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第7章 万有引力与宇宙航行
第 3 节 万有引力理论的成就
在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对与地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
思考与讨论
1、内容:
2、公式：
　　r：质点(球心)间的距离
引力常量：G=6.67×10－11 N·m2/kg2
3、条件:质点或均质球体
4、理解:普遍性、相互性、宏观性、
m2
m1
F
F
r
万 有 引 力 定 律
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.
思考：由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力，那么重力和万有引力是什么关系呢
如图所示，人分别站在地球(地球可视为规则的球体)的北极处(位置A)、北半球某位置(位置B)、赤道上某位置(位置C)。
(1)同一个人在地球不同位置受到的万有引力大小是否相等？
(2)人在地球上随地球自转所需的向心力来源是什么？人在A、B、C三位置需要的向心力大小、方向是否相同？
(3)人在A、B、C三位置的重力与万有引力有何关系？
与地球保持相对静止的在赤道地面上的物体，若考虑地球自转的影响
Fw
FN
????引?????????=????????2????
?
从地球外看，由牛顿第二定律得：
在地面上看，物体静止则有：
由以上两式可得：
????引=????????1+????????2????
?
ω
可以看出：
????引>????????1
?
（1）.在赤道上
1纬度对重力影响
Fw
FN
????引?????????=0
?
从地球外看，由牛顿第二定律得：
在地面上看，物体静止则有：
由以上两式可得：
????引=????????2
?
ω
由此可以看出，物体的重力随纬度的升高而增大。
由于物体的质量是不变的，所以可以得出地球上的重力加速度随纬度的升高而增大。
（2）在两极处。
Fw
G
F向
与地球保持相对静止的在任意纬度处地面上的物体，若考虑地球自转的影响
重力是万有引力的一个分力，方向是竖直向下，不是指向地心的。
（3）任意纬度处
综上分析可知,随着纬度的升高,物体随地球自转的向心加速度逐渐减小,重力逐渐增大。
思考： 根据所学的知识你能解释为什么可以不考虑地球自转的影响呢？
结论：向心力远小于重力，万有引力大小近似等于重力。因此一般粗略计算中不考虑（或忽略）地球自转的影响。
试求：质量为1kg的物体静止在赤道上时的向心加速度。（已知地球半径R=6.4×106m)
答案： ????=????2????=0.034m/s2
?
2.高度对重力的影响(不考虑地球自转)
(1)在地球表面:
mg= ????MmR2?
?
(2)在距地面高h处:
(3)g和gh的关系:?
mgh= ????Mm(R+h)2
?
?→离地面高h处的重力加速度gh= GM(R+h)2??
?
高度h越大,重力加速度gh越小。
ghg?= RR+h2
?
?→地球表面的重力加速度g= GMR2??
?
知识拓展????黄金代换式——gR2=GM
由于物体随地球自转需要的向心加速度很小,一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此不考虑地球自转时,在地球表面及表面附近有mg= ????MmR2??,
化简得gR2=GM。gR2=GM通常叫作黄金代换式,适用于任何天体,在某星体的质量M未知的情况下,可以用该星体的半径和表面的重力加速度表示M。
?
3.深度对重力的影响
万有引力定律有两个重要推论,
推论二:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的引力就等于半径为r的球体对质点的引力。
根据两个推论分析在深度为h的矿井的底部的重力加速度,思路如下:
推论一:在匀质球壳内的任意位置处,质点受到球壳万有引力的合力为零。
?
在地球表面:g=?=?=?πGρR
在矿井底部:g'=?=?=?πGρ(R-h)
可得g'=?g
　1、(多选)(2023·邯郸市高一期中)关于万有引力和重力的关系，下列说法正确的是
A.地面附近的物体所受到的重力就是万有引力
B.若地球自转角速度变大，则赤道上物体所受重力变小
C.物体所受重力方向总是与万有引力方向相同
D.在地球上，万有引力等于重力与向心力的矢量和
√
√
　2、(2024·铜川市高一期中)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为
A.2π?????????????0 B.2π????????0?????
C.2π?????????0???? D.2π????0?????????
?
√
卡文迪什在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球重量的人”。
他“称量”的依据是什么？
(1)原理：对于地球表面的物体,若不考虑地球自转,其所受的重力等于地球对物体的万有引力
若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，
引力常量G，求地球的质量。
R
m
M
????????= G ????????????2
?
→ ????= ????????2????
?
1.地表重力加速度法
(2).推广:
若知道其他天体表面的重力加速度、天体的半径及G值,利用上式可计算出该天体的质量。
(3).密度计算:
????=43????????3
?
M=????????2????
?
????=???????? =3????4π????????
?
R
m
M
1.(2023·湖州市高一期中)如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为
A.????????22h????2 B.2h????2????????2 C.2h????????????2 D.2h????2????????
?
√
物体做自由落体运动有h=12gt2，根据万有引力与重力的关系G????????????2=mg，解得月球的质量为M=2h????2????????2，故选B。
?
2、振奋人心！我国计划2033年载人登陆火星，“火星城市”要来了。已知火星半径为R，火星表面的重力加速度为地球表面的重力加速度的五分之二，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。
求： (1)火星的质量；（2）火星的平均密度。
解：（1）????????????????2=????????火=25????????，解得????=2????????25????
（2）????=????43????????3=3????10????????????
?
思考:太阳是一个火热的球体，我们无法得知其上的重力加速度，那如何来求太阳的质量呢？
地球作圆周运动的向心力是由什么力来提供的？
地球作圆周运动的向心力是由太阳对地球的万有引力来提供的.
r
M
m
F
（1）原理：
r
M
m
F
已知条件：行星(或卫星)环绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径r及其他相关运动参量,如周期(T)或线速度(v)、角速度(ω)等。
Fn=????Mmr2=mrω2= mv2r= 4????2????????T2
?
M= rv2G?= r3ω2G?= 4????2r3GT2
?
2.环绕法
环绕天体围绕中心天体作圆周运动，向心力由中心天体对环绕天体的万有引力来提供
（2）推广:
求解思路：
环绕天体的向心力由中心天体对其万有引力独家提供
具体方法：
????????????????2=????(2????????)2????
?
????=4????2????3????????2
?
提醒注意：
此种方法估算的是中心天体的质量，而非是环绕天体的质量。
中心天体M
环绕天体m
(3).密度计算:
????=4????2????3????????2
?
????=43????????3
?
????=???????? = 3????????3????????2????3
?
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，
r =R
????=3π????????2
?
1.把地球绕太阳的公转看作是匀速圆周运动，轨道半径约为1.5×1011 m，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量约为 kg。
解：地球绕太阳运转的周期:
T=365×24×60×60s=3.15×107s
地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，
????????=4π2????3????????2=4×3.142×(1.5×1011)36.67×10?11×(3.2×107)2≈2×1030kg
?
2.若万有引力常量G值已知，要估算某行星的密度，仅需测出
A．行星表面的重力加速度 B．行星绕恒星运行的周期
C．任意高度处卫星的周期 D．靠近表面飞行的卫星的周期
A．若测出行星表面的重力加速度????，根据
????????????????2=????????，????=????????=????43????????3
可得????=3????4????????????，还需要知道行星的半径????，故A错误。
?
若知道行星绕恒星运行的周期????，
可得????????????????2=????????(2????????)2,????=4????2????3????????2,????=????43????????3=3????????3????????2????3
还要知道行星绕地球运动的轨道半径????及地球的半径????。
但若已知靠近地球表面飞行的卫星的周期时，
则????=????可得????=3????????????2，故BC错误，D正确。
?
√
3．“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想，“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落实验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G．求：（1）月球表面的重力加速度；（2）月球的质量。
解：（1）h=12????????2，得????=2h????2
（2）在月球表面的物体受到的重力
等于万有引力，????????=????????????????2
解得月球的质量????=????????2????=2????2h????????2
?
1.海王星的发现
英国的 和法国的 根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出 的轨道。
亚当斯
勒维耶
海王星
2.冥王星的发现
使用“计算、预测和观察”的方法，近100年来，人们发现了 、阋神星等几个较大的天体。
冥王星
3.预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷计算了哈雷彗星的周期约为 年，并成功预言了其回归的时间。
76
4. 的发现和 的“按时回归”确立了 定律的地位。
海王星
哈雷彗星
万有引力
1.(多选)万有引力理论不仅能够解释已知的事实，更重要的是能够预言未知的现象。下列说法正确的是
A.卡文迪什被称为“可以称量地球质量的人”
B.哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归时间
C.牛顿用月球和太阳对海水的万有引力解释了潮汐现象
D.天王星被称为“笔尖上发现的行星”
√
√
√
观察与思考：太阳系八大行星都绕太阳公转，它们公转周期、线速度、角速度、向心加速度及向心力有何关系呢
r
M
m
F
高轨低速长周期
????????????????2=
?
????????n→
?
????????2????→
?
????????2????→
?
????4π2????2????→
?
????n∝1????2
?
????∝1????
?
????∝1????3
?
????∝????3
?
????n=????????????2→
?
????=????????????→
?
????=????????????3→
?
????=4π2????3????????→
?
忽略地球自转时，mg=G????????????2，整理可得：GM=gR2，当GM未知时，可用gR2替换后进行有关计算，此式被称为“黄金代换公式”
?
有人根据公式v=ωr说：人造地球卫星的轨道半径增大2倍，卫星的速度
也增大2倍。但由公式v=????????地????可知，轨道半径增大时，人造地球卫星的速度是减小的。应当怎样正确理解这个问题？
?
答案　当角速度ω不变时，根据公式v=ωr，轨道半径增大2倍，速度v也增大2倍。但对于人造地球卫星来讲，当轨道半径增大时，角速度会改变。所以第一种说法不正确；因公式v=????????地????中，当轨道半径r增大时，引力常量G和地球质量都不变，因此人造地球卫星的速度减小。
?
思考与讨论：
　1、如图所示，是在同一平面不同轨道上的三颗质量相同的人造地球卫星，均绕地球做匀速圆周运动。关于各物理量的关系，下列说法不正确的是
A.线速度大小vA>vB>vC
B.周期TA>TB>TC
C.向心加速度大小aA>aB>aC
D.角速度ωA>ωB>ωC
√
　2、2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。
(1)求飞船离地面的高度h；
答案　3????????2????24π2-R　
?
(2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？
答案　8+227T
?
M ＝ 4π2????3????????2 → ρ ＝ 3π????3????????2????3
?
万有引力
理论的成就
计算天体的质量
计算天体的密度
发现未知天体
预言哈雷彗星的回归
海王星、阋神星等
mg ＝ G????????????2， M ＝ ????????2????
?
M ＝ ????????2???? → ρ ＝ 3????4π????????
?
G????????????2 ＝ ????4????2????2?????， M ＝ 4????2????3????????2
?
r ＝ ???? → ρ ＝ 3π????????2

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