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1.2　利用二分法求方程的近似解
§1　方程解的存在性及方程的近似解
第五章　函数应用
学习任务 核心素养
1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．(重点)
2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．(重点)
3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．(重点、难点) 1．通过对二分法概念的学习，培养数学抽象素养．
2．通过利用二分法求函数零点的近似解，培养数学运算素养．
必备知识·情境导学探新知
1．若x0是满足精度ε的近似值，则x0应满足什么条件？
2．二分法的定义是什么？
3．如何用二分法求函数的零点或方程的近似解？
f (a)·f (b)<0
中点
2．二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以
用右图表示出来．
其中：
“初始区间”是一个两端点函数值____的区间；
新区间的一个端点是原区间的____，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值____．
异号
中点
异号
思考　(1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗？
(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？
体验1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
A　[只有选项A中的函数有变号零点，所以能用二分法求其零点的近似值．]
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
√
体验2．用二分法求函数f (x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．(－2，－1) 　 B．(－1，0)
C．(0，1) 　 D．(1，2)
√
A　[∵f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，f (－2)·f (－1)<0，故可取(－2，－1)作为初始区间，用二分法逐次计算．]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　二分法的概念理解
【例1】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
√
A　[按定义，f (x)在[a，b]上是连续的，且f (a)·f (b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.]
反思领悟　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
√
[跟进训练]
1．下列函数中能用二分法求零点的为(　　)
B　[函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．]
A　　　 　B　　 　　　C　　　 　D
类型2　利用二分法求方程的近似解
【例2】　求方程x3－3＝0的一个近似解．(精确度为0.02)
[思路点拨]　利用二分法求解．
[解]　考查函数f (x)＝x3－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间．
经计算f (1)＝－2<0，f (2)＝5＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，2)内有解．
取区间(1，2)的中点1.5，f (1.5)＝0.375＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，1.5)内有解．
如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在区间(如下表)：
次数 左端点 左端点
函数值 右端点 右端点
函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 5 1
第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 －1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 －0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 －0.030 1.5 0.375 0.062 5
至此可以看出区间[1.437 5，1.453 125]的区间长度小于0.02，而方程的近似解就在这个区间内，因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精确度为0.02的一个近似解．
次数 左端点 左端点
函数值 右端点 右端点
函数值 区间长度
第6次 1.437 5 －0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 －0.030 1.453 1 25 0.068 4 0.015 625
[母题探究]
1．本例变为：根据下表，用二分法求函数f (x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是________．
f (1)＝－1 f (2)＝3 f (1.5)＝－0.125
f (1.75)＝1.109 375 f (1.625)＝
0.416 015 625 f (1.562 5)＝
0.127 197 265
1.5　[由表中数据知f (1.5)·f (2)<0，f (1.5)·f (1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f (x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值可以取1.5.]
1.5　
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值
(1，2) 1.5 1.375
(1，1.5) 1.25 －0.046 9
(1.25，1.5) 1.375 0.599 6
(1.25，1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25，1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25，1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25，1.265 625) 1.257 812 5 －0.010 0
反思领悟
1．用二分法求方程近似解应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，利用精度把关口．
[跟进训练]
2．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)
[解]　令f (x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0，
所以函数f (x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，
又f (1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
(a，b) 中点c f (a) f (b)
(0，1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f (0.625)<0 f (0.75)>0 f (0.687 5)<0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5 <0.1
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二分法的实际应用
乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味，乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
1．当a＝12，b＝3时，该如何称？
[提示]　第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．
[提示]　将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间． (　　)
2
4
3
题号
1
5
[提示]　(1)错误．如函数f (x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解．
(2)错误．对于函数f (x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f (a)f (b)<0，所以不能用二分法求其零点．
(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．
×
×
×
2．已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
√
2
4
3
题号
1
5
B　[因为f (1)＞0，f (2)＜0，由零点存在定理可知f (x)一定存在零点的区间是(1，2)．]
x 0 1 2 3
f (x) 3.1 0.1 －0.9 －3
那么函数f (x)一定存在零点的区间是(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(2，3) 　 D．(3，＋∞)
√
2
4
3
题号
1
5
4．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算__________．
2
4
3
题号
1
5
(0，0.5)　
f (0.25)　
2
4
3
题号
1
5．函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__________．
5
a2＝4b　[∵函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f (x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．
∴Δ＝a2－4b＝0．∴a2＝4b.]
a2＝4b　1.2　利用二分法求方程的近似解
学习任务 核心素养
1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图．(重点) 2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．(重点) 3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．(重点、难点) 1．通过对二分法概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过利用二分法求函数零点的近似解，培养数学运算素养．
1．若x0是满足精度ε的近似值，则x0应满足什么条件？
2．二分法的定义是什么？
3．如何用二分法求函数的零点或方程的近似解？
1．二分法的概念
(1)满足精确度ε的近似解：设是方程f (x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．
(2)二分法的定义：对于一般的函数y＝f (x)，x∈[a，b]，若函数y＝f (x)的图象是一条连续的曲线，f (a)·f (b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
2．二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来．
其中：
“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
(1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗？
(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？
[提示]　(1)不是，例如函数y＝(x＋)2的零点－就无法用二分法求出．
(2)不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3．而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25，1.34)．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[只有选项A中的函数有变号零点，所以能用二分法求其零点的近似值．]
2．用二分法求函数f (x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．(－2，－1) 　 B．(－1，0)
C．(0，1) 　 D．(1，2)
A　[∵f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，f (－2)·f (－1)<0，故可取(－2，－1)作为初始区间，用二分法逐次计算．]
类型1　二分法的概念理解
【例1】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[按定义，f (x)在[a，b]上是连续的，且f (a)·f (b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.]
　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
[跟进训练]
1．下列函数中能用二分法求零点的为(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
B　[函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．]
类型2　利用二分法求方程的近似解
【例2】　求方程x3－3＝0的一个近似解．(精确度为0.02)
[思路点拨]　利用二分法求解．
[解]　考查函数f (x)＝x3－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间．
经计算f (1)＝－2<0，f (2)＝5＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，2)内有解．
取区间(1，2)的中点1.5，f (1.5)＝0.375＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，1.5)内有解．
如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在区间(如下表)：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 5 1
第2次 1 －2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 －1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 －0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 －0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 －0.030 1.468 75 0.168 0.031 25
第7次 1.437 5 －0.030 1.453 1 25 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5，1.453 125]的区间长度小于0.02，而方程的近似解就在这个区间内，因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精确度为0.02的一个近似解．
[母题探究]
1．本例变为：根据下表，用二分法求函数f (x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是________．
f (1)＝－1 f (2)＝3 f (1.5)＝－0.125
f (1.75)＝1.109 375 f (1.625)＝ 0．416 015 625 f (1.562 5)＝ 0．127 197 265
1.5　[由表中数据知f (1.5)·f (2)<0，f (1.5)·f (1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f (x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值可以取1.5.]
2．如何求的近似值？(精确度为0.01)
[解]　设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，
令f (x)＝x3－2，则函数f (x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．
由f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间(1，2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数值
(1，2) 1.5 1.375
(1，1.5) 1.25 －0.046 9
(1.25，1.5) 1.375 0.599 6
(1.25，1.375) 1.312 5 0.261 0
(1.25，1.312 5) 1.281 25 0.103 3
(1.25，1.281 25) 1.265 625 0.027 3
(1.25，1.265 625) 1.257 812 5 －0.010 0
由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.
1．用二分法求方程近似解应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的中点c，计算f (c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求方程近似解步骤的记忆口诀
定区间，找中点，中值计算两边看．
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，利用精度把关口．
[跟进训练]
2．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度为0.1)
[解]　令f (x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0，f (0)·f (1)<0，
所以函数f (x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0，
又f (1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f (a) f (b) f
(0，1) 0.5 f (0)<0 f (1)>0 f (0.5)<0
(0.5，1) 0.75 f (0.5)<0 f (1)>0 f (0.75)>0
(0.5，0.75) 0.625 f (0.5)<0 f (0.75)>0 f (0.625)<0
(0.625，0.75) 0.687 5 f (0.625)<0 f (0.75)>0 f (0.687 5)<0
(0.687 5，0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5 <0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
二分法的实际应用
乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味，乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．
现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．
1．当a＝12，b＝3时，该如何称？
[提示]　第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．
(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；
②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．
2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．
[提示]　将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．
综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)
(2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间． (　　)
[提示]　(1)错误．如函数f (x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解．
(2)错误．对于函数f (x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f (a)f (b)<0，所以不能用二分法求其零点．
(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 0 1 2 3
f (x) 3.1 0.1 －0.9 －3
那么函数f (x)一定存在零点的区间是(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(2，3) 　 D．(3，＋∞)
B　[因为f (1)＞0，f (2)＜0，由零点存在定理可知f (x)一定存在零点的区间是(1，2)．]
3．定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f (a)·f (b)<0，用二分法求x0时，当f ＝0时，则函数f (x)的零点是(　　)
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或b
B　[因为f ＝0，所以x＝就是函数f (x)的零点．]
4．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5)　f (0.25)　[因为f (0)<0，f (0.5)>0，所以f (0)·f (0.5)<0，故f (x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ＝f (0.25)．]
5．函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
a2＝4b　[∵函数f (x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f (x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．
∴Δ＝a2－4b＝0．∴a2＝4b.]
课时分层作业(三十)　利用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．用二分法求如图所示的函数f (x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 　 B．x2
C．x3 　 D．x4
C　[能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f (a)·f (b)<0．而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.]
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
3．设f (x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)＞0，f (1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(　　)
A．(1.25，1.5) 　 B．(1，1.25)
C．(1.5，2) 　 D．不能确定
A　[易知f (x)在R上是增函数．由题意可知f (1.25)·f (1.5)<0，故函数f (x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内．故选A.]
4．用二分法求函数f (x)＝ln x－的零点时，初始区间大致可选(　　)
A．(1，2) 　 B．(2，3)
C．(3，4) 　 D．(e，＋∞)
B　[f (x)＝ln x－，由于f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－＞0，f (2)·f (3)<0，故初始区间可选(2，3)．]
5．用二分法求函数f (x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)
A．(0，1) 　 B．(0，2)
C．(2，3) 　 D．(2，4)
B　[因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，
f (2)＝22＋6－7>0，
f (4)＝24＋12－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]
二、填空题
6．设函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，取x0＝，若f (a)·f (x0)<0，则利用二分法求方程根时，取有根区间为________．
(a，x0)　[由于f (a)·f (x0)<0，则(a，x0)为有根区间．]
7．在用二分法求方程f (x)＝0在区间[0，1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
0.75(答案不唯一)　[0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.]
8．求函数f (x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算列表如下：
端(中) 点的值 中点函数值符号 零点所在区间 区间长度
(1，1.5) 0.5
1.25 f (1.25)<0 (1.25，1.5) 0.25
1.375 f (1.375)>0 (1.25，1.375) 0.125
1.312 5 f (1.312 5)<0 (1.312 5，1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为________．
1.312 5(答案不唯一)　[∵精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数零点的近似值为1.312 5.]
三、解答题
9．求函数f (x)＝x2－5的一个零点近似解．(精确度为0.1)
[解]　由于f (－2)＝－1<0，f (－3)＝4＞0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点的值 中点函数近似值
(－3，－2) －2.5 1.25
(－2.5，－2) －2.25 0.062 5
(－2.25，－2) －2.125 －0.484 4
(－2.25，－2.125) －2.187 5 －0.214 8
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，所以函数的一个近似解可取－2.25.
10．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精确度为0.1)
[解]　设f (x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．
经计算，f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，所以函数f (x)＝2x＋3x－7在(1，2)内存在零点，
即方程2x＋3x－7＝0在(1，2)内有解．
取(1，2)的中点1.5，经计算，f (1.5)≈0.33>0，
又f (1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在(1，1.5)内有解．
如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：
左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －2 2 3 1
第2次 1 －2 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.872 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.281 1.5 0.33 0.125
第5次 1.375 －0.281 1.437 5 0.021 0.062 5
由表可以看出，区间(1.375，1.437 5)内的所有值都可以看成是函数精确度为0.1时的近似零点．
所以函数y＝2x＋3x－7的一个近似零点可以是1.4.
11．(多选)某同学求函数f (x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f (2)≈－1.307 f (3)≈1.099 f (2.5)≈－0.084
f (2.75)≈0.512 f (2.625)≈0.215 f (2.562 5)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　)
A．2.52 　 B．2.56
C．2.66 　 D．2.75
AB　[由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5，2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.]
12．已知f (x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)
A．6 　 B．7
C．8 　 D．9
B　[函数f (x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为<0.01.]
13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f (x)＝lg x＋x－2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4个值依次是________．
1.5，1.75，1.875，1.812 5　[第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．]
14．在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于________．
5　[∵初始区间的长度为1，精确度为0.05，
∴≤0.05，即2n≥20.
又∵n∈N＋，∴n≥5，
∴取中点的次数不小于5.]
15．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．
(1)维持线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，最多要查多少次？
[解]　(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E查，依次类推…
(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．

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