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1.3　随机事件
1.4　随机事件的运算
学习任务 核心素养
1．理解随机事件与样本点的关系．(重点) 2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点) 1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．
1．事件可分为哪几类？
2．事件的并(和)、事件的交(积)各是什么？
3．事件的互斥与对立是如何定义的？它们之间有什么关系？
1．三种事件的定义
事件 随机事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生
必然 事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件
不可能事件 空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称 为不可能事件
2．随机事件的运算
事件的运算 定义 图形表示 符号表示
交事件 一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
并事件 一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
3．互斥事件与对立事件
事件的关系 定义 图形表示 符号表示
互斥 事件 一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝ )称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件 A∩B＝
对立事件 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作 A∩B＝ 且A∪B＝Ω
(1)一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)
[提示]　(1)A＝C∩D.
(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
类型1　事件类型的判断
【例1】　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．
[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．
　判断一个事件是哪类事件要看两点：
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[跟进训练]
1．下列事件不是随机事件的是(　　)
A．东边日出西边雨 　 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 　 D．梅子黄时日日晴
B　[B是必然事件，其余都是随机事件．]
类型2　事件关系的判断
【例2】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少有一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
　判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[跟进训练]
2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
[解]　依据互斥事件的定义，即由事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
类型3　事件的运算
【例3】　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
[思路点拨]　(1)
(2)
[解]　在投掷骰子的试验中，记Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ，
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1，3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1，2，4或6}．
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1，3，4或5}．
[母题探究]
1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.
[解]　A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1，3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．
2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事件：
(1)B∪D；(2)C∪D.
[解]　(1)B∪D＝{出现点数2，3，4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.
(2)C∪D＝{出现点数1，2，3，4，5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
　进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考察同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
[跟进训练]
3．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．则以下结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C 　 B．D∪B是必然事件
C．A∩B＝C 　 D．A∩D＝C
AB　[事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝ ，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件． (　　)
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (　　)
[提示]　(1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．
(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为(　　)
A．“都是红球”与“至少一个红球”
B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”
C．“至少一个白球”与“至多一个红球”
D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
D　[A，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]
3．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，为对立事件的是(　　)
A．① 　 B．②④
C．③ 　 D．①③
C　[从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]
4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；
③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．
其中_______是随机事件；_______是不可能事件．(填序号)
①③　②　[因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
5．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是______________，不可能事件是________，随机事件是________．
⑥　④　①②③⑤　[从100个产品(其中2个次品)中取3个的可能结果是：“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]
课时分层作业(三十九)　随机事件　随机事件的运算
一、选择题
1．下列事件中为随机事件的是(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．锐角三角形中两内角和小于90°
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾
C　[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A项是必然事件．锐角三角形中两内角和大于90°，故B项是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C项是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D项是不可能事件．]
2．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本，是必然事件的是(　　)
A．3本都是语文书
B．至少有一本是数学书
C．3本都是数学书
D．至少有一本是语文书
D　[从10本语文书，2本数学书中任意抽取3本的结果有：3本语文书，2本语文书和1本数学书，1本语文书和2本数学书3种，故选D.]
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 　 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 　 D．至少有2件正品
B　[至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．]
4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是(　　)
A．对立事件 　 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 　 D．不是互斥事件
C　[由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件．又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件．故选C.]
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)
A．A D 　 B．B∩D＝
C．A∪C＝D 　 D．A∪B＝B∪D
D　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.]
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；
②y＝f (x)是奇函数，则f (0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题是________．
①②③④　[∵|x|≥0恒成立，∴①正确；奇函数y＝f (x)只有当x＝0有意义时才有f (0)＝0，∴②正确；由loga(x－1)＞0知，当a＞1时，x－1＞1，即x＞2；当0＜a＜1时，0＜x－1＜1，即1＜x＜2，∴③正确，④正确．]
7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
③　[同时掷两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个事件，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．]
8．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是________．
C＝A∪B∪E　[由题意可知C＝A∪B∪E.]
三、解答题
9．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“至少有1个白球”与“都是白球”；
(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；
(3)“至少有1个白球”与“都是红球”．
[解]　(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．
(2)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．
(3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
10．某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅，记事件A表示“只订甲报刊”，事件B表示“至少订一种报刊”，事件C表示“至多订一种报刊”，事件D表示“不订甲报刊”，事件E表示“一种报刊也不订”．判断下列事件是不是互斥事件，若是，再判断是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
[解]　(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”，即有可能“不订甲报刊”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报刊”中有这些可能：“只订甲报刊”“只订乙报刊”“订甲、乙两种报刊”；事件C“至多订一种报刊”中有这些可能：“两种报刊都不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报刊也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
11．(多选)将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A＝{向上的一面出现奇数点}，事件B＝{向上的一面出现的点数不超过2}，事件C＝{向上的一面出现的点数不小于4}，则下列说法中正确的有(　　)
A．＝
B．C＝{向上的一面出现的点数大于3}
C．AC＝{向上的一面出现的点数不小于3}
D．＝{向上的一面出现的点数为2}
BC　[由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；
事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；
事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6.
所以B＝{向上的一面出现的点数为2}，故A错误；C＝{向上的一面出现的点数为4或5或6}，故B正确；AC＝{向上的一面出现的点数为3或4或5或6}，故C正确；＝Ω，故D错误，故选BC.]
12．设H，E，F为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)
A．H＋E＋F
B．HEF
C．HE＋HF＋EF
D．
B　[选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.]
13．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是________．
1　[命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．]
14．从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：C1＝{选出1号同学}，C2＝{选出2号同学}，C3＝{选出3号同学}，C4＝{选出4号同学}，C5＝{选出5号同学}，C6＝{选出6号同学}，D1＝{选出的同学学号不大于1}，D2＝{选出的同学学号大于4}，D3＝{选出的同学学号小于6}，E＝{选出的同学学号小于7}，F＝{选出的同学学号大于6}，G＝{选出的同学学号为偶数}，H＝{选出的同学学号为奇数}．据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
[解]　(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；不可能事件有： F.
(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生，类比集合之间的关系，事件D3，E，H包含事件C1，记作D3 C1，E C1，H C1，且D1＝C1.
(3)如：C1和C2；C3和C4等等．(共28张PPT)
1.3　随机事件　
1.4　随机事件的运算
第七章　概率
§1　随机现象与随机事件
学习任务 核心素养
1．理解随机事件与样本点的关系．(重点)
2．了解随机事件的交、并与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的交、并运算．(难点、易混点) 1．通过对随机、必然、不可能事件等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过学习事件的运算法则，培养数学建模素养．
必备知识·情境导学探新知
1．事件可分为哪几类？
2．事件的并(和)、事件的交(积)各是什么？
3．事件的互斥与对立是如何定义的？它们之间有什么关系？
1．三种事件的定义
事
件 随机
事件 一般地，把试验E的样本空间Ω的____称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必________；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件________
必然
事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件；又因为它包含____的样本点，每次试验无论哪个样本点ω出现，Ω都________，因此称Ω为必然事件
不可能
事件 空集 也是Ω的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都________，故称 为不可能事件
子集
出现一个
必然发生
所有
必然发生
不会发生
2．随机事件的运算
事件的运算 定义 图形表示 符号表示
交事件 一般地，由事件A与事件B______所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件) ______(或____)
都发生
A∩B
AB
事件的运算 定义 图形表示 符号表示
并事件 一般地，由事件A和事件B__________发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件) ______(或______)
至少有一个
A∪B
A＋B
3．互斥事件与对立事件
事件的关系 定义 图形表示 符号表示
互斥
事件 一般地，____________的两个事件A与B(A∩B＝ )称为互斥事件．它可以理解为A，B同时发生这一事件是不可能事件 A∩B＝
不能同时发生
事件的关系 定义 图形表示 符号表示
对立事件 A∩B＝__且A∪B＝__

Ω
思考(1)一颗骰子投掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？
(2)命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”之间是什么关系？(指充分性与必要性)
[提示]　(1)A＝C∩D.
(2)根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．
关键能力·合作探究释疑难
类型1　事件类型的判断
【例1】　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．
(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；
(2)三角形的内角和为180°；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．
[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．
(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．
反思领悟　判断一个事件是哪类事件要看两点：
一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
[跟进训练]
1．下列事件不是随机事件的是(　　)
A．东边日出西边雨 　 B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷 　 D．梅子黄时日日晴
B　[B是必然事件，其余都是随机事件．]
√
类型2　事件关系的判断
【例2】　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有一名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，两个事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少有一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
反思领悟　判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
[跟进训练]
2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．
[解]　依据互斥事件的定义，即由事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．
类型3　事件的运算
【例3】　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.
[解]　在投掷骰子的试验中，记Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1，3或4}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1，2，4或6}．
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1，3，4或5}．
[母题探究]
1．在例3的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.
[解]　A∩C＝A＝{出现1点}，A∪C＝C＝{出现点数1，3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．
2．用事件Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)表示下列事件：
(1)B∪D；(2)C∪D.
[解]　(1)B∪D＝{出现点数2，3，4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.
(2)C∪D＝{出现点数1，2，3，4，5，6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
反思领悟　进行事件运算应注意的问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考察同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
√
[跟进训练]
3．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．则以下结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C 　 B．D∪B是必然事件
C．A∩B＝C 　 D．A∩D＝C
AB　[事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件A∩B＝ ，C不正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．]
√
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件． (　　)
(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件． (　　)
2
4
3
题号
1
5
×
√
×
[提示]　(1)错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．
(3)错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．
2
4
3
题号
1
5
2．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为(　　)
A．“都是红球”与“至少一个红球”
B．“恰有两个红球”与“至少一个白球”
C．“至少一个白球”与“至多一个红球”
D．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球”
√
2
4
3
题号
1
5
D　[A，B，C中两个事件都可以同时发生，只有D项，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．]
3．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，为对立事件的是(　　)
A．① 　 B．②④
C．③ 　 D．①③
√
2
4
3
题号
1
5
C　[从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]
4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品；
③在这200件产品中任意选9件，不全是一级品．
其中_______是随机事件；_______是不可能事件．(填序号)
2
4
3
题号
1
5
①③　②　[因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．]
①③　
②　
2
4
3
题号
1
5．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是_______，不可能事件是_______，随机事件是____________．
5
⑥　④　①②③⑤　[从100个产品(其中2个次品)中取3个的可能结果是：“三个全是正品”“二个正品一个次品”“一个正品二个次品”．]
⑥
④
①②③⑤　

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