资源简介

§3　对数函数
学习任务 核心素养
1．通过具体实例，了解对数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．(重点) 3．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(重点、难点) 4．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．(重点) 1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助对数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
1．对数函数的定义是什么？
2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？
3．反函数的定义是什么？
4．对数函数的图象是什么形状？有哪些性质？
知识点1　对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的底数，x是自变量．
知识点2　特殊的对数函数
常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg x
自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x
1．对数函数的解析式有何特征？
[提示]　在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R． (　　)
(2)函数y＝log2(2x)是对数函数． (　　)
(3)函数y＝log(x2＋2)x是对数函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x 　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe 　 D．y＝logxx
[答案]　A
知识点3　对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性 质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点：(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当00
在定义域(0，＋∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
2．(1)底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象有什么关系？
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与y＝有什么关系？
[提示]　(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0(2)在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数． (　　)
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)
(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
4．函数f (x)＝log2(x－1)的定义域是________．
[答案]　(1，＋∞)
第1课时　对数函数的概念、图象和性质
类型1　对数函数的概念
【例1】　对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log4x 　B．y＝ 　C．y＝ 　D．y＝log2x
D　[由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2．所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.]
　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log3x2 　 B．y＝log3x
C．y＝logx5 　 D．y＝log2x＋1
[答案]　B
类型2　对数函数的图象
　对数型函数图象的判断
【例2】　函数y＝ln (1－x)的图象大致为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln (1－x)为减函数．故选C.]
　作对数型函数的图象
【例3】　已知f (x)＝loga|x|，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
[解]　因为f (－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
　对数函数底数对图象的影响
【例4】　如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1 　 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 　 D．b＞a＞1
B　[作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.]
　有关对数型函数图象问题的求解技巧
(1)求函数y＝loga f (x)＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f (x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．
[跟进训练]
2．(1)函数f (x)的图象的大致形状是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
(2)若lg a＋lg b＝0 (a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝logax与g(x)＝logbx的图象(　　)
A．关于直线y＝x对称 　 B．关于x轴对称　
C．关于y轴对称 　 D．关于原点对称
(1)D　(2)B　[(1)由于f (x)＝log2，所以函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且当x>0时，f (x)＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又函数是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，故选D.
(2)由 lg a＋lg b＝0，得b＝，所以g(x)＝logbx＝＝－logax，所以函数f (x)与g(x)的图象关于x轴对称．]
类型3　对数型函数的定义域
【例5】　求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝.
[解]　(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3，4)．
(3)要使函数式有意义，需满足即解得－1　求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
[跟进训练]
3．函数f (x)＝＋lg (10－x)的定义域为________．
(1，10)　[由题意可得解得1类型4　对数函数的性质
【例6】　根据函数f (x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若f (a)>f (2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．
[思路点拨]　可先作出y＝log2x的图象，利用图象中的单调性解决问题．
[解]　函数y＝log2x的图象如图．
(1)f (a)>f (2)，即log2a>log22，又因为y＝log2x是增函数，则a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.
　对数型函数求解方法
(1)求解对数型不等式时应考虑底数与1的大小．
(2)对数型函数值域求解采用复合函数法．
[跟进训练]
4．(1)比较log2与log2的大小；
(2)若log2(2－x)>0，求x的取值范围．
[解]　(1)函数f (x)＝log2x在定义域(0，＋∞)上为增函数，
又∵>，∴log2>log2.
(2)log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，
∵函数y＝log2x为增函数，∴2－x>1，即x<1.
∴x的取值范围为(－∞，1)．
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝ln 　 B．y＝ln
C．y＝logx2 　 D．y＝log3x
[答案]　D
2．函数f (x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) 　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) 　 D．(－∞，1]
B　[由x－1>0，得x>1.]
3．函数y＝log2x的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[结合各选项可知，C正确．]
4．函数y＝lg x的反函数是________．
[答案]　y＝10x
5．如果函数f (x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
(1，2)　[若f (x)，g(x)均为增函数，
则
即1＜a＜2，
若f (x)，g(x)均为减函数，
则无解．
综上，a的取值范围为(1，2)．]
课时分层作业(二十六)　对数函数的概念、图象和性质
一、选择题
1．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
D　[由解得∴x≥4且x≠10，
∴函数f (x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.]
2．函数f (x)＝log2x，且f (m)>0，则m的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) 　 B．(0，1)
C．(1，＋∞) 　 D．R
C　[结合f (x)＝log2x的图象(图略)可知，f (m)>0时，m>1.]
3．函数y＝log2x的定义域是M，值域是N，则M∩N等于(　　)
A．M 　 B．N
C． 　 D．R
A　[M＝(0，＋∞)，N＝R，则M∩N＝(0，＋∞)＝M.]
4．函数y＝4x的反函数是(　　)
A．y＝4x 　 B．y＝x4
C．y＝logx4 　 D．y＝log4x
[答案]　D
5．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.]
二、填空题
6．函数f (x)＝的定义域是________．
(0，4]　[由2－log2x≥0，得log2x≤2，又x＞0，
∴07．已知函数f (x)＝则f ＝________．
　[＝f (－2)＝3-2＝.]
8．函数f (x)＝log2x在区间[a，2a](a>0)上最大值与最小值之差为________．
1　[∵f (x)＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，
∴f (x)max－f (x)min＝f (2a)－f (a)＝log2(2a)－log2a＝1.]
三、解答题
9．求函数y＝log2x＋的定义域．
[解]　由题意知
∴故有1，
所以原函数的定义域是.
10．当m为何值时，关于x的方程|log2(x－1)|＝m无解？有一解？有两解？
[解]　在同一坐标系中，分别作出函数y＝|log2(x－1)|和y＝m的图象，如图所示．
由图象得：当m<0时，方程无解；
当m＝0时，方程有一解；
当m>0时，方程有两解．
11．(多选)已知f (x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则f (x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0，10)上单调递增
D．在(0，10)上单调递减
BD　[由得x∈(－10，10)，故函数f (x)的定义域为(－10，10)，因为 x∈(－10，10)都有－x∈(－10，10)，且f (－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f (x)，故函数f (x)为偶函数．
f (x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，y＝100－x2在(0，10)上单调递减，又y＝lg x是增函数，故函数f (x)在(0，10)上单调递减．]
12．方程－log2x＝0的解的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．不确定
B　[在同一坐标系中画出函数y＝与y＝log2x的图象，如图所示．
由图知它们的图象只有一个交点，即方程＝log2x仅有一个解．]
13．已知函数f (x)＝的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
[1，2]　[作出f (x)＝的图象(如图)，可知＝f (2)＝1，f (1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
]
14．已知f (x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝log2x.
当x∈(－∞，0)时，函数f (x)的解析式为________．
f (x)＝log2(－x)　[设x∈(－∞，0)，
则－x∈(0，＋∞)，
所以f (－x)＝log2(－x)，
又f (x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
得f (－x)＝f (x)，所以f (x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0))．]
15．已知f (x)是对数函数，并且它的图象过点，g(x)＝f 2(x)－2b·f (x)＋3，其中b∈R.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求y＝g(x)在上的最小值．
[解]　(1)设f (x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f (x)的图象过点，
∴f ＝，即loga2，
∴，即a＝2，∴f (x)＝log2x.
(2)设t＝f (x)，则y＝g(x)＝t2－2bt＋3＝(t－b)2＋3－b2＝m(t)，
∵≤x≤16，∴≤log2x≤4，
即t∈函数m(t)的图象的对称轴方程为t＝b.
①当b≤时，m(t)在上单调递增，ymin＝m
②当上单调递减，在上单调递增，ymin＝m
③当上单调递减，ymin＝m(4)＝19－8b.
综上所述，ymin＝(共29张PPT)
§3　对数函数
第四章　对数运算与对数函数
学习任务 核心素养
1．通过具体实例，了解对数函数的概念．(重点)
2．能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象．(重点)
3．探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)
4．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．(重点) 1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助对数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
1．对数函数的定义是什么？
2．什么是常用对数函数？什么是自然对数函数？
3．反函数的定义是什么？
4．对数函数的图象是什么形状？有哪些性质？
知识点1　对数函数的概念
函数y＝______(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中a叫作对数函数的____，x是自变量．
知识点2　特殊的对数函数
常用对数函数 以____为底的对数函数____________
自然对数函数 以________为底的对数函数____________
思考1．对数函数的解析式有何特征？
[提示]　在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
logax
底数
10
y＝lg x
无理数e
y＝ln x
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R． (　　)
(2)函数y＝log2(2x)是对数函数． (　　)
(3)函数y＝log(x2＋2)x是对数函数． (　　)
体验2．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x 　 B．y＝ln (x＋1)
C．y＝logxe 　 D．y＝logxx
×
×
×
√
知识点3　对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性
质 定义域：____________
值域：__
过定点：__________，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>__； 当x>1时，y<__；
当0__
在定义域(0，＋∞)上是__函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是__函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；
当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
(0，＋∞)
R
(1，0)
0
0
0
0
增
减
体验3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝log0.3x是减函数． (　　)
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧． (　　)
(3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (　　)
体验4．函数f (x)＝log2(x－1)的定义域是_________．
√
√
×
(1，＋∞)
第1课时　对数函数的概念、图象和性质
对应学生用书第113页
关键能力·合作探究释疑难
√
D　[由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2．所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.]
反思领悟　判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log3x2 　 B．y＝log3x
C．y＝logx5 　 D．y＝log2x＋1
√
√
类型2　对数函数的图象
角度1　对数型函数图象的判断
【例2】　函数y＝ln (1－x)的图象大致为(　　)
C　[由1－x>0，知x<1，排除选项A、B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t为增函数，所以y＝ln (1－x)为减函数．故选C.]
A　　　 　B　　 　　C　　　　D
角度2　作对数型函数的图象
【例3】　已知f (x)＝loga|x|，满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
√
角度3　对数函数底数对图象的影响
【例4】　如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝
logbx的图象，则(　　)
A．0＜a＜b＜1 　 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 　 D．b＞a＞1
B　[作直线y＝1(图略)，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.]
反思领悟　有关对数型函数图象问题的求解技巧
(1)求函数y＝loga f (x)＋m(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f (x)＝1求出x，即得定点为(x，m).
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得底数的大小．
√
(2)若lg a＋lg b＝0 (a≠1，b≠1)，则函数f (x)＝logax与g(x)＝logbx的图象(　　)
A．关于直线y＝x对称　 B．关于x轴对称　
C．关于y轴对称 　 D．关于原点对称
A　　　　B　　　　　C　　　　　D
√
反思领悟　求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
(1，10)
类型4　对数函数的性质
【例6】　根据函数f (x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：
(1)若f (a)>f (2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．
[思路点拨]　可先作出y＝log2x的图象，利用图象中的单调性解决问题．
[解]　函数y＝log2x的图象如图．
(1)f (a)>f (2)，即log2a>log22，又因为y＝log2x
是增函数，则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.
反思领悟　对数型函数求解方法
(1)求解对数型不等式时应考虑底数与1的大小．
(2)对数型函数值域求解采用复合函数法．
学习效果·课堂评估夯基础
√
2
4
3
题号
1
5
2．函数f (x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) 　 B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) 　 D．(－∞，1]
√
2
4
3
题号
1
5
B　[由x－1>0，得x>1.]
3．函数y＝log2x的图象大致是(　　)
√
2
4
3
题号
1
5
C　[结合各选项可知，C正确．]
A　　　　B　　 　 　C　 　 　　D
4．函数y＝lg x的反函数是________．
2
4
3
题号
1
5
y＝10x
2
4
3
题号
1
5．如果函数f (x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
5
(1，2)　

展开更多......

收起↑