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5.1.1复数的概念
北师大版（2019）必修第二册
第五章 复数
学习目标
掌握复数的有关概念，如虚数单位、实部、 虚部、虚数、纯虚数；正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
02
通过引入复数，把实数集扩充到复数集，体会实际需求与教学内容的矛盾在数系扩充过程中的作用
01
知识回顾
数是人类文明进程中的伟大创造.随着实际和运算的需要，经过长时间的发展，人们逐步把数从自然数扩充到有理数、实数.
有理数集
计数的需要
引入了
自然数
自然数集
整数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
引入了
分数
引入了
无理数
解决度量正方形对角线等问题
角度一：解决实际问题的需要
解决测量等分问题
知识回顾
角度二：解方程的需要
自然数集 N
为了计数的需要
有理数集 Q
为了分配的需要
为了测量正方形的对角长
实数集 R
1、2、3
整数集 Z
为了描述具有相反意义的量
0、1、2、3
、 ···
在自然数集中无解
在整数集中无解
在有理数集中无解
负整数
无理数
分数
在实数集中无解
知识回顾
方程有没有解
从方程的角度看，1 能不能开平方
我们知道，方程 在实数集中无解.
虽然负数的开方运算是由求一元二次方程的解引发的，但迫使人们认真对待却是因为求一元三次方程的解. 1545年意大利数学家卡尔达诺(Girolamo Cardano，1501—1576)出版著作《重要的艺术》，书中在讨论一元三次方程的求根公式时，无可避免地导致求解负数的平方根.
联系从自然数集到实数集的扩充过程，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个方程有解呢
数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中运算及运算规律
①i 是方程的解，即使得 i2.
把实数 a 与新引入的数 i 相加，结果记作 a＋i
把实数 b 与 i 相乘，结果记作 bi
把实数 a 与 bi 相加，结果记作 a＋bi
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，
我们设想引入一个新数 i，并规定：
②实数可以和进行四则运算，且原有的运算律仍然成立
问题：把实数和新引进的数 i 像实数那样进行运算，你得到什么样的数？
其中：a＋i 可以看成 a＋1i
bi 可以看成 0＋bi
a 可以看成 a＋0i
i 可以看成 0＋1i
注意到所有实数以及 i 都可以写成 a＋bi(a，b∈R) 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集
C＝{a＋bi|a，b∈R}中
复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R) 的数叫作复数，通常用字母 z 表示，即 z＝ a＋bi(a，b∈R)，其中 a 称为复数 z 的实部，记作Re z，b 称为复数 z 的虚部，记作Im z.
全体复数所构成的集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}叫作复数集.
复数的分类
对于复数 z＝ a＋bi(a，b∈R)
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
当且仅当b ＝0时，它是实数，
当且仅当b ≠0 时，它是虚数，
当且仅当a＝b ＝0时，它是实数0；
当且仅当a＝0且b ≠0 时，它是纯虚数.
当且仅当a≠0且b ≠0 时，它是非纯虚数.
非纯虚数集
例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数：(1)1－i ；(2) i；(3)－7
解：(1)1－i 的实部与虚部分别是 1 和 －1，它是虚数，但不是纯虚数；
(2) i 的实部与虚部分别是 0 和 ，它是虚数，而且是纯虚数；
(3)－7 的实部与虚部分别是－7 和 0，它是实数
复数相等
两个复数 a＋bi 与 c＋di 相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即
a＋bi＝c＋di 当且仅当 a＝c 且 b＝d
思考：两个复数能比较大小吗？
虚数不能比较大小，只有相等或不相等；实数可以比较大小.
引入虚数单位 i 后，规定i2＝－1，但 i 与 0 的大小关系不能确定.理由如下：
若i＞0，则2i＞i，两边同乘 i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；
若i＜0，则由－2＜－1得－2i＞－i，所以－2i·i＜－i·i，即2＜1，与实数系中数的大小规定相矛盾.故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分.若两个复数用“＞”或“＜”连接，则这两个复数必为实数.
思考：自然数集 N，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复数集 C 之间有什么关系
例2 设x，y∈R，(x＋2)－2xi＝－3y＋(y－1)i，求x，y的值.
解：由复数相等的定义，得
，
解这个方程组，得
当堂检测
A
C
A
1
虚数的引入
复 数
z = a + bi
(a,b∈R)
复数的分类
当 b=0 时 z 为实数;
当 b 0 时 z 为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di
(a, b,c,d R)
a=c
b=d
感谢您的聆听与指导
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