资源简介

4.2　简单幂函数的图象和性质
学习任务 核心素养
1．了解幂函数的概念．(重点) 2．掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象与性质．(重点) 3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点) 1．借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．
1．幂函数的定义是什么？
2．幂函数的解析式有什么特点？
3．幂函数的图象有什么特点？
4．幂函数的性质有哪些？
知识点1　幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．
1．如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
1　[函数y＝＝x-4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．]
2．已知f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________．
2　[∵函数f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2.]
3．已知幂函数f (x)＝xα图象过点，则f (4)＝________．
　[∵幂函数f (x)＝xα的图象过点，
∴2α＝，
∴α＝－.
即f (x)＝，
∴f (4)＝＝.]
知识点2　幂函数的图象与性质
(1)五种常见幂函数的图象
(2)五类幂函数的性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 在[0，＋∞)上单调递增
定点 (1，1)
2．(1)通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
(2)当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？
[提示]　(1)第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
(2)图象都是从左向右逐渐上升．
4．给出下列说法：
①幂函数图象均过点(1，1)；
②幂函数的图象均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图象；
④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
①　[根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误．]
5．在下列四个图形中，y＝的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[函数y＝的定义域为(0，＋∞)，是减函数．]
类型1　幂函数的概念
【例1】　在函数y＝，y＝，y＝2x2，y＝x2＋x中，幂函数的个数为(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[因为y＝＝，y＝＝x-2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数．]
　函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函数．
[跟进训练]
1．已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解]　由题意得
解得
所以m＝－3或1，n＝.
类型2　幂函数的图象及应用
【例2】　若点(，2)在幂函数f (x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f (x)>g(x)；(2)f (x)＝g(x)；(3)f (x)[解]　设f (x)＝xα，则2＝，解得α＝2，
则f (x)＝x2.
同理可求得g(x)＝x-2.(x)在同一坐标系内作出函数f (x)＝x2和g(x)＝x-2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f (x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f (x)＝g(x)；
(3)当－1　随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
[跟进训练]
2．当0h(x)>g(x)>f (x)　[如图所示为函数f (x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f (x).
]
类型3　幂函数性质的应用
　比较幂的大小
【例3】　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与.
[解]　(1)∵0.3>0，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增．
又>，∴>.
(2)∵－1<0，
∴y＝x-1在(－∞，0)上单调递减，
又－<－，∴>.
　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
[跟进训练]
3．比较下列各数的大小：
(1)和；
(2)，和.
[解]　(1)函数y＝在(－∞，0)上单调递减，
又－<－，∴>.
(2)∵>＝1，0<<＝1，<0，
∴<<.
　由幂函数的大小求字母的取值范围
【例4】　已知幂函数f ＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足<的a的取值范围．
[解]　∵函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1，2.
又函数f (x)的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
∴<，又f (x)＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，且当x＜0时，f (x)＜0，当x＞0时，f (x)＞0，∴0＞a＋1＞3－2a或a＋1＞3－2a＞0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或＜a＜.
故a的取值范围为.
　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．
[跟进训练]
4．已知幂函数f (x)＝xm过点(2，8)，且f (2a＋1)＞8，则实数a的取值范围是________．
　[由题意得2m＝8，解得m＝3，则f (x)＝x3，
由f (x)＝x3在R上单调递增，且f (2a＋1)＞8＝f (2)，
所以2a＋1＞2，解得a＞.]
函数y＝x＋的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f (x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图．
1．参考幂函数的性质，探究函数f (x)＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质．
[提示]　(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f (x)＝x＋的定义域为{x|x≠0}；
(2)函数f (x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)，
∴函数f (x)＝x＋为奇函数；
(4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减．
2．试探究函数f (x)＝x＋(a>0)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图．
[提示]　(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)；
(3)奇偶性：奇函数；
(4)单调性：函数f (x)＝x＋(a>0)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1则f (x1)－f (x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.
因为0所以x1－x2<0，0所以>1，
所以1－<0，
所以f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)．
所以f (x)在(0，]上单调递减．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2<0，x1x2>a，
所以<1，
所以1－>0，
所以f (x1)－f (x2)<0，
所以f (x1)所以f (x)在(，＋∞)上单调递增．
同理，f (x)在(－∞，－)上单调递增，在[－，0)上单调递减．
其图象如图所示．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝－是幂函数． (　　)
(2)当x∈(0，1)时，x2>x3． (　　)
(3)y＝与y＝定义域相同． (　　)
(4)若y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知幂函数f ＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A． 　 B．1
C． 　 D．2
C　[由幂函数的定义知k＝1.
又f ＝，
所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.]
3．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为(　　)
A．－2，－，2 　 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， 　 D．2，，－2，－
B　[由幂函数的性质，知选B.]
4．判断大小：5.25-1________5.26-1．(填“>”或“<”)
>　[∵y＝x-1在(0，＋∞)上单调递减，
又5.25<5.26，
∴5.25-1>5.26-1.]
5．函数f ＝(x＋3)-2的单调增区间是________．
(－∞，－3)　[y＝x-2＝的单调增区间为(－∞，0)，y＝(x＋3)-2是由y＝x-2向左平移3个单位长度得到的．
∴y＝(x＋3)-2的单调递增区间为(－∞，－3)．]
课时分层作业(十九)　简单幂函数的图象和性质
一、选择题
1．函数y＝的图象大致是(　　)
A　　　　　B
C　　　　　D
B　[函数y＝＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除A，C.另外，因为>1，在第一象限图象下凸．故选B.]
2．已知幂函数f (x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2，4)，则f (9)＝(　　)
A．49 　 B．
C．81 　 D．
C　[由题意f (2)＝2α＝4，
所以α＝2，所以f (x)＝x2，所以f (9)＝92＝81.]
3．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
B　[y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.]
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中的图象全在直线y＝x下方的增函数是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝x2
C．y＝x3 　 D．y＝x-1
A　[对任意的x∈(1，＋∞)，都有x－＝(－1)＞0，x－x-1＝x-1(x2－1)＞0，x－x2＝x(1－x)＜0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)＜0，故当x∈(1，＋∞)时，函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝和y＝x-1，而函数y＝是单调递增函数，函数y＝x-1是单调递减函数，所以选A.]
5．已知幂函数f ＝(n2＋2n－2)－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)
A．－3 　 B．1
C．2 　 D．1或－3
B　[由于f 为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f (x)＝x18在(0，＋∞)上单调递增，不合题意，故选B.]
二、填空题
6．已知幂函数f ＝(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f 的解析式是________．
f ＝x-1　[∵函数f (x)的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，
又m∈Z，
∴m＝0，∴f ＝x-1.]
7．已知幂函数f (x)＝(t3－t＋1)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增的，则函数的解析式为________．
f (x)＝x2　[∵f (x)是幂函数，
∴t3－t＋1＝1，
解得t＝－1或t＝0或t＝1.
当t＝0时，f (x)＝是非奇非偶函数，不满足题意；
当t＝1时，f (x)＝x-2是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调递减的，不满足题意；
当t＝－1时，f (x)＝x2，满足题意．
综上所述，实数t的值为－1，
所求解析式为f (x)＝x2.]
8．已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
(0，1)　[作出函数图象如图所示，则当0]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)(－2)-3，(－2.5)-3；
(2)，；
[解]　(1)∵幂函数y＝x-3在(－∞，0)上单调递减，且－2>－2.5，∴(－2)-3<(－2.5)-3.
(2)∵幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
又＝，>，∴>，
∴＞.
10．已知幂函数f (x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的．
(1)求实数k的值；
(2)若存在实数a，b，使得函数f (x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
[解]　(1)∵幂函数f (x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，
∴k2－k－1＝1，解得k＝－1或k＝2.
又f (x)在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的，
∴k＞0，即k＝2.
(2)由题知存在实数a，b，使得函数f (x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，又f (x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
∴即
又a＜b，∴a＝0，b＝1.
11．(多选)已知幂函数f (x)＝(m，n∈N＋，m，n互质)，下列关于f (x)的结论正确的是(　　)
A．m，n是奇数时，f (x)是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，f (x)是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，f (x)是偶函数
D．0<<1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减
AB　[f (x)＝＝，当m，n是奇数时，f (x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f (x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f (x)在x<0时，无意义，故C中的结论错误；当0<<1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故D中的结论错误．故选AB.]
12．幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn等于(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．无法确定
A　[由条件知，M，N，∴＝＝，∴＝＝＝，∴mn＝1.故选A.]
13．给出下面四个条件：①f (m＋n)＝f (m)＋f (n)；②f (m＋n)＝f (m)·f (n)；③f (mn)＝f (m)·f (n)；④f (mn)＝f (m)＋f (n)．如果m，n是幂函数y＝f (x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f (x)一定满足的条件的序号为________．
③　[设f (x)＝xα，则f (m＋n)＝(m＋n)α，f (m)＋f (n)＝mα＋nα，f (m)·f (n)＝mα·nα＝(mn)α，f (mn)＝(mn)α，所以f (mn)＝f (m)·f (n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.]
14．对于幂函数f ＝，若0　[幂函数f ＝在(0，＋∞)上单调递增，大致图象如图所示．
设A，C，其中0(|AB|＋|CD|)，∴f >.]
15．定义函数f (x)＝min{x2，x-1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)试作出函数f (x)的图象，并求函数f (x)的解析式；
(2)写出f (x)的值域．
[解]　(1)在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x-1(x≠0)的图象(如图)．
令x2＝x-1，解得x＝1，所以函数f (x)的图象如图所示：
所以函数f (x)的解析式为f (x)＝
(2)由(1)图可知f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，1].(共32张PPT)
4.2　简单幂函数的图象和性质
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
第二章　函数
学习任务 核心素养
1．借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．
2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
1．幂函数的定义是什么？
2．幂函数的解析式有什么特点？
3．幂函数的图象有什么特点？
4．幂函数的性质有哪些？
知识点1　幂函数的概念
一般地，形如______________的函数，即底数是______、指数是____的函数称为幂函数．
思考1．如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
y＝xα(α为常数)
自变量
常数
体验2．已知f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________．
2　[∵函数f (x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，∴m－1＝1，即m＝2.]
1　
2　

知识点2　幂函数的图象与性质
(1)五种常见幂函数的图象
(2)五类幂函数的性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞)
奇偶性 __函数 __函数 __函数 __函数 ________函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调____ 在(－∞，0]上单调____，在(0，＋∞)上单调____ 在(－∞，＋∞)上单调____ 在(－∞，0)上单调____，在(0，＋∞)上单调____ 在[0，＋∞)上单调____
定点 ________
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1，1)
思考2．(1)通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
(2)当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？
[提示]　(1)第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．
(2)图象都是从左向右逐渐上升．
体验4．给出下列说法：
①幂函数图象均过点(1，1)；
②幂函数的图象均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图象；
④任意两个幂函数的图象最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
①　[根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误．]
①　
A　 　 　B　　 　 　C　　 　　D
√
关键能力·合作探究释疑难
√
反思领悟　函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函数．
反思领悟　随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．
[跟进训练]
2．当0h(x)>g(x)>f (x)　[如图所示为函数f (x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f (x).]
h(x)>g(x)>f (x)　
反思领悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
[解]　∵函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.
∵m∈N*，∴m＝1，2.
又函数f (x)的图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数，
反思领悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．
[跟进训练]
4．已知幂函数f (x)＝xm过点(2，8)，且f (2a＋1)＞8，则实数a的取值范围是___________．

阅读材料·拓展数学大视野
学习效果·课堂评估夯基础
2
4
3
题号
1
5
×
√
×
√
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
B　[由幂函数的性质，知选B.]
4．判断大小：5.25-1________5.26-1．(填“>”或“<”)
2
4
3
题号
1
5
>　[∵y＝x-1在(0，＋∞)上单调递减，
又5.25<5.26，
∴5.25-1>5.26-1.]
>　
2
4
3
题号
1
5
(－∞，－3)　

展开更多......

收起↑