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4.1　样本的数字特征
第六章　统计
§4　用样本估计总体的数字特征
学习任务 核心素养
1．会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点)
2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理解释和决策．(难点) 1．通过对样本数字特征的计算，培养数学运算素养．
2．借助利用样本的数字特征估计总体的数字特征，培养数据分析素养．
必备知识·情境导学探新知
1．平均数、中位数、众数的概念是什么？如何求解？有何意义？
2．极差、方差、标准差的概念是什么？如何求解？有何意义？
最多
从小到大
中间
平均数
最大值
最小值

平均数


思考(1)众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？
(2)标准差、方差的意义是什么？
[提示]　(1)三种数字特征的优缺点比较：
名称 优点 缺点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点；
②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；
②无法客观地反映总体的特征
名称 优点 缺点
中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；
②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
体验1．下列结论正确的是________(填序号)．
①平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．
②一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．
③一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．
①②③
体验2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(　　)
A．84，68 　 B．84，78
C．84，81 　 D．78，81
C　[将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.]
√
体验3．某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为________，方差为________，标准差为________．
11　
6.8

关键能力·合作探究释疑难
类型1　平均数、中位数和众数的计算
【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a>b>c 　 B．a>c>b　　
C．c>a>b 　 D．c>b>a
√
反思领悟　1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．
2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．
√
[跟进训练]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85分、85分、85分 　 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 　 D．87分、85分、90分
11　
类型2　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
【例2】　某校从参加高二年级学业水平测
试的学生中抽出80名学生，其数学成绩
(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
[母题探究]
1．(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．
2．(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．
[解]　[40，80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
反思领悟　众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
[跟进训练]
3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
[解]　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．
类型3　极差、方差、标准差的计算及应用
【例3】　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_____．

√
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　)
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高矩形的中点对应的数据． (　　)
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　)
2
4
3
题号
1
5
×
×
×
[提示]　(1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都叫众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．
(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
2
4
3
题号
1
5
2．下列说法不正确的是(　　)
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
√
2
4
3
题号
1
5
D　[标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．]
3．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：
√
2
4
3
题号
1
5
B　[根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，将得分按从小到大顺序排序，得8，13，13，13，18，18，18，18，22，28，28，28，33，37，37，排在中间位置的为18，故中位数为18.]
则这15场得分的中位数和众数分别为(　　)
A．22，18 　B．18，18　　C．22，22 　D．20，18
得分 8 13 18 22 28 33 37
频数 1 3 4 1 3 1 2
4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
2
4
3
题号
1
5
6　
2
4
3
题号
1
5．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：吨/公顷)．
5
0.4　1.4　[甲种水稻产量的极差为10.2－9.8＝0.4，乙种水稻产量的极差为10.8－9.4＝1.4.]
则甲、乙两种水稻产量的极差分别为________，________．
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
0.4
1.4　§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
学习任务 核心素养
1．会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点) 2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理解释和决策．(难点) 1．通过对样本数字特征的计算，培养数学运算素养． 2．借助利用样本的数字特征估计总体的数字特征，培养数据分析素养．
1．平均数、中位数、众数的概念是什么？如何求解？有何意义？
2．极差、方差、标准差的概念是什么？如何求解？有何意义？
1．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数据．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数据x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数据的平均数．
2．极差：数据中最大值和最小值的差．
3．方差
(1)公式：s2＝．
(2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．
4．标准差
s＝＝．
(1)众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？
(2)标准差、方差的意义是什么？
[提示]　(1)三种数字特征的优缺点比较：
名称 优点 缺点
众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征
中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感
平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
1．下列结论正确的是________(填序号)．
①平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．
②一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．
③一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．
[答案]　①②③
2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(　　)
A．84，68 　 B．84，78
C．84，81 　 D．78，81
C　[将所给数据按从小到大排列得68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.]
3．某校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场比赛中得分的平均值为________，方差为________，标准差为________．
11　6.8　　[依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为＝11.
由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
s＝＝.]
类型1　平均数、中位数和众数的计算
【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a>b>c 　 B．a>c>b
C．c>a>b 　 D．c>b>a
D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7.
将数据从小到大排列为11，13，15，15，16，16，17，18，18，18，则其中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c>b>a.]
　1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．
2．求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．
[跟进训练]
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85分、85分、85分 　 B．87分、85分、86分
C．87分、85分、85分 　 D．87分、85分、90分
C　[由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为
＝87.]
2．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均值＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均值为______________．
11　[由条件知＝＝5，则所求平均值＝＝＋1＝2×5＋1＝11.]
类型2　根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数
【例2】　某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数；
(2)求这次测试数学成绩的中位数．
[解]　(1)由题干图知众数为＝75.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
[母题探究]
1．(变设问)若本例的条件不变，求数学成绩的平均分．
[解]　由题干图知这次数学成绩的平均分为：
×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
2．(变设问)若本例条件不变，求80分以下的学生人数．
[解]　[40，80)分的频率为：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，
所以80分以下的学生人数为80×0.7＝56.
　众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系
(1)众数：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值．
(3)平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以每个小矩形底边中点的横坐标之和．
[跟进训练]
3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
[解]　(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分．
类型3　极差、方差、标准差的计算及应用
【例3】　某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
[解]　(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝＝≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为＝＋(85－81.5)2]＝75.25.
标准差为s乙＝＝≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
　计算标准差的5个步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1，2，…，n)．
(3)求出xi－(i＝1，2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
[跟进训练]
4．设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为，则其方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].若数据a1，a2，a3，a4的方差为3，则数据2a1＋1，2a2＋1，2a3＋1，2a4＋1的方差是(　　)
A．6 　 B．8
C．10 　 D．12
[答案]　D
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．
　[这组数据的平均数为＝8，故方差为s2＝×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝.]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的． (　　)
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高矩形的中点对应的数据． (　　)
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　)
[提示]　(1)错误．一个样本的平均数和中位数是唯一的．若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都叫众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能多个，也可能没有．
(2)错误．样本的平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)错误．若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．下列说法不正确的是(　　)
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
D　[标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中．]
3．篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表：
得分 8 13 18 22 28 33 37
频数 1 3 4 1 3 1 2
则这15场得分的中位数和众数分别为(　　)
A．22，18 　 B．18，18
C．22，22 　 D．20，18
B　[根据表中数据可知，得分频率最高的为18，故众数为18，
将得分按从小到大顺序排序，得8，13，13，13，18，18，18，18，22，28，28，28，33，37，37，排在中间位置的为18，故中位数为18.]
4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
6　[＝6.]
5．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：吨/公顷)．
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
则甲、乙两种水稻产量的极差分别为________，________．
0.4　1.4　[甲种水稻产量的极差为10.2－9.8＝0.4，乙种水稻产量的极差为10.8－9.4＝1.4.]
课时分层作业(三十六)　样本的数字特征
一、选择题
1．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　)
A．7 　 B．5
C．6 　 D．11
B　[由这组数据的众数为5，可知x＝5．把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，可知中位数为5.]
2．(多选)某同学的6次数学测试成绩(满分100分)分别为：78，83，83，85，91，90，给出关于该同学数学成绩的以下说法，其中正确的是(　　)
A．最大值为91 　 B．中位数为83
C．众数是83 　 D．平均数是85
ACD　[由题中数据可知，最大值为91，故A正确；中位数为84，故B错误；众数为83，故C正确；平均数为＝85，故D正确．故选ACD.]
3．(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是(　　)
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
C　[对于A，根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36<50，
所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误；
对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，
所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，最小为1 150－950＝200，故C正确；
对于D，平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．故选C.]
4．下面的表格记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)
甲组 9 12 x 24 27
乙组 9 15 y 18 24
A.12，15 　 B．15，15
C．15，18 　 D．18，18
C　[乙组数据的平均数：(9＋15＋18＋24＋y)÷5＝16.8，解得y＝18，因为甲组数据共有5个，且中位数为15，所以x＝15，故选C.]
5．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
BD　[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，故选BD.]
二、填空题
6．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，1■，■那么当这组数据的方差最大时，被污损的两个数据分别是________．
19，1　[设这组数据的最后两个数分别是10＋x，y，则9＋10＋11＋(10＋x)＋y＝50，得x＋y＝10，所以s2＝[1＋0＋1＋x2＋(－x)2]＝x2，所以当x＝9时，s2最大，为，故被损的两个数据分别是19，1.]
7．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则该组数据的方差为________．
150　[由题意知，该组数据的平均数为×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，
所以该组数据的方差为s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.]
8．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．
5　　[由＝3，得a＝5；
由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.]
三、解答题
9．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据如下：
甲：47 52 53 53 55 60 60 61 63 63
63 64 65 65 70 70 71 71 72 72
76 76 78 82 84 84 85 87 90 92
乙：45 53 53 58 60 60 60 61 61 62
62 63 63 65 70 70 72 72 72 73
73 76 76 79 81 81 85 85 88 90
(1)若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计－的值．
[解]　(1)设甲校高三年级总人数为n，则＝0.05，解得：n＝600，
又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，
∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为：1－＝.
(2)用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，由题中数据可知：
30＝47＋52＋53＋…＋87＋90＋92＝2 084；
30＝45＋53＋53＋…＋85＋88＋90＝2 069；
∴－＝＝＝0.5，
∴估计－的值为0.5.
10．(2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2
25.8　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3
34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3
40.5　43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8　 9.2　　11.4　　12.4　　13.2　　15.5
16.5　18.0 18.8 19.2 19.8 20.2
21.6　22.8 23.6 23.9 25.1 28.2
32.3　36.5
(1)计算试验组的样本平均数；
(2)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m.
[解]　(1)试验组的样本平均数为×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8.
(2)将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝＝23.4.
11．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　　)
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
CD　[设样本数据x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1，y2，…，yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确，故选CD.]
12．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0＝　　　　　 B．m0<C．meD　[由题图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15，16个数的平均数，即me＝＝5.5，5出现次数最多，故m0＝5，＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97．于是m013．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．
91　[由题意得
即
解的或所以xy＝91．]
14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．
1，1，3，3　[x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．
由条件知即
又x1，x2，x3，x4为正整数，
∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3．
∵s＝＝1，∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.
由此可得4个数分别为1，1，3，3.]
15．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下：
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)．
[解]　(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)因为2＝2＝＝11＝>，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

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