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6.5.2平面与平面垂直
北师大版（2019）必修第二册
第六章 立体几何初步
学习目标
理解两平面垂直的定义，掌握面面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题.
02
理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的平面角.
01
掌握面面垂直的判定定理，并能利用定理解决相关问题.
03
掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系.
04
知识引入
观察下列各组图片，这些图片都给我们什么样的印象呢？
平面与平面相交
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面.
知识探究
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.
如图，以直线AB（l）为棱、半平面为面的二面角，记作二面角或.
知识探究
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的
两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角.
如图中的∠AOB就是二面角的平面角.
思考1：∠AOB 的大小与点 O 在棱 l 上的位置有关吗？为什么？
根据空间等角定理，∠AOB 的大小与点 O 在棱 l 上的位置无关．
思考2：当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少度？
当二面角的两个面合成一个平面时二面角的大小为多少度？
二面角的平面角 θ 的取值范围为0°≤θ≤180°．
知识探究
平面角是直角的二面角称为直二面角.
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
平面α与β垂直，记作：α⊥β.
画两个互相垂直的平面时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
例5 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0.1 m）
解：如图，设 DH 垂直于过 BC 的水平面，点 H 为垂足，线段 DH 的长度就是所求的高度.
在平面 DBC 内，过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 G，
连接 GH.
因为 DH⊥平面 BCH，BC 平面 BCH，所以DH⊥BC.
H
G
又DG∩DH＝D，DG，DH 平面DGH，所以BC⊥平面DGH.
例5 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100 m后升高多少米？（精确到0.1 m）
H
G
又因为，所以.
因此，∠DGH就是坡面 DGC 与水平平面 BCH 所成的二面角的平面角，
∠DGH60°.
由此得
即沿直道前进100 m，升高约43.3 m.
知识探究
问题：在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画？
l
不妨设黑板所在平面为 ，地面所在平面为 ，它们的交线为l. 显然，.
m
在平面 内作直线m⊥l，则m⊥.
知识探究
问题：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？
平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？
垂直
D1D
其它与AD垂直的直线
知识探究
已知：
求证：.
C
M
N
A
B
证明：在平面内作直线BC⊥MN，
则∠ABC是二面角的平面角.
因为，
所以∠ABC=90°，即AB⊥BC.
又，
从而.
知识探究
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
符号语言
M
N
A
B
若，则.
①
②
③
缺一不可
面面垂直 线面垂直
(线是指一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)
例6 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，
判断MN与AB的位置关系，并说明理由.
解：由题意可知，，交线为BC.
因为，且，
所以.
又，
从而.
例7 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
已知：如图， 求证：
证明：
假设，如图，设，过点在平面内作直线.
根据面面垂直的性质定理，.
已知，这与“过一点只有一条直线与平面垂直”矛盾，所以不成立.
即.
n
c
知识探究
问题：事实上，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查墙面是否与水平平面垂直.系有铅锤的线是垂直于水平面的，如果系有铅锤的线紧贴墙面，就说明墙面垂直于水平面. 这种判断方法的理论依据是什么？
猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
尝试证明
知识探究
已知：如图，.
求证：
证明：
假设，
因为，所以.
在平面内过点B作直线，
则∠ABC是二面角的平面角.
而，故是直二面角，
所以.
知识探究
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，
那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
线面垂直 面面垂直
现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直.
例8 如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形.
求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD.
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
证明：
由四边形BB1C1C是矩形，得.
同理可得.
又，，
因此.
又，
于是.
这说明侧面是矩形的棱柱是直棱柱，直棱柱的侧面都垂直于底面.
例9 如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB.
（1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.
A
B
C
A1
解：（1）由A1A⊥平面ABC，A1A 平面A1AB，得平面A1AB⊥平面ABC，
同理可得平面A1AC⊥平面ABC.
因为A1A⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1A⊥BC.
又因为AB⊥BC，A1A 平面A1AB，AB 平面A1AB，A1A∩AB＝A，
所以BC⊥平面A1AB，
由BC 平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB.
于是四面体A1-ABC中有3组互相垂直的平面，
分别是平面A1AB⊥平面ABC，平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB.
例9 如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB.
（1）四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？
（2）求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小.
A
B
C
A1
（2）由（1）知平面A1BC⊥平面A1AB，
所以二面角A-A1B-C为90°.
由BC⊥平面A1AB，得A1B⊥BC，
又AB⊥BC，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角.
在Rt△A1AB中，AA1＝AB，则∠A1BA＝45°，即二面角A1-BC-A为45°.
我们知道，可以通过直线与直线垂直判定直线与平面垂直；可以通过直线与平面垂直的定义得到直线与直线垂直；可以通过直线与平面垂直判定平面与平面垂直；同时平面与平面垂直的性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直.这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法.
线面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直的判定
线面垂直的定义
面面垂直的判定
面面垂直的性质
当堂检测
D
C
D
D
③
感谢您的聆听与指导
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