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第2课时　全集与补集
§1　集合
第一章　预备知识
1.3　集合的基本运算
学习任务 核心素养
1．了解全集的含义及符号表示．(重点)
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养．
2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
第2课时　全集与补集
必备知识·情境导学探新知
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“ UA”的含义？
4．如何用Venn图表示 UA？
1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作____，常用符号__表示．全集包含所要研究的这些集合．
思考1．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
[提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
全集
U
2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中__________A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作 UA.
(2)符号： UA＝_______________．
(3)Venn图
(4)补集的性质
①A∪( UA)＝__．
②A∩( UA)＝__．
③ UU＝__， U ＝U， U( UA)＝__．
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
所有不属于
{x|x∈U，且x A}
U


A
思考2． UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示]　A U， UA U，A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R． (　　)
(2)集合 BC与 AC相等． (　　)
(3)A∩ UA＝ ． (　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)
×
×
√
×
体验2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则 UM＝_________．
{2，4，6}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以 UM＝{2，4，6}．]
{2，4，6}
关键能力·合作探究释疑难
类型1　补集运算
【例1】　已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求 UB.
[解]　因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}，
所以 UB＝{x|2反思领悟　求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
√
√
(1)C　(2)D　[(1)因为A＝{1，2，3，4，5，6}，所以 AB＝{1，3，5，6}，故选C.
(2)A＝ U( UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}，
∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D.]
类型2　交、并、补的综合运算
【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
∵ RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2反思领悟　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界是否能够取到．
√
√
类型3　与补集有关的参数值(范围)的求解
【例3】　设全集U＝R，A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解]　法一： UA＝{x|x＋m<0}＝{x|x <－m}，
∵( UA)∩B＝ ，
∴－m≤－2，∴m≥2.
法二：A＝{x|x≥－m}，由( UA)∩B＝ ，得A B，
∴－m≤－2，∴m≥2.
[母题探究]
1．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，求实数m的取值范围．
[解]　由已知得 UA＝{x|x<－m}， UA B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，求实数m的取值范围．
[解]　由已知得，A＝{x|x≥－m}，A B，所以－m≤－2，解得m≥2.
3．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，求实数m的取值范围．
[解]　由例3知，当( UA)∩B＝ 时，m≥2，所以当( UA)∩B≠ 时，m<2.
反思领悟　1．要注意下面五个关系式A∩B＝A，A∪B＝B， UA UB，A∩( UB)＝ ，( UA)∪B＝U都与A B等价．
2．解决此类问题时，可根据集合运算结果，利用Venn图或数轴直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝(　　)
A．U 　 B．{1，3，5}
C．{3，5，6} 　 D．{2，4，6}
2
4
3
题号
1
5
C　[∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴ UM＝{3，5，6}．]
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)
√
2
4
3
题号
1
5
A．{3，4，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，5} 　 D．{3，4}
D　[由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1，2，5}，
又U＝{1，2，3，4，5}，
∴ U(M∪N)＝{3，4}．]
3．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝(　　)
A．{2，3，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，4，5} 　 D．{2，3，4，5}
√
2
4
3
题号
1
5
A　[由题意知， UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪ UM＝{2，3，5}，故选A.]
4．已知全集U＝R，M＝{x|－12
4
3
题号
1
5
{x|x<1，或x≥2}　[∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1{x|x<1，或x≥2}
2
4
3
题号
1
5．已知全集U＝{2，0，3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}， UP＝{－1}，则a＝________．
5
2第2课时　全集与补集
学习任务 核心素养
1．了解全集的含义及符号表示．(重点) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(重点、难点) 3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点) 1．通过补集的运算，培养数学运算素养． 2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“ UA”的含义？
4．如何用Venn图表示 UA？
1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合．
1．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
[提示]　全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
2．补集：(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作 UA.
(2)符号： UA＝{x|x∈U，且x A}．
(3)Venn图
(4)补集的性质
①A∪( UA)＝U．
②A∩( UA)＝ ．
③ UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A．
④( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)．
⑤( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
2． UA，A，U三者之间有什么关系？
[提示]　A U， UA U，A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数集问题的全集一定是R． (　　)
(2)集合 BC与 AC相等． (　　)
(3)A∩ UA＝ ． (　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则 UM＝________．
{2，4，6}　[因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以 UM＝{2，4，6}．]
类型1　补集运算
【例1】　已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求 UB.
[解]　因为A＝{x|23}，如数轴：
所以U＝A∪( UA)＝{x|x>2}，
所以 UB＝{x|2　求集合补集的2种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[跟进训练]
1．(1)设集合A＝，则 AB＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)设全集U＝{1，2，6，8，9}，集合A＝{1，|a－6|，9}， UA＝{6，8}，则a的值是(　　)
A．4 　 B．8
C．－4或8 　 D．4或8
(1)C　(2)D　[(1)因为A＝{1，2，3，4，5，6}，所以 AB＝{1，3，5，6}，故选C.
(2)A＝ U( UA)＝{1，2，9}＝{1，|a－6|，9}，
∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D.]
类型2　交、并、补的综合运算
【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解]　把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，
∵ RA＝{x|x<3，或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2　解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界是否能够取到．
[跟进训练]
2．(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{6，8} 　 B．{5，7}
C．{4，6，7} 　 D．{1，3，5，6，8}
(2)设集合A＝{x|1A．(1，4) 　 B．(3，4)
C．(1，3) 　 D．(1，2)∪(3，4)
(1)A　(2)B　[(1)∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，
∴ U(A∪B)＝{6，8}．
(2)∵ RB＝，∴A∩( RB)＝(3，4)．]
类型3　与补集有关的参数值(范围)的求解
【例3】　设全集U＝R，A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2[解]　法一： UA＝{x|x＋m<0}＝{x|x<－m}，
∵( UA)∩B＝ ，
∴－m≤－2，∴m≥2.
法二：A＝{x|x≥－m}，由( UA)∩B＝ ，得A B，
∴－m≤－2，∴m≥2.
[母题探究]
1．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，求实数m的取值范围．
[解]　由已知得 UA＝{x|x<－m}， UA B，所以－m≥4，解得m≤－4.
2．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，求实数m的取值范围．
[解]　由已知得，A＝{x|x≥－m}，A B，所以－m≤－2，解得m≥2.
3．若将本例中的“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，求实数m的取值范围．
[解]　由例3知，当( UA)∩B＝ 时，m≥2，所以当( UA)∩B≠ 时，m<2.
　1．要注意下面五个关系式A∩B＝A，A∪B＝B， UA UB，A∩( UB)＝ ，( UA)∪B＝U都与A B等价．
2．解决此类问题时，可根据集合运算结果，利用Venn图或数轴直观展示各集合之间的关系，进而列出方程(或不等式)求参数的值(或范围)．
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝(　　)
A．U 　 B．{1，3，5}
C．{3，5，6} 　 D．{2，4，6}
C　[∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴ UM＝{3，5，6}．]
2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)
A．{3，4，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，5} 　 D．{3，4}
D　[由图可知，阴影部分表示的集合是 U(M∪N)．
∵M∪N＝{1，2，5}，
又U＝{1，2，3，4，5}，
∴ U(M∪N)＝{3，4}．]
3．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝(　　)
A．{2，3，5} 　 B．{1，3，4}
C．{1，2，4，5} 　 D．{2，3，4，5}
A　[由题意知， UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}，所以N∪ UM＝{2，3，5}，故选A.]
4．已知全集U＝R，M＝{x|－1{x|x<1，或x≥2}　[∵U＝R， UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0，或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－15．已知全集U＝{2，0，3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}， UP＝{－1}，则a＝________．
2　[由题意知，－1∈U，－1 P.
∴
解得a＝2.]
课时分层作业(五)　全集与补集
一、选择题
1．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x∈A}，则 A(A∩B)＝(　　)
A．{1，4，9} 　 B．{3，4，9}
C．{1，2，3} 　 D．{2，3，5}
D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x∈A}，
所以B＝{1，4，9，16，25，81}，
则A∩B＝{1，4，9}， A(A∩B)＝{2，3，5}．
故选D.]
2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．A∩( UB) 　 B．B∩( UA)
C． U(A∩B) 　 D． U(A∪B)
B　[阴影部分表示A以外的部分与B的交集，故阴影部分表示的集合为B∩( UA)．故选B.]
3．已知集合P＝{x|x>0}，Q＝{x|－1A．{x|x>－1} 　 B．{x|0C．{x|－1C　[因为P＝{x|x>0}，
所以 RP＝{x|x≤0}，
因为Q＝{x|－1所以( RP)∩Q＝{x|－14．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}， UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2 　 B．0
C．1或2 　 D．2
D　[由题意，知则a＝2.]
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} 　 B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} 　 D．{a|a>2}
C　[ RB＝{x|x≤1，或x≥2}，如图所示．
∵A∪( RB)＝R，∴a≥2.]
二、填空题
6．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 ( UA)∪B为________．
{0，2，4}　[∵ UA＝{0，4}，∴( UA)∪B＝{0，2，4}．]
7．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x2　[∵A∪( UA)＝U，
∴A＝{x|1≤x<2}．
∴a＝2.]
8．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1，2}，则实数m＝________．
－3　[∵ UA＝{1，2}，
∴A＝{0，3}，
∴9＋3m＝0，∴m＝－3.]
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1[解]　∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1∵ UB＝{x|x≤－1，或x>3}，
∴( UB)∪P＝，
∴(A∩B)∩( UP)＝{x＝{x|010．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[解]　∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0．①
又∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0．②
联立①②，解得
11．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}， UA＝{5，7}，则a的值是(　　)
A．2 　 B．－2
C．8 　 D．－8
AC　[∵A∪( UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.]
12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩ IM＝ ，则M∪N等于(　　)
A．M 　 B．N
C．I 　 D．
A　[因为N∩ IM＝ ，所以N M(如图)，所以M∪N＝M.
　]
13．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩( UB)＝________，( UA)∩( UB)＝________．
{2，4}　{6}　[∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，
∴ UA＝{1，3，6，7}， UB＝{2，4，6}．
∴A∩( UB)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，
( UA)∩( UB)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}．]
14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店：
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有________种．
①16　②29　[
设第一天售出的商品种类为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品种类为集合B，则B中有13个元素，第三天售出的商品种类为集合C，则C中有18个元素．由于前两天都售出的商品有3种，则A∩B中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则B∩C中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品最多可以有17种．即A∩C中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29(种)．]
15．我们知道，如果集合A U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}.
据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在下列各图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，那么A与B之间具有怎样的关系？
[解]　(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，
UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}．
(2)阴影部分如图所示．
(3)若A－B＝ ，则A B.

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