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18．2　勾股定理的逆定理
知识梳理
1．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__ __．
2．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为__ __．
勾股数一定是正整数，满足n2－1，2n，n2＋1(n>1，且n是正整数)关系的一定是勾股数．
重难突破
重难点　勾股定理的逆定理的运用
【典例】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4.
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分(四边形ABDC)的面积．
计算图形的面积一般是将图形进行分割(或组合)后，借助于勾股定理及其逆定理参与运算，通过直角三角形计算其面积．
【对点训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝，BD＝2.
(1)试判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求DE的长．
课堂10分钟
1．下列各组数，是勾股数的是(　　)
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3
C．1，2，3 D．5，12，13
2．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是(　　)
A．a2，b2，c2能组成三角形
B．3a，3b，3c能组成直角三角形
C.a＋3，b＋4，c＋5能组成直角三角形
D．3a，4b，5c能组成直角三角形
3．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　)
A．3，4，5 B．5，12，13
C．1，，2 D．，2，
4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，根据尺规作图痕迹，线段AD的长为(　　)
A． B．
C．2 D．5
5．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为__ __．
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长．18．2　勾股定理的逆定理
知识梳理
1．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是__直角三角形__．
2．能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为__勾股数__．
勾股数一定是正整数，满足n2－1，2n，n2＋1(n>1，且n是正整数)关系的一定是勾股数．
重难突破
重难点　勾股定理的逆定理的运用
【典例】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，AC⊥BC，D为△ABC内一点，且CD＝3，BD＝4.
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分(四边形ABDC)的面积．
解：(1)在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴BC2＝AB2－AC2＝132－122＝25，∴BC＝5；
(2)∵CD＝3，BD＝4，BC＝5，
∴CD2＋BD2＝BC2，
∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S△BCD＝BD·CD＝×4×3＝6.
∵S△ABC＝AC·BC＝×12×5＝30，
∴S四边形ABDC＝S△ABC－S△BCD＝24.
计算图形的面积一般是将图形进行分割(或组合)后，借助于勾股定理及其逆定理参与运算，通过直角三角形计算其面积．
【对点训练】
1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，∴AC＝5.
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2＋AC2＝122＋52＝144＋25＝169，∴CD2＋AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝36，
故四边形ABCD的面积是36.
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝，BD＝2.
(1)试判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求DE的长．
(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD2＋BD2＝()2＋(2)2＝25＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
(2)∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴△ABD的面积＝AB·DE＝AD·BD，∴DE＝＝＝2.
课堂10分钟
1．下列各组数，是勾股数的是(　D　)
A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3
C．1，2，3 D．5，12，13
2．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是(　B　)
A．a2，b2，c2能组成三角形
B．3a，3b，3c能组成直角三角形
C.a＋3，b＋4，c＋5能组成直角三角形
D．3a，4b，5c能组成直角三角形
3．下列各组数中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　D　)
A．3，4，5 B．5，12，13
C．1，，2 D．，2，
4．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，根据尺规作图痕迹，线段AD的长为(　A　)
A． B．
C．2 D．5
5．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为____．
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)求证：∠A＝90°；
(2)若AC＝3，BD＝2.5，求AE的长．
(1)如图，连接CE，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC.
∵BE2－EA2＝AC2，
∴EC2－EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2＋AC2，∴∠A＝90°.
(2)∵D是BC的中点，BD＝2.5，
∴BC＝2BD＝5.∵∠A＝90°，AC＝3，
∴AB＝＝＝4.
∵EB＝EC，∴设EB＝EC＝x，则AE＝4－x.
在Rt△EAC中∴32＋(4－x)2＝x2，
解得x＝，∴AE＝.

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