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4.1　一元二次函数
§4　一元二次函数与一元二次不等式
第一章　预备知识
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次函数的图象及图象变换．(重点)
2．会求一元二次函数的最值及相关问题．(重点、难点) 1．通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
4.1　一元二次函数
必备知识·情境导学探新知
1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？
2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？
1．抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．
2．一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移______个单位长度，再向上(或向下)平移______个单位长度而得到．
|h|
|k|
3．一元二次函数的性质
函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a>0 a<0
图象
性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸

函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a>0 a<0
性质

(2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．
②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．
√
√
×
×
体验2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　)
A．{－3} 　 B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3] 　 D．[－3，＋∞)
C　[由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.]
体验3．函数y＝x2－1的最小值是________．
－1　[y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1.]
√
－1
体验4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到．


关键能力·合作探究释疑难
类型1　二次函数的图象及应用
【例1】　在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何由y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
[解]　列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
反思领悟　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律为：“h正右移，h负左移”；“k正上移，k负下移”．
[跟进训练]
1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？
类型2　一元二次函数图象的应用
【例2】　已知二次函数y＝3x2－2x－1.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间(－1，0)上是递增的还是递减的；
(3)当x取何值时，y＝0
[跟进训练]
2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是(　　)
A．②④ 　 B．①④
C．②③ 　 D．①③
√
类型3　一元二次函数解析式的求法
【例3】　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式．
反思领悟　求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0．)．
[跟进训练]
3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；
(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．
类型4　一元二次函数在闭区间上的最值问题
角度1　轴定区间定
【例4】　求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
[解]　函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0，3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0，3]上，如图所示．在区间[0，3]上，函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0处取得最小值，即ymin＝－2.
角度2　轴定区间变
【例5】　如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值．
[解]　函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上．
如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1.
如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1.
如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1.
角度3　轴变区间定
【例6】　求函数y＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值．
(3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1.
反思领悟　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴．
(2)判断对称轴与区间的关系．
(3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
[跟进训练]
4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．

学习效果·课堂评估夯基础
2
4
3
题号
1
5
×
√
√
×
2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　)
A．(－1，4) 　 B．(－1，－4)
C．(1，－4) 　 D．(1，4)
√
2
4
3
题号
1
5
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
√
2
4
3
题号
1
5
A　　　B　　　C　　　　D
D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]
4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．
2
4
3
题号
1
5
2　
2
4
3
题号
1
5．已知某二次函数的图象与x轴交于点A(－2，0)，点B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为______________．
5
y＝x2＋x－2§4　一元二次函数与一元二次不等式
4.1　一元二次函数
学习任务 核心素养
1．掌握一元二次函数的图象及图象变换．(重点) 2．会求一元二次函数的最值及相关问题．(重点、难点) 1．通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？
2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、单调区间和最值？
1．抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线．
2．一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到．
3．一元二次函数的性质
函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a>0 a<0
图象
性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴是x＝；顶点坐标是
性质 在区间上y随x的增大而减小，在区间上y随x的增大而增大 在区间上y随x的增大而增大，在区间上y随x的增大而减小
抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 抛物线有最高点，当x＝时，y有最大值，ymax＝
(1)如何把一元二次函数的一般式化成顶点式？
(2)①能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝的图象？
②一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？
[提示]　(1)y＝ax2＋bx＋c＝a＋c
＝a＋c
＝a＋c＝a－＋c
＝a＋.
(2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同．
②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反． (　　)
(2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． (　　)
(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大． (　　)
(4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　)
A．{－3} 　 B．(－3，＋∞)
C．(－∞，－3] 　 D．[－3，＋∞)
C　[由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3.]
3．函数y＝x2－1的最小值是________．
－1　[y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1.]
4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到．
　[y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即得到y＝x2＋2x＋3的图象．]
类型1　二次函数的图象及应用
【例1】　在同一坐标系中作出下列函数的图象．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何由y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．
[解]　列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．
法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象．
　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律为：“h正右移，h负左移”；“k正上移，k负下移”．
[跟进训练]
1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？
[解]　∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，
故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象，
然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象，
最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图象．
类型2　一元二次函数图象的应用
【例2】　已知二次函数y＝3x2－2x－1.
(1)求其顶点坐标；
(2)判断其在区间(－1，0)上是递增的还是递减的；
(3)当x取何值时，y＝0
[解]　(1)配方得y＝3x2－2x－1＝3，
所以其顶点坐标为.
(2)由于该函数在区间上是递减的，且(－1，0) ，所以该函数在区间(－1，0)上也是递减的．
(3)y＝0，即3x2－2x－1＝0，
解得x＝1或－，
所以，当x＝1或－时，y＝0.
　观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意函数与x轴的交点、函数的单调性(后面学到)等．
[跟进训练]
2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正确的是(　　)
A．②④ 　 B．①④
C．②③ 　 D．①③
B　[因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a类型3　一元二次函数解析式的求法
【例3】　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式．
[解]　法一(利用一般式)：
设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设y＝a(x－m)2＋n.
∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意知函数有最大值8，
∴n＝8.
∴y＝a＋8.
又抛物线过点(2，－1)，
∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
　求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0．)．
[跟进训练]
3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)；
(3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)．
[解]　(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题设知
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)．
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2x2－4x＋4.
(3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)，
整理得y＝ax2－6ax＋8a，
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)．
类型4　一元二次函数在闭区间上的最值问题
　轴定区间定
【例4】　求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
[解]　
函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0，3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0，3]上，如图所示．在区间[0，3]上，函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0处取得最小值，即ymin＝－2.
　轴定区间变
【例5】　如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值．
[解]　函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上．
如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值ymin＝(t－1)2＋1.
如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数取得最小值ymin＝1.
如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数取得最小值ymin＝t2＋1.
图①　　　　图②　　　　图③
综上可知，ymin＝
　轴变区间定
【例6】　求函数y＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值．
[解]　函数y＝－＋图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论．
(1)当a<－2时，函数大致图象如图①所示，由图可知ymax＝－a－1；
(2)当－2≤a≤2时，函数大致图象如图②所示，由图可知ymax＝；
(3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1.
图①　　　　图②　　　　图③
∴ymax＝
　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴．
(2)判断对称轴与区间的关系．
(3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
[跟进训练]
4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________．
　[由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0，知0≤y≤，
令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，∴t＝3＋.
其在上，函数值t随自变量y的增大而减小，当y＝时，t取到最小值，tmin＝.]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数． (　　)
(2)函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交． (　　)
(3)二次函数y＝2x2与y＝2(x＋1)2的图象形状相同，位置不同． (　　)
(4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　)
A．(－1，4) 　 B．(－1，－4)
C．(1，－4) 　 D．(1，4)
[答案]　D
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)
A　　　B　　　C　　　　D
D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.]
4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________．
2　[因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.]
5．已知某二次函数的图象与x轴交于点A(－2，0)，点B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为_______．
[答案]　y＝x2＋x－2
课时分层作业(十)　一元二次函数
一、选择题
1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1(　　)
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D　[要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．]
2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为(　　)
A． 　 B．－
C．± 　 D．±2
C　[由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±.]
3．函数y＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　)
A．(2，4)，x＝2 　 B．(1，5)，x＝1
C．(5，1)，x＝1 　 D．(1，5)，x＝5
B　[y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1.]
4．设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是　(　　)
A　　　　B　　　　C　　　D
D　[由ACD知，c＜0，
∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求；由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．]
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 　 B．45.56万元
C．45.6万元 　 D．45.51万元
C　[设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为直线x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值45.6万元．]
二、填空题
6．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________．
10　[y＝－x2＋4x＋6＝－＋10，
当x＝2时，y取得最大值10.]
7．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点之间的距离为________．
4　[设二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点的坐标分别为，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－1，
所以＝＝＝4.]
8．若y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________．
6　[由题意知a＋2＝－2，
即a＝－4，
又1－a＝b－1，得b＝6.]
三、解答题
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．
[解]　法一：将A(－3，0)，代入函数y＝ax2＋bx＋c中，
有9a－3b＋c＝0，①
由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②
顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③
联立①②③解得或
所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
法二：因为二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，
故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.
因为图象过点A(－3，0)，
所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.
法三：因为二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，
又图象过点A(－3，0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1，0)也在图象上，
所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．
由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)，
分别代入上式，
解得a＝－或a＝.
故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.
10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b与c.
[解]　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1，0)平移至(3，－3)处．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．
即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，
所以a＝1，b＝－6，c＝6.
11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　)
A　　 　B　　　 C　　　　D
[答案]　D
12．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，1] 　 B．[0，2]
C．[－2，0] 　 D．[－1，0]
D　[y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0，1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，
即－1≤a≤0.]
13．如果一元二次函数y＝x2－(a－1)x＋5在区间上y随x的增大而增大，则实数a的取值范围为________．
(－∞，2]　[∵函数y＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为直线x＝且在区间上y随x的增大而增大，
∴，即a≤2.]
14．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，则a的值为________．
2或－1　[y＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a>1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a<0时，ymax＝1－a.根据已知条件得或或解得a＝2或a＝－1.]
15．是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1，1]上的取值范围为[－2，2] ？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
[解]　存在，理由如下，y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2.
当a<－1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而增大，
∴
解得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，
解得a＝－1；
当0a不存在；
当a>1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而减小，
∴a不存在．
综上可知存在实数a，且a＝－1满足题意．

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