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§1　对数的概念
第四章　对数运算与对数函数
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念．(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点) 通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理与数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
1．对数的概念是什么？
2．对数式中底数和真数分别有什么限制？
3．什么是常用对数和自然对数？
4．对数与指数有什么关系？
1．对数的概念
(1)一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以__为底__的对数，记作__________，其中__叫作对数的底数，__叫作真数．
(2)指数式与对数式的互化及有关概念：
(3)底数a的范围是_____________．
a
N
logaN＝b
a
N
指数
对数
幂
真数
底数
a＞0，且a≠1
N
10
e
没有
0
1
思考 (1)式子log－3(－3)＝1正确吗？
(2)为什么零和负数没有对数？
[提示]　(1)不正确．不符合对数的定义．
(2)由对数的定义：ax＝N(a＞0，且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
体验1．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为__________．
体验2．把对数式loga49＝2写成指数式为________．
logaM＝2
a2＝49
关键能力·合作探究释疑难
类型1　对数的概念
【例1】　已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．
反思领悟　正确理解对数的概念
(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.
(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．
[跟进训练]
1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是_______________．

[思路点拨]　利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值．
反思领悟　1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N b＝logaN(a＞0，且a≠1)．
2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．
√
类型3　对数的性质
【例3】　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0.
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
[母题探究]
1．本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x呢？
[解]　由log3[log4(log5x)]＝1，可得log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
反思领悟　利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
√
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
2
4
3
题号
1
5
×
×
√
√
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
√
4．若blog23＝1，则3b＝________，b＝________．
2
4
3
题号
1
5
2　
log32　
2
4
3
题号
1
5
3　§1　对数的概念
学习任务 核心素养
1．理解对数的概念．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化．(重点) 3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点) 通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理与数学运算素养．
1．对数的概念是什么？
2．对数式中底数和真数分别有什么限制？
3．什么是常用对数和自然对数？
4．对数与指数有什么关系？
1．对数的概念
(1)一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
(2)指数式与对数式的互化及有关概念：
(3)底数a的范围是a＞0，且a≠1．
2．对数恒等式：＝N．
3．常用对数与自然对数
4．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(4)＝N.
(1)式子log－3(－3)＝1正确吗？
(2)为什么零和负数没有对数？
[提示]　(1)不正确．不符合对数的定义．
(2)由对数的定义：ax＝N(a＞0，且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
1．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为__________．
[答案]　logaM＝2
2．把对数式loga49＝2写成指数式为____________．
[答案]　a2＝49
类型1　对数的概念
【例1】　已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．
[解]　由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有解得－2所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1)．
　正确理解对数的概念
(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.
(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．
[跟进训练]
1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．
　[根据题意可得
解得0类型2　指数式与对数式的互化
【例2】　求下列各式中x的值：
(1)log16x＝－2；(2)logx27＝.
[思路点拨]　利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值．
[解]　(1)由log16x＝－2，得x＝16-2＝，故x＝.
(2)由logx27＝，得＝27，
即＝33，∴x＝34＝81.
　1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N b＝logaN(a＞0，且a≠1)．
2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．
[跟进训练]
2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为≈1.259)(　　)
A．1.5　　　 　 B．1.2
C．0.8　　　 　 D．0.6
C　[由题意知，4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.]
3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2-7＝；(2)33＝27；(3)10-1＝0.1；32－5；(5)lg 0.001＝－3.
[解]　(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)＝32；(5)10-3＝0.001.
类型3　对数的性质
【例3】　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0.
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，
∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
[母题探究]
1．本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x呢？
[解]　由log3[log4(log5x)]＝1，可得log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.
2．在本例(3)条件下，计算的值．
[解]　因为x＝625，则＝3.
3．本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“＝1”，又如何求解x呢？
[解]　由＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
　利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
[跟进训练]
4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以.]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积． (　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．log2的值为(　　)
A．－ 　 B．
C．－ 　 D．
D　[设log2＝x，则2x＝，∴x＝.]
3．(多选)以下结论正确的是(　　)
A．lg (lg 10)＝0
B．若lg x＝10，则x＝10
C．若e＝ln x，则x＝e2
D．(eln e)-1＝
AD　[lg (lg 10)＝lg 1＝0，A正确；若lg x＝10，则x＝1010，B错误；若e＝ln x，则x＝ee，C错误；，D正确．]
4．若blog23＝1，则3b＝________，b＝________．
2　log32　[∵blog23＝1，∴log23＝，
∴＝3，∴3b＝2，∴b＝log32.]
5．已知log3＝0，则x＝________．
3　[]
课时分层作业(二十四)　对数的概念
一、选择题
1．将＝9写成对数式，正确的是(　　)
A．log9＝－2 　 B．9＝－2
C．(－2)＝9 　 D．log9(－2)＝
B　[根据对数的定义，得－2.]
2．已知loga3＝，则a的值为(　　)
A．2 　 B．3
C．8 　 D．9
B　[∵＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.]
3．已知logx8＝3，则x的值为(　　)
A． 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[由定义知x3＝8，所以x＝2.]
4．方程＝的解是(　　)
A．x＝ 　 B．x＝
C．x＝ 　 D．x＝9
A　[∵＝＝2-2，∴log3x＝－2，
∴x＝3-2＝.]
5．设f (x)＝则f ( f (2))的值为(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
C　[∵f (2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f ( f (2))＝f (1)＝2e1-1＝2×e0＝2.]
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________．
2　[原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2.]
7．log6[log4(log381)]＝________．
0　[原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.]
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
12　[∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.]
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝1；(2)logx 8＝.
[解]　(1)由log2(log5x)＝1得log5x＝2，
∴x＝25.
(2)由logx8＝得＝8，
∴x＝，即x＝，
∴x＝24＝16.
10．已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值．
[解]　∵log189＝a，log1854＝b，
∴18a＝9，18b＝54，
∴182a－b＝.
11．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与＝3
与log8
D．log77＝1与71＝7
ACD　[log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，ACD正确．]
12．已知f (2x＋1)＝，则f (4)＝(　　)
A．log25 　 B．log23
C． 　 D．
B　[令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f (4)＝log23.]
13．利用对数恒等式＝N(a>0，且a≠1，N>0)计算：
(1)＝________；
(2)＋＝________．
(1)8　(2)25　[(1)＝2×4＝8.
(2)＋＝23×2＝25.]
14．已知log2[log3(log4x)]＝0，且log4(log2y)＝1，则的值为________．
64　[∵log2[log3(log4x)]＝0，
∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，
∴x＝43＝64．由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
∴y＝24＝16.
因此＝8×8＝64.]
15．已知loga b＝logb a(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
[证明]　设loga b＝logb a＝k，则b＝ak，a＝bk，
∴b＝(bk)k＝.∵b>0，且b≠1，
∴k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.∴a＝b或a＝.

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