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5.2.2复数的乘法与除法
北师大版（2019）必修第二册
第五章 复数
学习目标
理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
02
掌握复数代数形式的乘法和除法运算，能够运用法则求两个复数的积与商．
01
复习引入
复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？
填空.
（1）(a±b)2＝ ；
（2）(a＋b)(a－b)＝ ；
（3）(a＋b)(c＋d)＝ .
a2±2ab＋b2
a2－b2
ac＋ad＋bc＋bd
知识探究
问题 类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2，
∵i2＝－1，∴z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
复数的乘法：
实部是“实×实－虚×虚”；虚部是“实×虚＋虚×实”
知识探究
追问1：两个复数的积是个什么数？它的值唯一确定吗？
通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定．
追问2：当都是实数时，复数乘法的运算法则与实数乘法法则一致吗？
根据法则，当b=0，d =0时，都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致
复数的乘法：
追问3：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法？
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可．
例5 计算：；
解：（1）(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i
＝－6－2i－3i－i2
＝－6－2i－3i＋1
＝－5－5i；
例6 计算：
解：原式
．
问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．
知识探究
(1)结合律：对任意的，，有；
证明．
，
同理可得：
，∴．
复数的乘法满足结合律
问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．
知识探究
(2)交换律：对任意的，，有；
证明∵
又，，
∴．
复数的乘法满足交换律
问题 类比实数的运算律，你认为复数乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想．
知识探究
(3)乘法对加法的分配律：对任意的，，有；
证明
∴．
复数的乘法满足分配律
知识探究
问题 如何定义复数的乘方运算呢？
，，，．
计算，，，，…以此类推，你发现了什么规律？
对于复数，定义它的乘方…．
根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，
即对复数，，和正整数，有：
，，．
例7 计算：，．
复数的乘方运算规律与实数的一致.
解：
；
．
例8 计算：，，，.
解：
例9 求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，．
解：使用配方法容易得到：
，则
例9 求一元二次方程在复数范围内的根，，并验证，．
，则
综上所述，一元二次方程在复数范围内的根，都满足
思考交流：计算下列各式，你发现其中有什么规律吗？请将你概括出的规律与同学交流，并证明.
解：(1)；
(2)；
(3)
(4)
(1)； (2)；
(3)(4)
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．
即若 ，则
例10 证明：对任意的两个复数，若，则至少有一个为．
互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数（或其共轭复数）模的平方.
解：设则，的共轭复数．
将的左右两边同时乘，得，
即．
因为所以．
问题：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．
知识探究
给定复数，若存在复数 ，使得 ，则称 是 的倒数，记作
设和，
则，
所以的倒数
（这里要求不能同时为0，即）
问题：我们利用复数的减法是复数加法的逆运算，由复数的加法法则，推导出了复数的减法法则．同样，复数的除法是乘法的逆运算，尝试利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则．
知识探究
对任意的复数和非零复数，规定复数的除法：，即除以一个复数，等于乘这个复数的倒数因此
在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母的共轭复数，化简后就得到上面的结果：
由此可见，在进行复数除法运算是，实际上是将分母“实数化”
例11 计算：；；．
把分子和分母同乘分母的共轭复数，将分母“实数化”.
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A
C
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B
C
B
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