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*17.4　一元二次方程的根与系数的关系
知识梳理
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝__ __，x1x2＝__ __，这个关系通常称为__ __．
关于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系中，需要注意方程两个根的和或积的符号问题，莫因为符号出现错误．
重难突破
重难点　一元二次方程的根与系数的关系的运用
【典例】关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x＋x＝x1x2＋10，求实数m的值．
利用一元二次方程两根关系得出的结果必须满足Δ≥0的条件．
【对点训练】
1．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0.
(1)若方程有实数根，求k的取值范围．
(2)如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．
2．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－2)2＋(x2－2)2＋m2＝23，求m的值．
课堂10分钟
1．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　)
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1 x2＝ D．x1x2＝7
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则＋ 的值是(　　)
A．1 B． C．－1 D．－
3．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为(　　)
A．－3 B．－1 C．－2 D．0
4．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－m＝0的一个根是－，则方程的另一个根是(　　)
A． B．－ C．1 D．－1
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，则m的值为__ __．
6．已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－1)x＋m＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为α，β，且α2＋β 2＝7，求m的值．*17.4　一元二次方程的根与系数的关系
知识梳理
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝__－__，x1x2＝____，这个关系通常称为__韦达定理__．
关于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系中，需要注意方程两个根的和或积的符号问题，莫因为符号出现错误．
重难突破
重难点　一元二次方程的根与系数的关系的运用
【典例】关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＋1＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x＋x＝x1x2＋10，求实数m的值．
解：(1)由题意，有Δ＝(2m－1)2－4(m2＋1)≥0，
解得m≤－，
所以实数m的取值范围是m≤－；
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2m－1，x1·x2＝m2＋1.
∵x＋x＝x1x2＋10，
∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝x1x2＋10，
∴(2m－1)2－3(m2＋1)＝10，
∴2m2＋9m－5＝0，解得m1＝6，m2＝－2.
∵m≤－，∴m＝6舍去，∴m＝－2.
利用一元二次方程两根关系得出的结果必须满足Δ≥0的条件．
【对点训练】
1．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0.
(1)若方程有实数根，求k的取值范围．
(2)如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．
(1)由题意，得Δ≥0，∴16－8k≥0，∴k≤2；
(2)由题意，k＝2，方程x2－4x＋2k＝0的根，x1＝x2＝2，
∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2，
∴4－4m＋3m－1＝0，∴m＝3，
方程为x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4，
∴方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一个根为4.
2．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－2)2＋(x2－2)2＋m2＝23，求m的值．
(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个实数根，
∴Δ≥0，即(－4)2－4m≥0，解得m≤4；
(2)∵x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个实数根，∴x－4x1＝－m，x－4x2＝－m.
∵(x1－2)2＋(x2－2)2＋m2＝23，
∴x－4x1＋4＋x－4x2＋4＋m2＝23，
即m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3，
又m≤4，∴m＝－3.
课堂10分钟
1．若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　A　)
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1 x2＝ D．x1x2＝7
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则＋ 的值是(　D　)
A．1 B． C．－1 D．－
3．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为(　A　)
A．－3 B．－1 C．－2 D．0
4．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－m＝0的一个根是－，则方程的另一个根是(　C　)
A． B．－ C．1 D．－1
5．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，则m的值为__3__．
6．已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－1)x＋m＝0有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为α，β，且α2＋β 2＝7，求m的值．
(1)根据题意，得
Δ＝(2m－1)2－4m2＝－4m＋1≥0 且 m≠0，
解得m≤ 且m≠0；
(2)根据根与系数的关系，得a＋β＝，aβ＝＝1.
∵a2＋β2＝7，∴(a＋β)2－2aβ＝7，
∴()2－2＝7，即＝3 或 ＝－3，
解得m1＝－1，m2＝，
经检验，m1＝－1，m2＝ 是原方程的根，
∴m的值为－1或 .

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