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第2课时　对数函数图象及性质的应用
第四章　对数运算与对数函数
§3　对数函数
关键能力·合作探究释疑难
√
√
√
反思领悟　比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
√
[跟进训练]
1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 　 D．log87D　[因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错误；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错误；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错误．]
√
类型2　求解对数不等式
【例2】　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)．
反思领悟　常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
(－2，1)　
4．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为___________________．
反思领悟　1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f (logax)(a>0，且a≠1)型．
[跟进训练]
5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为__________．
(2，＋∞)　[由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.]
(2，＋∞)　
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c 　 B．b>a>c
C．a>c>b 　 D．c>a>b
2
4
3
题号
1
5
A　[因为a＝log23.4>1，0b>c，故选A.]
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] 　 B．(2，7]
C．[7，＋∞) 　 D．(2，＋∞)
√
2
4
3
题号
1
5
B　[∵lg (2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得2√
2
4
3
题号
1
5
4．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是______________．
2
4
3
题号
1
5

2
4
3
题号
1
5
3　
1　第2课时　对数函数图象及性质的应用
类型1　比较对数值的大小
【例1】　(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．b＜a＜c 　 B．c＜b＜a
C．c＜a＜b 　 D．b＜c＜a
(2)若a＝log67，b＝log76，c＝，则(　　)
A．a＜b＜c 　 B．a＜c＜b
C．c＜b＜a 　 D．b＜c＜a
(3)已知a＝0.3-0.2，b＝log0.20.3，c＝log0.32，则(　　)
A．a＞b＞c 　 B．a＞c＞b
C．b＞c＞a 　 D．c＞b＞a
(1)D　(2)C　(3)A　[(1)log43.2＜log43.6，即b＜c.
又c＝log43.6＝log23.6＜log23.6.
所以b＜c＜a，故选D.
(2)log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，
＝0，
即a＞1，0＜b＜1，c＜0，
所以c＜b＜a，故选C.
(3)因为a＞1，0＜b＜1，c＜0，
所以a＞b＞c，故选A.]
　比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
[跟进训练]
1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 　 D．log87D　[因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错误；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错误；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错误．]
2．已知a＝，b＝log2，则(　　)
A．a>b>c 　 B．a>c>b
C．c>b>a 　 D．c>a>b
D　[∵0a>b.故选D.]
类型2　求解对数不等式
【例2】　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)．
[解]　(1)原不等式等价于
解得所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于无解．
当0解得x>4.
综上可知，当a>1时，解集为 ；当04}．
　常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
[跟进训练]
3．不等式的解集为________．
(－2，1)　[因为函数y＝在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以解得－24．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为_____________．
∪(1，＋∞)　[由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型3　对数型函数的单调性
【例3】　求函数f (x)＝的单调区间．
[解]　设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝在定义域内单调递减，因而函数f (x)＝的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)．
　1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域．
2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f (logax)(a>0，且a≠1)型．
[跟进训练]
5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．
(2，＋∞)　[由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2.]
6．已知f (x)＝log4(4x－1)．
(1)求f (x)的定义域；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)求f (x)在区间上的值域．
[解]　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f (x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设0因此，
即f (x1)故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)因为f (x)在区间上单调递增，
又f ＝0，f (2)＝log415，
因此f (x)在上的值域为[0，log415].
1．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　)
A．a>b>c 　 B．b>a>c
C．a>c>b 　 D．c>a>b
A　[因为a＝log23.4>1，0b>c，故选A.]
2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，7] 　 B．(2，7]
C．[7，＋∞) 　 D．(2，＋∞)
B　[∵lg (2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得23．设a>1，函数f (x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　)
A． 　 B．2
C．2 　 D．4
D　[因为a>1，所以y＝logax在[a，2a]上单调递增．
所以loga(2a)－logaa＝，
即loga2＝，所以＝2，解得a＝4.]
4．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是________．
　[因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f (x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f (x)的单调递增区间是.]
5．函数y＝2x－(x＋1)在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________．
3　1　[因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝1＝1－0＝1.]
课时分层作业(二十七)　对数函数图象及性质的应用
一、选择题
1．已知函数f (x)＝log2(1＋2－x)，则函数f (x)的值域是(　　)
A．[0，2) 　 B．(0，＋∞)
C．(0，2) 　 D．[0，＋∞)
B　[∵1＋2－x>1，
∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f (x)的值域是(0，＋∞)，故选B.]
2．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．cD　[由题知，a＝log45>1，b＝＝1，c＝log30.4<0，故c3．函数f (x)＝的单调递增区间是(　　)
A． 　 B．(0，1]
C．(0，＋∞) 　 D．[1，＋∞)
D　[f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
]
4．已知<<0，则(　　)
A．nC．1D　[因为0<<1，<<0，所以m>n>1，故选D.]
5．若函数f (x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上恒有f (x)>0，则f (x)(　　)
A．在(－∞，0)上单调递增
B．在(－∞，0)上单调递减
C．在(－∞，－1)上单调递增
D．在(－∞，－1)上单调递减
C　[当－1∵loga|x＋1|>0，∴0∴函数f (x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．]
二、填空题
6．设f (x)＝lg x，若f (1－a)－f (a)>0，则实数a的取值范围为________．
　[由题意，f (x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1－a)－f (a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈.]
7．若f (x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则函数f (x)在[0，1]上的最大值为________，最小值为________．
1　－　[当a>1时，f (x)max＝f (1)＝＝f (0)＝a0＋loga1＝1，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0此时f (x)max＝1，f (x)min＝＋＝－.]
8．已知a>0，且a≠1，若函数f (x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
(1，2]　[若函数f (x)＝的值域为[1，＋∞)，且a>0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1，所以可得1三、解答题
9．已知函数f (x)＝ln (3＋x)＋ln (3－x)．
(1)求函数y＝f (x)的定义域；
(2)判断函数y＝f (x)的奇偶性．
[解]　(1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，故函数y＝f (x)的定义域为(－3，3)．
(2)由(1)可知，函数y＝f (x)的定义域为(－3，3)，关于原点对称．
对任意x∈(－3，3)，则－x∈(－3，3)．
∵f (－x)＝ln (3－x)＋ln (3＋x)＝f (x)，
∴由函数奇偶性可知，函数y＝f (x)为偶函数．
10．已知指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f (x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≤loga(2－3x)．
[解]　(1)令y＝ax(a>0，且a≠1)，则x＝logay(a>0，且a≠1)，所以函数f (x)的反函数为g(x)＝logax(a>0，且a≠1)．
(2)当a>1时，logax≤loga(2－3x)，
所以解得0当0综上，当a>1时，原不等式的解集为；
当011．(多选)函数f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　)
A．f (x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值
B．f (x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值
C．f (x)在定义域内是偶函数
D．f (x)的图象关于直线x＝1对称
AD　[由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f (x)的图象关于x＝1对称，D正确；
由上述分析知f (x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误；
又f (－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f (x)，所以C错误．故选AD.]
12．已知曲线C：y＝与函数f (x)＝logax及函数g(x)＝ax(其中a>1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为(　　)
A．16 　 B．8
C．4 　 D．2
C　[如图所示，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于y＝x对称，
又A(x1，y1)关于y＝x的对称点为(y1，x1)，则x2＝y1，故＝＝4.故选C.]
13．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1．已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．
　[由0≤|log0.5x|≤2，解得≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－＝.]
14．函数f (x)＝ln (a≠2)为奇函数，则实数a等于________．
－2　[依题意有f (－x)＋f (x)＝ln ＋ln ＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.]
15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f (x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：
①同学甲发现：函数f (x)的定义域为(－1，1)；
②同学乙发现：函数f (x)是偶函数；
③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有f ＝2f (x)；
④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f (a)＋f (b)＝f ；
⑤同学戊发现：对于函数f (x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.
试分别判断哪些同学的研究成果正确．
[解]　在①中，因为f (x)＝lg ，所以>0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f (x)＝lg ＝－lg ＝－f (－x)，所以函数f (x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f ＝lg ＝lg ＝lg ，又2f (x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f (a)＋f (b)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg ，又f ＝lg ＝lg ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f (x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f (x)是增函数，但f (x)＝lg ＝lg 是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确．

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