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5.2.1复数的加法与减法
北师大版（2019）必修第二册
第五章 复数
学习目标
了解复数的加法运算的交换律、结合律；
02
学会复数代数形式的加减运算法则，能够运用法则求两个复数的和与差；
01
了解复数加法运算、减法运算的几何意义．
03
复习引入
我们为了解决类似 ????2+1=0 在实数范围无解的问题，引入了虚数单位 i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.因此学习到一类新的数——复数.
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还记得复数的概念吗？
i 叫做虚数单位
虚部
实部
一般地，研究完一类新数的概念后，就要开始研究数的运算问题.我们知道实数有加减法，那么复数是否也有加减法呢？
知识探究
问题1 对任意两个复数 ????1=a＋bi 和 ?????2=c＋di(a，b，c，d∈R) ，我们希望它们的和仍然是一个复数，并且保持实数的运算律. 想一想复数如何进行加法运算？
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分析：????1+????2=a＋bi＋c＋di
?
期望加法结合律成立，故
由于期望乘法对加法满足分配律，故
????1+????2=(????+????)+(????i+????i)
?
????1+????2=(????+????)+(????+????)i
?
复数的加法法则
设????1=????+????i，?????2=????+????i（????，????，????，????∈????）是任意两个复数，
则????1+????2=(????+????)+(????+????)i
?
知识探究
追问1：两个复数的和是复数吗，它的值唯一确定吗？
两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加.
追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？
当b=0，d =0时，复数的加法与实数加法法则一致.
(????+????i)+(????+????i)=(????+????)+(????+????)i
?
追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，类似于实数运算中的合并同类项.
知识探究
问题2 复数的加法已得到，那么复数是否有减法呢？实数的减法是通过引入实数的相反数得到的，类似地，能否通过引入复数的相反数来定义复数的减法呢？
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，
我们通过引入相反数来定义复数的减法．
设 ????2=????+????i 的相反数是 ????=????+????i????，????，????，????∈????，
则????+????+????+????i=0，解得????=?????，????=?????，即????=??????????i=?????+????i=??????2.
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如何表示一个复数?(如????2=????+????i)?的相反数？
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复数的相反数
给定复数????2，若存在复数????，使得????2+????=0，则称????是????2的相反数，记作????=??????2.
?
复数的减法法则
对任意的复数 ????1=????+????i 和非零复数 ????2=????+????i，规定复数的减法：????1?????2=????1+?????2，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，
也就是：????+????i?????+????i=?????????+?????????i.
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追问1：两个复数的差是复数吗，它的值唯一确定吗？
两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加.
追问2：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，类似于实数运算中的合并同类项.
例1 计算：(?5+3i)+(2?4i)+(23?4i)．
?
解：原式=?5+3i+2?4i+23?4i
=(?5+2)+(3?4)i+(23?4i)
=(?3?i)+(23?4i)
=?3+23+?1?4i
=(?3+23)?5i．
或：原式= (?5+2+23)+3?4??4i
=(?3+23)?5i．
?
实部与实部相加；虚部与虚部相加.
例2 设????=????+????i（????，????∈????），求????+????，?????????．
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解：因为 ????=????+????i，所以 ????=?????????i，
????+????=????+????i+?????????i
=????+????+?????????i=2????，
?????????=????+????i??????????i
=?????????+??????????i=2????i．
?
????和????互为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数.
?
问题3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？
知识探究
1.对任意的????1，????2∈????，有????1+????2=????2 +?????1
?
证明：设????1=????+????i，????2=????+????i（????，????，????，????∈????），
则????1+????2=(????+????)+(????+????)i.
????2+????1=(????+????)+(????+????)i.
因为????+????=????+????，????+????=????+????，
所以????1+????2=????2 +?????1.
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复数的加法满足交换律
问题3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？
知识探究
2.对任意的????1，????2，????3∈????，有????1+????2+????3=????1+?????2+?????3
?
证明：设????1=????+????i，????2=????+????i，????3=????+????i（????，????，????，????，????，????∈????），
????1+????2+????3=????+????+(????+????)i+????+????i=????+????+????+????+????+????i，
????1+?????2+?????3 = ????+????i+(????+????)+(????+????)i=????+????+????+????+????+????i，
所以????1+????2+????3=????1+?????2+?????3.
?
复数的加法满足结合律
问题4 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系．而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
知识探究
解：如图????1=????+????i，????2=????+????i（????，????，????，????∈????）分别与向量????????1=(????,????)，????????2=(????,????)对应．
由平面向量的坐标运算法则，得
????????1+????????2=(????+????,????+????).
而????1+????2=(????+????)+(????+????)i.
?
这说明两个向量????????1与????????2的和就是与复数(????+????)+(????+????)i 对应的向量.
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O
x
y
????1(????,????)
?
????2(????,????)
?
????
?
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
具体如下：①若向量????????1与????????2在同一条直线上，如左图，平移向量????????1，使表示向量????????2的有向线段的起点与点 ????2 重合，终点到达点 Z 的位置，则向量????????对应的复数即为复数????+????i与 ????+????i 的和.
?
知识探究
O
x
y
????1
?
????2(????)
?
????
?
②若向量????????1与????????2在不同一条直线上，如右图，以表示这两个向量的有向线段为邻边作平行四边形????????1????????2，则这个平行四边形的对角线 ???????? 所表示的向量 ???????? 对应的复数即为复数????+????i与????+????i 的和
?
O
x
y
????1(????,????)
?
????2(????,????)
?
????
?
类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
知识探究
O
x
y
????1(????,????)
?
????2(????,????)
?
????1?????2
?
解：如图????1=????+????i，????2=????+????i（????，????，????，????∈????）分别与向量????????1=(????,????)，????????2=(????,????)对应．
由平面向量的坐标运算法则，得
????????1+????????2=(?????????,?????????)，
而????1?????2=(?????????)+(?????????)i.
?
这说明两个向量????????1与????????2的差就是与复数 (?????????)+(?????????)i 对应的向量.
?
因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
具体如下：①若向量????????1与????????2在同一条直线上，如左图，则向量????1????2 对应的复数即为复数????+????i与 ????+????i 的差.
?
知识探究
O
x
y
????1
?
????2(????)
?
②若向量????????1与????????2在不同一条直线上，如右图，连接 ????2????1，作????????=????2????1，则????2????1(????????)对应的复数即为复数????+????i与????+????i 的差
?
O
x
y
????1(????,????)
?
????2(????,????)
?
????1?????2
?
????
?
(1)复数的减法满足向量减法的三角形法则.
知识剖析
(2)复数减法的几何意义可简单叙述为：连接两个复数对应的向量 (起点相同的有向线段)的终点，方向指向表示被减向量的有向线段的终点，得到的向量，就是两个复数的差对应的向量.
(3)若用 d 表示平面内点 ????1 和 ????2 之间的距离，则????=????1????2=????2?????1，其中????1，????2 分别是复平面内的两点????1，????2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
?
例4 已知向量 ???????? 对应的复数是 ????=?2+23i，请计算 ????+?2?i的结果，并给出几何解释．
?
x
O
?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?1
1
2
3
4
y
?1
(?2,?1)
?
????(?2,23)
?
(?4,23?1)
?
解：因为????+?2?i=?2+23i+?2?i
=?2?2+23?1i
=?4+23?1i．
如图，这两个复数的和与相应的两个向量的和相对应．
?
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D
C
B
D
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