性现象的关键是看在一定条件下，现象的结果是否可以预知、确定．若在一定条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象为确定性现象；若在一定条件下，出现哪种结果是无法预知、无法事先确定的，这类现象称为随机现象．
[跟进训练]
1．下列现象中，随机现象有________，确定性现象有________．
①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；
②打开电视机，正好在播新闻；
③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球；
④下周六是晴天．
②④ 　①　[①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象．]
②④
①
类型2　样本点和样本空间
【例2】　指出下列试验的样本空间：
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
[思路点拨]　根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空间．
[解]　(1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．
(2)由题意可知：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，6－1＝5，
1－10＝－9，10－1＝9，
3－6＝－3，6－3＝3，
3－10＝－7，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4.
即试验的样本空间Ω＝{－2, 2，－5, 5，－9, 9，－3, 3，－7, 7，－4, 4}．
[母题探究]
1．求本例(2)中试验的样本点的总数．
[解]　样本点的总数为12.
2．在本例(2)中满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？
[解]　满足“两个数的差大于0”的样本点有：2, 5, 9, 3, 7, 4.
3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，写出试验的样本空间．
[解]　样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．
4．在本例(2)中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的横、纵坐标，指出试验的样本空间．
[解]　由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．
反思领悟　当基本事件的总数比较大时，首先要列举基本事件，然后查个数，得出总数．在列举时要按照一定的顺序，才能确保基本事件不重、不漏．
[跟进训练]
2．已知集合M＝{－2，3}，N＝{－4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点．
[解]　(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2，5)，(－2，6)，(3，－4)，(3，5)，(3，6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4，3)，(5，3)，(6，3)}．
(2)样本点的总数是12.
(3)“第一象限内的点”包含以下4个样本点：(3，5)，(3，6)，(5，3)，(6，3)．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)试验的样本点的个数是有限的． (　　)
(2)某同学竞选本班班长成功是随机现象． (　　)
(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点． (　　)
2
4
3
题号
1
5
×
√
×
[提示]　(1)错误．试验的样本点的个数也可能是无限的．
(2)正确．
(3)错误．“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．
2
4
3
题号
1
5
2．下列现象：
①当x是实数时，x－|x|＝2；
②某班一次数学测试，及格率低于75%；
③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；
④体育彩票某期的特等奖号码．
其中是随机现象的是(　　)
A．①②③ 　B．①③④ 　C．②③④ 　D．①②④
√
2
4
3
题号
1
5
C　[由随机现象的定义知②③④正确．]
3．下列事件中，确定性现象的个数为(　　)
①三角形内角和为180°；
②三角形中大边对大角，大角对大边；
③三角形中两个内角和小于90°；
④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 　B．2 　C．3 　D．4
√
2
4
3
题号
1
5
C　[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故③不一定成立，∴③为随机现象，而①②④均为确定性现象．]
4．从数字1，2，3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝__________________________．
2
4
3
题号
1
5
{(1，2)，(1，3)，(2，3)}　[从数字1，2，3中任取两个数字，共有3个结果：(1，2)，(1，3)，(2，3)，所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}．]
{(1，2)，(1，3)，(2，3)}
2
4
3
题号
1
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本点数为________．
5
6　[该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6.]
6　

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