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*5.3.1复数的三角表示式
北师大版（2019）必修第二册
第五章 复数
学习目标
了解复数三角表示式的推导过程，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化；
02
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；
01
知识回顾
复数的几何意义是什么？
（1）复数????=????+????i一一对应复平面内点????(????，????)?；
?
（2）复数????=????+????i一一对应平面向量????????=(????，????)
?
知识探究
问题 向量可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析下图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？
a
b
Z
θ
r
应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量 ???????? 的大小可以用复数的模 r 来表示，向量 ???????? 的方向可以借助角 ???? 来表示．
?
角 ???? 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 ???????? 所在射线(射线OZ)为终边的角．
?
为了解决问题，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角 ???? 呢？
?
知识探究
问题 向量可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析下图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？
a
b
Z
θ
r
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ????＝????2+????2
?
由图象可得 ????=????cos????????=????sin????
?
因此 ????＝????+????i=????cos????+i????sin????=????(cos????+isin????)
?
cos????=????????，sin????=????????
?
其中
思考①：刚才我们画的图形中，角 ???? 的终边落在第一象限，得到 a+bi=?????(cos????+isin????)，这个式子是否具有一般性呢？即若角 ???? 的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？
?
思考②：若点 Z 在实轴或虚轴上，即角 ???? 的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？
?
a
b
Z
θ
r
改变平面向量????????的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角????的终边落在什么位置，都有：????+????i=????(cos????+isin????)
?
知识探究
复数的三角表示式
a
b
z=a＋bi
r
θ
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cosθ+isinθ) 的形式．
r 是复数 z 的模；
θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 ????????所在射线为终边的角，
叫做复数z＝a＋bi的辐角；
?
其中：
a＋bi 叫做复数 z 的代数表示式，简称代数形式；
辐角
模
r(cosθ＋isinθ) 叫做复数z的三角表示式，简称三角形式；
知识探究
问题：一个复数的辐角的值有多少个？
问题：这些辐角的值之间有什么关系呢？
问题：若复数为0，它的辐角是哪个角？
a
b
z=a＋bi
r
θ
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值．
这些值相差2π的整数倍．
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的．
知识探究
问题 在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在 0≤θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
我们规定：在 0≤θ<2π 范围内的辐角 θ 的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
知识探究
问题 两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？

两个复数相等
? 两个复数对应的向量相同
? 两个向量的长度相等且方向相同
问题 两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？

两个复数相等
? 两个复数对应的向量相同
? 两个向量的长度相等且方向相同
? 两个复数的模相等且辐角主值相等
知识探究
显然，当 a＞0时，
arg ????=0；arg (?????)=π；arg (????i)=π2；arg (?????i)=3π2
如果 ????＝0，那么与它对应的向量 ???????? 缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.
?
例 判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)１2(sin5π12+icos5π12)； (2)?１2(sinπ3+icosπ3) ．
?
解：（1）不是三角形式，三角形式应满足 cos???? 在前，sin???? 在后．
表示为三角形式为：１2(cosπ12+isinπ12) ．
?
（2）不是三角形式，三角形式应满足r=????2+????2≥0且cos????在前，sin????在后．
表示为三角形式为：?１2(sinπ3+icosπ3)=12?12?32i=12(cos4π3+isin4π3) ．
?
例1 请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
1 3+i ； 2 1?i ； 3 ?1
?
解：(1)复数3+i 对应的向量如图所示：
?
于是3+i=232+12i=2cosπ6+isinπ6.
?
则????=32+12=2，cos????=32，sin????=12.
?
因为与3+i对应的点在第一象限，
?
所以arg3+i=π6.
?
例1 请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
1 3+i ； 2 1?i ； 3 ?1
?
解：(2)复数1?i 对应的向量如图所示：
?
于是1?i=2?cos7π4+isin7π4.
?
则????=12+?12= 2?，cos????=22，sin????=?22.
?
因为与1?i对应的点在第四象限，
?
所以arg1?i=7π4.
?
例1 请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
1 3+i ； 2 1?i ； 3 ?1
?
解：(3)复数?1 对应的向量如图所示：
?
于是?1=?1+0i=cosπ+isinπ.
?
则????=?12+02 ?= 1，cos????=?1，sin????=0.
?
因为与?1对应的点在 x 轴负半轴上，
?
所以arg?1=π.
?
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