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§1　集合
1.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的含义
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 1．通过对集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养． 2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
1．集合与元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合与元素？
3．元素与集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
知识点1　元素与集合的相关概念
1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．
1．(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
(2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示]　(1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
(2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准．
(3)能．因为标准确定．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合． (　　)
(2)用“book”中的字母构成的集合中元素的个数为4个． (　　)
[提示]　(1)接近于0没有明确的标准．
(2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
[答案]　(1)×　(2)×
知识点2　元素与集合的关系
1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A．
2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a A．
2．元素与集合之间有第三种关系吗？
[提示]　没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
2．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________．
2或6　[∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1.
若3＝a－3，则a＝6．此时集合A中含有两个元素3，11，符合题意；
若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1，3，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或6.]
知识点3　常见的数集及符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
符号 N N＋或N* Z Q R R＋
3．N与N＋(N*)有何区别？
[提示]　N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.
3．用“∈”或“ ”填空.
________N；－3________Z；________Q；0________N*；________R.
[答案]　 　∈　 　 　∈
类型1　集合的概念
【例1】　下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)
①小于0的所有实数；②与π非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校
A．①③ 　 B．②④
C．①④ 　 D．③④
C　[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]
　判断所描述的对象构成集合的标准
判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．
[跟进训练]
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)所有素数能组成一个集合．
(2)数轴上的一些点能组成一个集合．
(3)正偶数的全体可以组成一个集合．
(4)大于2 018且小于2 023的所有整数不能组成集合．
[解]　(1)正确，素数具有确定性．
(2)不正确，“一些点”的标准不明确．
(3)正确，正偶数具有确定性．
(4)不正确，具有确定性，能组成集合．
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；② Q；③0∈N*；④|－5| N*.
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
(2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　)
A．2 　 B．2或4
C．4 　 D．0
(1)B　(2)B　[(1)π是实数，是无理数，0不是正整数；|－5|＝5，5是正整数，则①②正确，故选B.
(2)由题知，a＝2∈A，6－a＝4∈A，∴a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，∴a＝4，
综上知，a＝2或4.故选B.]
　1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素；反之，当a A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
[跟进训练]
2．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A(用“∈”“ ”填空)．
∈　 　[由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－ Z.
所以－5 A.]
3．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a B.则a的值为________．
3　[∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.]
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．
a≠0且a≠1　[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]
[母题探究]
本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，满足元素的互异性，∴a＝－1.
　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
[跟进训练]
4．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
[解]　由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
1．下列说法正确的是(　　)
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不是同一个集合
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素
C　[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合表示同一个集合．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1．由互异性知，构成的集合中有2个元素．]
2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A且－3 A 　 B．3∈A且－3∈A
C．3 A且－3 A 　 D．3 A且－3∈A
D　[∵3－1＝2>，∴3 A.
又－3－1＝－4<，∴－3∈A.]
3．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．集合N中的元素都是集合N＋中的元素
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
BD　[因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A，C中的说法不正确，B，D中的说法正确．故选BD.]
4．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素．
5　[由题得：a＝0时，4－0＝4∈A，a＝1时，4－1＝3∈A，
a＝2时，4－2＝2∈A，a＝3时，4－3＝1∈A，
a＝4时，4－4＝0∈A.]
5．已知集合A含有两个元素a＋3和2a＋1，若3∈A，则实数a的值为________．
0或1　[∵3∈A，∴或解得a＝0或a＝1.]
课时分层作业(一)　集合的含义
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是(　　)
A．拥有手机的人
B．2023年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
B　[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，故选B.]
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　)
A．∈M 　 B．0 M
C．1∈M 　 D．－∈M
D　[>1，故A错误；－2<0<1，故B错误；1不小于1，故C错误；－2<－<1，故D正确．]
3．(多选)已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取(　　)
A．1 　 D．－1
C．0 　 D．任何实数
AB　[由集合中元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1，故选AB.]
4．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解组成的集合，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－5 　 D．－4
C．4 　 D．5
A　[因为2∈A，所以2×22＋2a＋2＝0，解得a＝－5.]
5．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)
A．梯形 　 D．平行四边形
C．菱形 　 D．矩形
A　[由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．]
二、填空题
6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．
3　[方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，方程x2－x－2＝0的根是－1，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．]
7．不等式x－a≥0的解集为A，若3 A，则实数a的取值范围是________．
a>3　[因为3 A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.]
8．集合A中的元素y满足y∈N，且y＝－x2＋1．若t∈A，则t的值为________．
0或1　[因为y＝－x2＋1≤1，且y∈N，所以y的值为0，1，即集合A中的元素为0，1.又t∈A，所以t＝0或1.]
三、解答题
9．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．
[解]　①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中含有－3，－1，－4三个元素，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中含有－4，－3两个元素，这与题意不符．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中含有－2，1，－3三个元素，满足题意；当a＝－1时，与题意不符．
综上可知：a＝0或a＝1.
10．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．
[解]　因为a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，所以a∈A；
因为b＝＝＝，而 Z，所以b A；
因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z，所以c∈A.
11．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
AC　[N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a N*，且a N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故选AC.]
12．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
C　[集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.故选C.]
13．已知集合P中元素x满足：x∈N，且26　[∵x∈N，且集合P中恰有三个元素，从而知a＝6.]
14．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，集合M中元素的个数为________，所有元素的和为________．
3　0　[x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.]
15．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明]　(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，
则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，
所以集合A不可能是单元素集．(共26张PPT)
第1课时　集合的含义
§1　集合
第一章　预备知识
1.1　集合的概念与表示
学习任务 核心素养
1．通过实例了解集合的含义．(难点)
2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用． 1．通过对集合概念的学习，逐步养成数学抽象素养．
2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养．
第1课时　集合的含义
必备知识·情境导学探新知
1．集合与元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合与元素？
3．元素与集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
知识点1　元素与集合的相关概念
1．集合：把______________的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．
2．元素：集合中的________叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都______，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：______，______，______．
指定的某些对象
每个对象
不相同
确定性
互异性
无序性
思考1．(1)集合中的元素只能是数、点、代数式吗？
(2)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(3)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示]　(1)集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
(2)不能．因为“帅哥”没有明确的标准．
(3)能．因为标准确定．
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)接近于0的数可以组成集合． (　　)
(2)用“book”中的字母构成的集合中元素的个数为4个． (　　)
[提示]　(1)接近于0没有明确的标准．
(2)由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．
×
×
知识点2　元素与集合的关系
1．属于：如果元素a在集合A中，就说________________，记作______．
2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说__________________，记作______．
思考2．元素与集合之间有第三种关系吗？
[提示]　没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a A”这两种结果．
元素a属于集合A
a∈A
元素a不属于集合A
a A
体验2．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若3∈A，则实数a的值为________．
2或6　[∵3∈A，∴3＝a－3或3＝2a－1.
若3＝a－3，则a＝6．此时集合A中含有两个元素3，11，符合题意；
若3＝2a－1，则a＝2，此时集合A中含有两个元素－1，3，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或6.]
2或6
知识点3　常见的数集及符号表示
思考3．N与N＋(N*)有何区别？
[提示]　N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
符号 N N＋或N* Z Q R R＋

∈


∈
关键能力·合作探究释疑难
类型1　集合的概念
【例1】　下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)
①小于0的所有实数；②与π非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校
A．①③ 　 B．②④
C．①④ 　 D．③④
√
C　[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]
反思领悟　判断所描述的对象构成集合的标准
判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．
[跟进训练]
1．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)所有素数能组成一个集合．
(2)数轴上的一些点能组成一个集合．
(3)正偶数的全体可以组成一个集合．
(4)大于2 018且小于2 023的所有整数不能组成集合．
[解]　(1)正确，素数具有确定性．
(2)不正确，“一些点”的标准不明确．
(3)正确，正偶数具有确定性．
(4)不正确，具有确定性，能组成集合．
√
√
反思领悟　1．判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于给出具有公共特征元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．已知元素与集合的关系求参数的思路
当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素；反之，当a A时，结论恰恰相反．
利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．
[跟进训练]
2．已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A(用“∈”“ ”填空)．
∈

3．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a B.则a的值为________．
3　[∵a∈A，a B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.]
3
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是____________．
a≠0且a≠1　[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]
a≠0且a≠1
[母题探究]
本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
[解]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，满足元素的互异性，∴a＝－1.
反思领悟　根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤
[跟进训练]
4．已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．
[解]　由a∈A可知，
当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．
综上可知，a＝0.
学习效果·课堂评估夯基础
√
C　[A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合表示同一个集合．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1．由互异性知，构成的集合中有2个元素．]
2
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
3．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．集合N中的元素都是集合N＋中的元素
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
√
BD　[因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A，C中的说法不正确，B，D中的说法正确．故选BD.]
2
4
3
题号
1
5
√
4．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素．
2
4
3
题号
1
5
5　[由题得：a＝0时，4－0＝4∈A，a＝1时，4－1＝3∈A，
a＝2时，4－2＝2∈A，a＝3时，4－3＝1∈A，
a＝4时，4－4＝0∈A.]
5
2
4
3
题号
1
5．已知集合A含有两个元素a＋3和2a＋1，若3∈A，则实数a的值为________．
5
0或1

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