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第2课时　集合的表示
学习任务 核心素养
1．掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．(重点) 2．能够利用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(难点) 3．在具体情境中，了解空集的含义．(易错点) 1．通过对集合的表示方法的学习，培养数学抽象素养． 2．借助把某些用描述法表示的集合改为列举法表示的过程，培养数学运算素养．
1．集合有哪两种常用表示方法？它们如何定义？
2．列举法的运用条件是什么？如何用符号表示？
3．描述法的运用条件是什么？如何用符号表示？
4．根据集合中元素的多少，集合分为哪几类？
知识点1　列举法
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．
1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示]　用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}． (　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为________．
[答案]　{1，2，3，4}
知识点2　描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．
2．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
[提示]　集合A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1知识点3　集合的分类
1．有限集：含有有限个元素的集合．
2．无限集：含有无限个元素的集合．
3．空集：不含任何元素的集合，记作 ．
3．{0}与 相同吗？
[提示]　 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}与 不相同．
4．下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
[答案]　②③
5．下列集合中，__________是有限集，________是无限集．(填序号)
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
①③　②　[①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．]
知识点4　区间及相关概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，且a集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．无穷大
实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x4．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
6．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3)R＝________；
[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2，3]　(3)(－∞，＋∞)
类型1　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
[解]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
[跟进训练]
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．]
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
[解]　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解]　(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
　描述法表示集合的2个步骤
注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
[跟进训练]
3．用适当的方法表示下列集合：
(1)已知集合P＝{x|x＝2n，0≤n≤2且n∈N}；
(2)方程组的解集．
(3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合．
[解]　(1)列举法：P＝{0，2，4}．
(2)描述法：.
列举法：解方程组
可得或
所以方程组的解集是{(1，－1)，(－2，2)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
类型3　用区间表示集合
【例3】　将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；
(2){x|x≥3}；
(3){x|－1≤x<5}．
[解]　(1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
　区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
[跟进训练]
4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则区间[－2，4]的区间长度为________．
6　[由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6.]
类型4　集合表示法的应用
【例4】　若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解]　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
[母题探究]
1．(变条件)本例中若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
[解]　由题意得
解得k<1，且k≠0.
2．(变条件)本例中若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
[解]　①当集合A中含有1个元素时，由例4知，k＝0或k＝1；
②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即
解得k>1.
综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
　集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
[解]　由A＝{2，3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验，每年，家有即将幼升小的孩子的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位又如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2017年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2023年的入学顺位可以参考2022年公布的入学顺位说明：
第一顺序：本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第二顺序：房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口；
第三顺序：本片区户口＋‘四老’房屋产权；
第四顺序：本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第五顺序：七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第六顺序：本片区户口＋军产房或部队证明及住房；
第七顺序：本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权．
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，试用描述法表示该集合．
[提示]　A＝{x|x具有本片区户口且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或房屋产权所有人是儿童本人或其父或母且具有本市户口，或具有本片区户口且有“四老”房屋产权，或具有本片区集体户口且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或是七类人且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或具有本片区户口且有军产房或部队证明及住房，或具有本片区户口及“(外)曾祖父”房屋产权}．
2．某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示]　a不一定是集合A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
3．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示]　b不一定是集合A中的元素，因为b不一定具有本片区户口，或不一定具有本市户口或不一定具有本片区集体户口或不一定是七类人．
1．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1，－1}
D．实数集可表示为R
D　[A中应是xy<0，B中应为{x|x<5}，C中集合应为{－1}，故选D.]
2．区间(－3，2]用集合可表示为(　　)
A．{－2，－1，0，1，2} 　 B．{x|－3C．{x|－3C　[由区间和集合的关系可得，区间(－3，2]可表示为{x|－33．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[的元素是x＝2，故选B.]
4．方程组的解集可表示为________(填序号)．
①；②；
③{1，2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}．
①②④　[原方程组的解为其解集中只含有一个元素，可表示为①②④.]
5．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝________．
4　[因为A与B的元素相同，所以即a＝2，b＝2.故a＋b＝4.]
课时分层作业(二)　集合的表示
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x<2}
D．{1，2}与{2，1}是不同的集合
A　[{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以 {x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．]
2．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为(　　)
A．{－1≤x≤8}
B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8}
D．{x∈N|－1≤x≤8}
C　[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}．故选C.]
3．方程组的解集是(　　)
A．(－5，4) 　 B．(5，－4)
C．{(－5，4)} 　 D．{(5，－4)}
D　[解方程组得故解集为{(5，－4)}.故选D.]
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A 　 B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B 　 D．x1＋x2＋x3∈A
D　[∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．]
5．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
D　[本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D.]
二、填空题
6．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
{4，9，16}　[由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4，9，16}．]
7．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A与B所含的元素完全相同，则实数a＝________．
1　[由集合A与B所含元素完全相同，可得解得a＝1.]
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．
{1，3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．]
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
[解]　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11．可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来；
(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，－3x＋2＝0，解得x＝，此时A中仅有一个元素，符合题意，
当a≠0时，Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时方程为x2－3x＋2＝0，
即(3x－4)2＝0，此时集合A中仅有一个元素.
综上可知，a＝0时，集合A中只有一个元素，
a＝时，集合A中只有一个元素.
(2)若集合A中没有元素，即A＝ ，则解得a＞.
结合(1)知，当a≥或a＝0时，
集合A中至多只有一个元素．
因此实数a的取值范围是{a|a≥或a＝0}．
11．已知集合M＝，则M等于(　　)
A．{2，3} 　 B．{1，2，3，4}
C．{1，2，3，6} 　 D．{－1，2，3，4}
D　[由∈N*知，a＝－1，2，3，4，即M＝{－1，2，3，4}，故选D.]
12．已知x，y为非零实数，则集合M＝用列举法可表示为(　　)
A．{0，3} 　 B．{1，3}
C．{－1，3} 　 D．{1，－3}
C　[当x＞0，y＞0时，m＝1＋1＋1＝3，
当x＞0，y＜0时，m＝1－1－1＝－1，
当x＜0，y＞0时，m＝－1＋1－1＝－1，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.
因此M＝{－1，3}，故选C.]
13．集合可用列举法表示为________．
{1，2，5}　[由－2≤x≤2，x∈Z，得x＝±2，±1或0，当x＝±2时，y＝5，当x＝±1时，y＝2，当x＝0时，y＝1，所以该集合可用列举法表示为{1，2，5}.]
14．已知集合M＝{x|x＝7n＋5，n∈N}，则5________M，2 023________M.
∈　 　[由5＝7×0＋5，2 023＝7×289知，5∈M，2 023 M.]
15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
[解]　(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z) 时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.(共39张PPT)
第2课时　集合的表示
§1　集合
第一章　预备知识
1.1　集合的概念与表示
学习任务 核心素养
1．掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．(重点)
2．能够利用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(难点)
3．在具体情境中，了解空集的含义．(易错点) 1．通过对集合的表示方法的学习，培养数学抽象素养．
2．借助把某些用描述法表示的集合改为列举法表示的过程，培养数学运算素养．
第2课时　集合的表示
必备知识·情境导学探新知
1．集合有哪两种常用表示方法？它们如何定义？
2．列举法的运用条件是什么？如何用符号表示？
3．描述法的运用条件是什么？如何用符号表示？
4．根据集合中元素的多少，集合分为哪几类？
知识点1　列举法
把集合中的元素_________出来写在花括号“____”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}．
思考1．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？
[提示]　用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
一一列举
{　}
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}． (　　)
(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　)
体验2．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为____________．
×
×
{1，2，3，4}
知识点2　描述法
通过描述元素__________表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为_________________________，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的________．
思考2．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合吗？
[提示]　集合A＝{x|x－1＝0}＝{1}与集合B表示同一个集合．
满足的条件
{x及x的范围|x满足的条件}
共同特征
体验3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________________，用描述法表示为________________．
{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1{0，1，2，3，4}
{x∈N|－1知识点3　集合的分类
1．有限集：含有____个元素的集合．
2．无限集：含有____个元素的集合．
3．空集：________元素的集合，记作__．
思考3．{0}与 相同吗？
[提示]　不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}与 不相同．
体验4．下列集合中，是空集的为________(填序号)．
①{0}；②{x|x>8且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；
④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．
②③
有限
无限
不含任何

体验5．下列集合中，__________是有限集，________是无限集．(填序号)
①由小于8的正奇数组成的集合；
②由大于5且小于20的实数组成的集合；
③由小于0的自然数组成的集合．
①③
②
①③　②　[①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集．
②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集．
③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集．]
知识点4　区间及相关概念
1．区间的概念及记法
设a，b是两个实数，且a集合表示 名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a2．无穷大
实数集R可以用区间表示为______________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
3．特殊区间的表示
集合表示 符号表示 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b]
{x|x(－∞，＋∞)
思考4．(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？
[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
体验6．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝__________；
(2){x|2(3)R＝_____________；
[1，＋∞)
(2，3]
(－∞，＋∞)
关键能力·合作探究释疑难
类型1　用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合；
(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．
[解]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0，1，－1}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
反思领悟　用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．
√
[跟进训练]
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
B　[集合A＝{(1，2)，(3，4)}中有两个元素(1，2)和(3，4)．]
2．用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B.
[解]　(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)因为方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合；
(2)坐标平面内第一象限的点的集合；
(3)大于4的所有偶数．
[解]　(1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．
反思领悟　描述法表示集合的2个步骤
注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．
类型3　用区间表示集合
【例3】　将下列集合用区间及数轴表示出来：
(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．
[解]　(1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：
(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：
(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1，5)，用数轴表示如下：
反思领悟　区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
[跟进训练]
4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则区间[－2，4]的区间长度为________．
6　[由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6.]
6
类型4　集合表示法的应用
【例4】　若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
[解]　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
[母题探究]
1．(变条件)本例中若集合A中有2个元素，求k的取值范围．
2．(变条件)本例中若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围．
反思领悟　集合与方程综合问题的解题策略
(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0，b≠0时，方程有一个解；当a≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．
(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
[跟进训练]
5．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．
阅读材料·拓展数学大视野
以实际问题为背景的集合问题(材料型)
幼升小不仅是对孩子的考察，更是对家长的一次考验，每年，家有即将幼升小的孩子的家长们，最关心的就是自家的娃能否进入心心念念的学校，所在区的招生是更看中户口还是房子？入学顺位又如何呢？某市东城区今年率先发布了幼升小入学政策：
1．本市户籍适龄儿童入学．凡年满6周岁(2017年8月31日以前出生)的具有东城区常住户口及东城区房屋产权证(监护人持有)的适龄儿童均需参加学龄人口信息采集，免试就近登记入学．
2．非东城区户籍无房家庭，长期在东城区工作、居住，符合在东城区同一地址承租并实际居住3年以上且在住房租赁监管平台登记备案、夫妻一方在东城区合法稳定就业3年以上等条件的本市非东城区户籍无房家庭适龄子女，需要在东城区接受义务教育的，参加信息采集，通过五证审核后，通过电脑派位在东城区内多校划片入学．
该市东城区2023年的入学顺位可以参考2022年公布的入学顺位说明：
第一顺序：本片区户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第二顺序：房屋产权所有人是儿童本人或其父或母＋本市户口；
第三顺序：本片区户口＋‘四老’房屋产权；
第四顺序：本片区集体户口＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第五顺序：七类人＋房屋产权所有人是儿童本人或其父或母；
第六顺序：本片区户口＋军产房或部队证明及住房；
第七顺序：本片户口＋‘(外)曾祖父’房屋产权．
1．若在东城区满足入学条件的儿童作为一个集合A，试用描述法表示该集合．
[提示]　A＝{x|x具有本片区户口且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或房屋产权所有人是儿童本人或其父或母且具有本市户口，或具有本片区户口且有“四老”房屋产权，或具有本片区集体户口且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或是七类人且房屋产权所有人是儿童本人或其父或母，或具有本片区户口且有军产房或部队证明及住房，或具有本片区户口及“(外)曾祖父”房屋产权}．
2．某儿童a具有该市户口(非本区)，a是集合A的元素吗？
[提示]　a不一定是集合A中的元素，由于a不是东城区户口，还需满足房屋产权所有人为儿童本人或其父或母．
3．某儿童b的父母在东城区有房屋产权，b是集合A中的元素吗？
[提示]　b不一定是集合A中的元素，因为b不一定具有本片区户口，或不一定具有本市户口或不一定具有本片区集体户口或不一定是七类人．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．下列集合的表示方法正确的是(　　)
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1，－1}
D．实数集可表示为R
D　[A中应是xy<0，B中应为{x|x<5}，C中集合应为{－1}，故选D.]
2
4
3
题号
1
5
2．区间(－3，2]用集合可表示为(　　)
A．{－2，－1，0，1，2} 　 B．{x|－3C．{x|－3√
C　[由区间和集合的关系可得，区间(－3，2]可表示为
{x|－32
4
3
题号
1
5
√
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
①②④
2
4
3
题号
1
5．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝________．
5
4

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