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(共5张PPT)
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举一反三训练
答案见P233
1-1[2019·上海浦东新区月考]下
列方程中，是一元二次方程的
是(
G
X
-+1=0
X
B.5(x2-1)=-4x+5x2
C.2x=x2
D.x2+y+4=0
膜老
课学
品成才按
例
(1)如图①，∠MAN=90°，
射线AD在∠MAN的内部，点B,C
分别在∠MAN的边AM,AN上，且
几何画板视频
AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD
于点F.试说明：△ABE≌△CAF,
(2)如图②，点B,C分别在∠MAN的边AM,AW
上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，己知AB=
AC,∠1=∠2=∠BAC.试说明：△ABE≌△CAF.
M
M
B
E
A
①
2
多思路分析
一线
△ABE≌
三直角
∠ABE=∠CAF
△CAF
一线
∠ABE=∠CAF,
△ABE≌
三等角
∠AEB=∠CFA
△CAF
解：（1)因为BE⊥AD,CF⊥AD,∠MAN=90°，
所以∠BEA=∠AFC=90°，∠ABE+∠BAD=∠CAF+
∠BAD=90°.所以∠ABE=∠CAF.
又因为AB=CA,所以△ABE≌△CAF(AAS).
(2)因为∠1+∠AEB=180°，∠BAE+∠ABE+
∠AEB=180°，所以∠1=∠BAE+∠ABE.
因为∠1=∠BAC=∠BAE+∠CAF,所以∠ABE=
∠CAF.因为∠1=∠2，所以∠AEB=∠CFA.
又因为AB=CA,所以△ABE≌△CAF(AAS).
1.如图，已知∠ABC=90°，D是AB延长线上一点，AD=BC,过点A作
AF⊥AB,且AF=BD,连接CD,DF,CF.试说明：CD⊥DF
解：因为AF⊥AB,∠ABC=90°，
所以∠FAD=∠DBC=90°.
在△AFD和△BDC中，
B
因为AF=BD,∠FAD=∠DBC,AD=BC,
所以△AFD≌△BDC(SAS).所以∠ADF=
D
∠BCD.
因为∠BDC+∠BCD=90°，所以∠BDC+∠ADF=90°，
即∠CDF=90°.所以CD⊥DF.
2.如图，D,A,E三点在一条直线上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC,AB=AC,
试探究BD,CE与DE之间的数量关系，并说明理由，
解：BD+CE=DE.理由如下：
设∠BDA=∠BAC=O,
B
则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-，
所以∠DBA=∠CAE.
A
E
在△ADB和△CEA中，
因为∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠EAC,AB=CA,
所以△ADB≌△CEA(AAS).所以BD=AE,AD=CE.
所以BD+CE=AE+AD=DE.(共15张PPT)
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举一反三训练
答案见P233
1-1[2019·上海浦东新区月考]下
列方程中，是一元二次方程的
是(
G
X
-+1=0
X
B.5(x2-1)=-4x+5x2
C.2x=x2
D.x2+y+4=0
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品成才按
例如图，AB∥EF,则∠BAC+∠ACE+∠CEF的度数是(
)
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
B
D
F
F
解析：如图，过点C作CD∥AB,则AB∥CD∥EF,
所以∠BAC+∠ACD=180°，
∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
所以∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=360°，
即∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
1.如图，直线a∥b,将一块含30°角（∠BAC=30°，∠ABC=
60°)的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中A,C两
点分别落在直线0，b上.若∠1=20°，则∠2的度数为
A.209
B.30°
C.40°
D.50°
【解析】如图，过点B作BD∥a,则∠2=∠ABD(两直线
平行，内错角相等).因为α∥b,所以BD∥b(平行于同一
条直线的两条直线平行).所以∠1=∠DBC(两直线平
行，内错角相等).由题意可知∠ABC=60°，所以∠ABC=
∠ABD+∠DBC=∠2+∠1=60°.所以∠2=60°-∠1=40°.
A
2>
a
B
D
b
C
2.[菏泽中考]如图，AD∥CE,∠ABC=100°，则∠2-∠1的
度数是
80°
【解析】如图，过点B作BF∥AD,则∠1=∠ABF(两直
线平行，内错角相等).因为AD∥CE,所以BF∥CE
(平行于同一条直线的两条直线平行).所以∠BCE
=∠FBC(两直线平行，内错角相等).因为∠ABC=
∠ABF+∠FBC=100°，所以∠1+∠BCE=100°.因为∠2+
∠BCE=180°，所以（∠2+∠BCE)-（∠1+∠BCE)=80°，
即∠2-∠1=80°.
A
D
1
F
B
2
C
E
∠BEF的度数
解：如图，过点E作EH∥CD,则A
B
EFD+∠FEH=180°.
E
H
因为EF⊥CD,所以∠EFD=90°.
C
F
D
所以∠FEH=180°-∠EFD=90°.
因为AB∥CD,所以EH∥AB.所以∠BEH=∠B=50°.
所以∠BEF=∠BEH+∠FEH=140°.(共15张PPT)
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1-1[2019·上海浦东新区月考]下
列方程中，是一元二次方程的
是(
G
X
-+1=0
X
B.5(x2-1)=-4x+5x2
C.2x=x2
D.x2+y+4=0
膜老
课学
品成才按
解：原式=（3x2-2x-1)-（x+4x+4)+5
=3x2-2x-1-x2-4x-4+5
=2x2-6x.
因为x2-3x-1=0,x2-3x=1,
所以原式=2(x2-3x)
=2.
解：（2-3x+n)(x2+mx)=x4+mx3-3x3-3m2+nx2+mnx=x4+(m-3)x3+
(-3m+n)x-+mnx.
因为多项式x2-3x+n与多项式x2+mx的乘积的展开式不含x2项和
x3项，
所以m-3=0,-3m+n=0,解得m=3,n=9.
原式=(4m2+4mn+n2-4m2+n2-6n）÷(-2n)=（4mn+2n2-6n)÷(-2n)
=-2m-n+3.
当m=3,n=9时，原式=-2×3-9+3=-12.
类型一先化简再求值
1.[六盘水期末]先化简，再求值：[（x+2y)2-（x-
2y）2]÷4x,其中x=2,y=-1.
解：原式=[x2+4xy+4y2-(x2-4xy+4y2)]÷4x
=（x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2）÷4x
=8xy÷4x
=2y.
当y=-1时，原式=2×(-1)=-2
2.[铁岭昌图县期末]先化简，再求值：（2a-b)2-
(+b)(a-2b)+2(a+b)(a-b),其中a=1,b=2.
解：原式=（4a2-4ab+b）-（u2-ab-2b2）+(2u
-2b2)
=4a2-4ub+b2-a2+ab+2b2+2a2-2b2
=5a2-3ab+b2.
当a=1,b=2时，原式=5×12-3×1×2+22=3.
类型二整体代入求值
3.已知x2"=4,其中x为正数，n为正整数，求(x3")2-x”的值
解：因为x2”=4,x为正数，n为正整数，所以x”=2,
所以(xm)2-x”=(x”)6-x”=26-2=62.
4.先化简，再求值：(2x+3)(2x-3)-x(5x+4)-（x-1)2,其中x2+x-2
021=0.
解：原式=4x2-9-5x2-4x-x2+2x-1
=-2x2-2x-10.
因为x2+x-2021=0,所以x2+x=2021.
所以原式=-2(x2+x)-10=-2×2021-10=-4052.(共12张PPT)
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列方程中，是一元二次方程的
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G
X
-+1=0
X
B.5(x2-1)=-4x+5x2
C.2x=x2
D.x2+y+4=0
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品成才按
例1如图，CE是△ABC的
中线，∠ACB=∠ABC,D是
AB延长线上一点，且AC=
BD.试说明：CD=2CE.
思路分析
倍长中线
关系转化
判定全等
△BEF≌△AEC
△CBF≌
EF-CE
BF-AC=BD,
△CBD
∠CBF=∠CBD
解：如图，延长CE至点F,使EF=CE,则CF=2CE,
连接FB.
因为CE是△ABC的中线，所以AE=BE.
在△BEF和△AEC中，
因为BE=AE,∠BEF=∠AEC,EF=EC,
所以△BEF≌△AEC(SAS).
所以∠EBF=∠A,BF=AC,
因为∠ABC=∠ACB,∠CBD=180°-∠ABC,∠A+
∠ACB=180°-∠ABC,
所以∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.
因为AC=BD,所以BF=BD.
在△CBF和△CBD中，
因为CB=CB,∠CBF=∠CBD,BF=BD,
所以△CBF≌△CBD(SAS).
所以CF=CD.所以CD=2CE.
1如图，在△1C中，D是边BC上的中线试说明：MWc2(A+MC).
解：如图，延长AD至点E,使DE=AD,则AE=
2AD,连接BE.
因为AD是边BC上的中线，
B
C
所以DC=DB.
在△ACD和△EBD中，因为DC=DB,∠ADC=
∠EDB,AD=ED,
E
所以△ACD≌△EBD(SAS).所以AC=EB.
在△ABE中，由三角形的三边关系可得AE1G,所以AD<2(AB+4C).
A
B
C
D
2.如图，AD=AB,AD⊥AB,AC=AE,AC⊥AE.若AM为△ABC的中线，
反向延长AM交DE于点N.试说明：
(1)DE=2AM;（2)AW⊥DE.
解：（1)如图，延长AM至点F,使MF=AM,连接
N
CF.
因为AM为△ABC的中线，
所以BM=CM.
在△BMA和△CMF中，因为AM=FM,∠BMA=
∠CMF,BM=CM,
所以△BMA≌△CMF(SAS).
E
W
D
4
B
M
C
所以AB=FC,∠BAM=∠CFM.
所以AD=FC,AB∥CF.
所以∠BAC+∠ACF=180°.
因为AD⊥AB,AC⊥AE,所以∠BAD=∠EAC=90°.
所以∠BAC+∠DAE=180°.所以∠DAE=∠ACF.
在△ADE和△CFA中，因为AD=CF,∠DAE=∠FCA,AE=CA,所以
△ADE≌△CFA(SAS).
所以∠E=∠CAF,DE=FA.
又因为MF=AM,即FA=2AM,所以DE=2AM.

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