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3．万有引力理论的成就
[学习任务]　1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
[问题初探]　问题1．如何利用重力加速度“称量”地球的质量？
问题2．如何利用行星的公转周期“称量”太阳的质量？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
　“称量”地球的质量　计算天体的质量
1．“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转的影响。
(2) “称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G ，由此可解得m地＝。
(3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。
2．计算天体的质量
(1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。
(2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。
(3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可以计算出行星的质量m行＝。
1969年7月，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
【问题】
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员能观察到近月卫星的运动，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
提示：(1)能求出地球的质量。利用G ＝mr，求出的质量M＝为中心天体即地球的质量。
(2)不能。由G ＝mr可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。
(3)用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知G ＝mR，故M＝。
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G ，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
G＝mrω2 M＝
G ＝mr M＝
【微提醒】　只能求出中心天体的质量M，不能求出环绕天体的质量m。
2．天体密度的计算
(1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。
(2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。
【典例1】　航天员在半径为R的某星球表面将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h。不计空气阻力，忽略该星球的自转，R远大于h，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度g的大小；
(2)该星球的质量M。
[解析]　(1)根据题意和速度位移关系公式，有
＝2gh
解得该星球表面的重力加速度大小
g＝。
(2)静止在该星球表面的物体，根据重力等于万有引力，有
G＝mg
解得星球的质量
M＝。
[答案]　
【典例2】　(选自人教版教材·利用环绕法计算天体质量)某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103 s，引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，试从这些数据估算地球的质量(结果保留一位有效数字)(　　)
A．6×1020 kg　　　 B．6×1022 kg
C．6×1024 kg D．6×1026 kg
C　[设地球的质量为M，人造地球卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力可得G ＝mr，可得M＝，代入数据解得M≈6×1024 kg，故选C。]
【典例3】　(利用环绕法计算天体质量)中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知空间站绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，求：
(1)空间站的环绕周期T；
(2)地球的质量M。
[解析]　(1)空间站做匀速圆周运动的角速度
ω＝
空间站的环绕周期
T＝
所以T＝。
(2)空间站的轨道半径
r＝
空间站做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
G ＝mω2r
所以地球质量M＝。
[答案]　(1)　(2)
【典例4】　(计算天体的密度)我国嫦娥二号可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要(　　)
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
A　[当测定飞船在月球表面附近的运行周期为T时，设月球半径为R，飞船受到月球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G ＝mR，可得月球的质量M＝，则月球的密度ρ＝，可见月球的密度可以测定，故A正确；测定飞船的环绕半径，即已知月球的半径，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故B错误；测定月球的体积，但月球的质量未知，故无法求出月球的密度，故C错误；测定飞船的速度，由飞船受到月球的万有引力提供向心力，有G ＝m，可得月球的质量M＝，月球的密度为ρ＝，由于月球的半径未知，故无法求出月球的密度，故D错误。]
【典例5】　(重力加速度与天体的密度的计算)2023年9月17日12时13分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十九号卫星发射升空，假设该卫星绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R，引力常量为G ，忽略地球的自转。
(1)若卫星到地心的距离为3R，求该卫星所在处的重力加速度大小。(已知地球表面处的重力加速度大小为g)
(2)若卫星环绕地球的轨道半径为r，在该轨道上环绕周期为T，地球可视为质量分布均匀的球体，求地球的密度。
[解析]　(1) 在地球表面处物体受到的重力等于万有引力
＝mg
在卫星所在处物体受到的重力等于万有引力
＝mg′
解得卫星所在处的重力加速度大小为g′＝g。
(2)根据万有引力提供向心力
＝mr
地球的密度为
ρ＝
解得ρ＝。
[答案]　(1)g　(2)
　求解天体质量和密度时的两种常见误区
(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是围绕中心天体运动的行星(或卫星)的质量。
(2)易出现混淆或乱用天体半径与轨道半径的错误，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如对ρ＝进行错误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
【教用·备选例题】　中国首位航天载荷专家桂海潮在中国空间站观测地球，若他观测得地球的最大张角为θ，观测到相邻两次“日落”的时间为t，简化模型如图所示，引力常量为G ，由此可估算出地球的(　　)
A．质量　　　　 B．半径
C．平均密度 D．自转周期
C　[根据张角可以求出空间站的轨道半径r＝，根据观测到相邻两次“日落”的时间可以求出空间站的公转周期，不能求地球自转周期，且地球半径未知，故无法求出地球质量，故A、B、D错误；根据观测到相邻两次“日落”的时间可知空间站的公转周期为t，根据，M＝ρV，V＝πR3，联立可求出地球的平均密度ρ＝，故C正确。]
　发现未知天体　预言哈雷彗星回归
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据万有引力定律，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为76年。
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
提示：(1)地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
(2)无关。因为在等式G ＝man＝m＝mω2r＝mr 各项中都含有m，可以消掉。
(3)由G ＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知，线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2．常用关系
(1)G ＝man＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略自转时，mg＝G (物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得gR2＝G M，该公式通常被称为“黄金代换式”。
3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G ＝m得v＝，r越大，v越小。
(2)由G ＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G ＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大。
(4)由G ＝man得an＝，r越大，an越小。
【微提醒】　卫星运动情况(a、v 、ω 、T )是由r唯一决定，高轨低速长周期。
【典例6】　(不同轨道上的卫星各物理量的比较)(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同，且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
ABD　[因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，而b所受的万有引力最小，故A正确；由＝man得，an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，C错误；由得，T＝2π，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等，且大于a的周期，B正确；由G ＝m得，v＝，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，D正确。]
【典例7】　(行星公转参量和行星表面重力加速度的比较)2022年9月27日，木星、地球和太阳排在同一直线上，地球位于太阳与木星之间，出现了“木星冲日”现象。地球和木星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，木星的质量约为地球质量的318倍，木星的半径约为地球半径的11倍，木星绕太阳运动的周期约为地球绕太阳运动周期的12倍。下列说法正确的是(　　)
A．木星公转的轨道半径比地球公转的轨道半径小
B．木星公转的线速度比地球公转的线速度大
C．木星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的2.6倍
D．下一次出现“木星冲日”现象可能在2024年11月
C　[由开普勒第三定律＝k得，因为T木＞T地，所以r木＞r地，即木星公转的轨道半径比地球公转的轨道半径大，A错误；由万有引力定律提供向心力有G ＝m，可得v＝，因为r木＞r地，所以v木＜v地，即木星公转的线速度比地球公转的线速度小，B错误；在天体表面有G ＝mg，可得木星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为≈2.6，所以木星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的2.6倍，C正确；由运动学关系·Δt＝2π，其中T火＝12T地，联立可得Δt＝T地≈1.1年，所以下一次出现“木星冲日”现象可能在2023年11月，D错误。]
　解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
ACD　[海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的，由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星，故A、C正确，B错误；哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。]
2．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)(　　)
A．ρ＝kT　　　　 B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
D　[根据万有引力定律得G ＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝，D正确。]
3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)
A．9×1016 kg B．6×1017 kg
C．9×1025 kg D．6×1026 kg
D　[土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力有G ＝mr，解得M＝，其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得M≈6×1026 kg，D正确。]
4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
A　[金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G ＝man，解得an＝G ，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，A正确，B错误；同理，有G ＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，C、D错误。]
5．(选自粤教版教材)月球的半径为r。登上月球的航天员想用一个弹簧测力计和一个质量为m的砝码估测月球的质量，这种做法可行吗？如果可行，请写出测量原理和实施方案。
[解析]　这种方法可行。
原理：在月球表面，砝码所受的重力F近似等于其所受月球的万有引力，即
G ＝F
解得月球的质量为M＝
上式中m和r为已知量，引力常量G 也可以查得，所以再通过弹簧测力计测得砝码的重力F，即可估测月球的质量。
实施方案：在月球表面将质量为m的砝码挂在弹簧测力计挂钩下，待砝码稳定后读出弹簧测力计的示数，即为砝码所受的重力F，最后将m、r、F、G 代入M的表达式即可得到月球的质量。
[答案]　可行，原理及实施方案见解析
回归本节知识，完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
提示：方法1：重力加速度法，即mg＝ M＝。
方法2：环绕法，即＝m M＝。
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
课时分层作业(十)
?题组一　天体质量和密度的计算
1．天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。引力常量为G ，由此可推算出(　　)
A．行星的质量　　　 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
C　[设行星轨道半径为r，周期为T，恒星的质量为M，行星的质量为m，则由G ＝mr得，M＝，故C正确。]
2．某星球的自转周期为T，一个物体在该星球赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知引力常量G ，则星球的平均密度可以表示为(　　)
A． B．
C． D．
B　[设星球质量为M，半径为R，物体的质量为m，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，所以 F2＝，在赤道上，万有引力可分解为重力和随星球自转的向心力，则有＝F1＋mR，联立解得M＝，星球的平均密度ρ＝，故B正确，A、C、D错误。]
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D　[根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m，解得M＝，D正确；由于核心舱的质量在运算中可以被约掉，仅知绕地半径r或绕地周期T都无法计算出地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得M＝，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。]
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为(　　)
A． B．
C． D．
B　[地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得G ＝mR，解得太阳的质量M＝；月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得G ＝m′r，解得地球的质量m＝，所以太阳质量与地球质量之比，故B正确。]
?题组二　天体运动的分析与计算
5．(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　)
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝，则外层的环是土星的卫星群
BD　[若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知，v∝R，故B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，土星对环的万有引力提供其向心力，则由G ＝m，得v2∝，故A错误，D正确。]
6．(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星(　　)
A．周期越小　　　 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
BCD　[行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对行星的万有引力提供，则有G ＝m＝mr＝mω2r＝man，得v＝，ω＝，T＝2π，an＝，r越大，线速度越小，B正确；r越大，角速度越小，C正确；ω越小，则周期T越大，A错误；r越大，则an越小，D正确。]
7．(多选)一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G ，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
ACD　[行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长，即v·T＝2πr，得r＝，C正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知，＝mr，得M＝，A正确；由an＝，D正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B错误。]
8．2023年10月26日，我国神舟十七号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的天和核心舱交会对接，航天员进驻天和核心舱。交会对接后神舟十七号飞船与天和核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是(　　)
A．组合体的环绕速度大于神舟十七号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十七号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十七号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十七号飞船所受的向心力
D　[由G ＝m＝mr可得，v＝，T＝2π，可见v、T与质量m无关，周期与环绕速度不变，故A、B错误；由＝man可得an＝，可知向心加速度与质量m无关，故C错误；向心力为F＝，组合体的质量大于神舟十七号飞船的质量，轨道半径不变，则组合体所受的向心力大于神舟十七号飞船所受的向心力，故D正确。]
9．地球资源卫星“04星”绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，地球相对“04星”的张角为θ，如图所示。引力常量为G ，则地球的密度为(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[“04星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G ＝mω2r，设地球半径为R，则由题图知R＝r sin，又M＝ρ·，联立解得ρ＝，故选A。]
10．人造卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，卫星的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中甲所示；火星作为航空航天探索的热门研究对象，火星的周围有两个天然卫星和数个人造卫星，它们的运动也可视为绕火星做匀速圆周运动，它们的轨道半径的三次方与绕行周期的二次方的关系如图中乙所示。图中m、n、p、q已知，则地球和火星的质量之比为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
C　[卫星绕地球、火星做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有＝mr，解得M＝，所以地球和火星的质量之比为，C正确。]
11．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已经测出火星上的气体非常稀薄，相对于地球上的气体可以忽略不计，若在距火星表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，落到火星表面时落地点与抛出点间的水平距离为L，已知引力常量为G ，火星的半径为R，h R。
(1)火星的质量是多少？
(2)火星的平均密度是多少？
[解析]　(1)已知火星上的气体可以忽略不计，距火星表面h(h R)处水平抛出一个物体，物体做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，设火星表面的重力加速度为g，则有h＝gt2
水平方向上做匀速直线运动，有
L＝v0t
设火星的质量是M，则有
G ＝mg
联立解得M＝。
(2)设火星的平均密度是ρ，则
M＝ρ×πR3
联立得ρ＝。
[答案]　
12．我国自行研制的天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星。设着陆前后探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标考查。如图所示，探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面h的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G ，火星的半径为R，求：
(1)火星表面重力加速度；
(2)火星的质量及平均密度；
(3)探测器在火星近地圆轨道速度的大小。
[解析]　(1)由自由落体运动得
h＝gt2
解得g＝。
(2)设火星表面有一质量为m的物体，则
G ＝mg
解得M＝
密度为ρ＝
解得ρ＝。
(3)探测器在火星近地圆轨道做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得
mg＝m
解得v＝。
[答案]　(1)　(2)　(3)
13．太阳系中各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。“行星冲日”是指某行星、地球和太阳几乎排成一条直线的状态，地球位于太阳与该行星之间。已知相邻两次“冲日”的时间间隔火星约为800天，土星约为378天，则(　　)
A．火星公转周期约为1.8年
B．火星的公转周期比土星的公转周期大
C．火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径大
D．火星和土星的公转轨道半径之比为
A　[根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，由于地球的轨道半径比火星的轨道半径小，故可知地球的周期比火星的小，设火星相邻两次冲日的时间间隔为t，则在时间t内地球比火星绕太阳多转一周，即＝1，解得T1＝≈671天≈1.8年，A正确；同理土星的周期为T2＝≈10 613天≈29年，故火星的公转周期比土星的公转周期小，B错误；根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，可知火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小，C错误；火星和土星的公转轨道半径之比为，D错误。](共77张PPT)
3．万有引力理论的成就
第七章　
万有引力与宇宙航行
整体感知·自我新知初探
[学习任务]　1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
[问题初探]　问题1．如何利用重力加速度“称量”地球的质量？
问题2．如何利用行星的公转周期“称量”太阳的质量？
[自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
知识点一　“称量”地球的质量　计算天体的质量



1969年7月，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。
【问题】
(1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？
(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？
(3)若月球半径R已知，航天员能观察到近月卫星的运动，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期
【微提醒】　只能求出中心天体的质量M，不能求出环绕天体的质量m。
【典例1】　航天员在半径为R的某星球表面将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h。不计空气阻力，忽略该星球的自转，R远大于h，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度g的大小；
(2)该星球的质量M。
【典例2】　(选自人教版教材·利用环绕法计算天体质量)某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103 s，引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，试从这些数据估算地球的质量(结果保留一位有效数字)(　　)
A．6×1020 kg　　　 B．6×1022 kg
C．6×1024 kg D．6×1026 kg
√
【典例3】　(利用环绕法计算天体质量)中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知空间站绕地球做匀速圆周运动，经过时间t，运动的弧长为s，与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G，求：
(1)空间站的环绕周期T；
(2)地球的质量M。
【典例4】　(计算天体的密度)我国嫦娥二号可视为在月球表面附近做圆周运动。已知引力常量为G，要测定月球的密度，仅仅需要
(　　)
A．测定飞船的运行周期
B．测定飞船的环绕半径
C．测定月球的体积
D．测定飞船的运行速度
√
【典例5】　(重力加速度与天体的密度的计算)2023年9月17日12时13分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感三十九号卫星发射升空，假设该卫星绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R，引力常量为G ，忽略地球的自转。
(1)若卫星到地心的距离为3R，求该卫星所在处的重力加速度大小。(已知地球表面处的重力加速度大小为g)
(2)若卫星环绕地球的轨道半径为r，在该轨道上环绕周期为T，地球可视为质量分布均匀的球体，求地球的密度。
【教用·备选例题】　中国首位航天载荷专家桂海潮在中国空间站观测地球，若他观测得地球的最大张角为θ，观测到相邻两次“日落”的时间为t，简化模型如图所示，引力常量为G ，由此可估算出地球的(　　)
A．质量　　　　
B．半径
C．平均密度
D．自转周期
√
1．海王星的发现
英国剑桥大学的学生________和法国年轻的天文学家________根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的______在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
知识点二　发现未知天体　预言哈雷彗星回归
亚当斯
勒维耶
伽勒
2．其他天体的发现
近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了________、阋神星等几个较大的天体。
3．预言哈雷彗星回归
英国天文学家哈雷依据______________，计算了三颗彗星的轨道，并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星，周期约为____年。
冥王星
万有引力定律
76
已知地球、火星都绕太阳转动，火星的公转半径是地球公转半径的1.5倍，根据以上材料思考：
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)地球、火星绕太阳运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？为什么？
(3)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
【微提醒】　卫星运动情况(a、v 、ω 、T )是由r唯一决定，高轨低速长周期。
【典例6】　(不同轨道上的卫星各物理量的比较)(多选)如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同，且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
√
√
√
【典例7】　(行星公转参量和行星表面重力加速度的比较)2022年9月27日，木星、地球和太阳排在同一直线上，地球位于太阳与木星之间，出现了“木星冲日”现象。地球和木星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，木星的质量约为地球质量的318倍，木星的半径约为地球半径的11倍，木星绕太阳运动的周期约为地球绕太阳运动周期的12倍。下列说法正确的是(　　)
A．木星公转的轨道半径比地球公转的轨道半径小
B．木星公转的线速度比地球公转的线速度大
C．木星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的2.6倍
D．下一次出现“木星冲日”现象可能在2024年11月
√
规律方法　解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用“GM＝gR2”——“gR2”代换“GM”，简化解题方式。
应用迁移·随堂评估自测
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归
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ACD　[海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的，由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星，故A、C正确，B错误；哈雷依据万有引力定律预言了哈雷彗星的回归，故D正确。]
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3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)
A．9×1016 kg B．6×1017 kg
C．9×1025 kg D．6×1026 kg
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4．金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
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5．(选自粤教版教材)月球的半径为r。登上月球的航天员想用一个弹簧测力计和一个质量为m的砝码估测月球的质量，这种做法可行吗？如果可行，请写出测量原理和实施方案。
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题号
1
5
上式中m和r为已知量，引力常量G 也可以查得，所以再通过弹簧测力计测得砝码的重力F，即可估测月球的质量。
实施方案：在月球表面将质量为m的砝码挂在弹簧测力计挂钩下，待砝码稳定后读出弹簧测力计的示数，即为砝码所受的重力F，最后将m、r、F、G 代入M的表达式即可得到月球的质量。
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题号
1
5
[答案]　可行，原理及实施方案见解析
回归本节知识，完成以下问题：
1．计算天体质量有哪几种方法？
2．为什么说海王星是笔尖下发现的行星？
提示：因为其轨道是根据天王星的观测资料计算出来的。
3．天体运行的速度、周期、角速度和轨道半径有什么关系？
提示：轨道半径越大，速度越小，周期越长，角速度越小。
课时分层作业（十）
?题组一　天体质量和密度的计算
1．天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。引力常量为G ，由此可推算出(　　)
A．行星的质量　　　 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
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3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
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6．(多选)把太阳系各行星的运动近似地看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星(　　)
A．周期越小　　　 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
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8．2023年10月26日，我国神舟十七号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的天和核心舱交会对接，航天员进驻天和核心舱。交会对接后神舟十七号飞船与天和核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是(　　)
A．组合体的环绕速度大于神舟十七号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十七号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十七号飞船的向心加速度
D．组合体所受的向心力大于神舟十七号飞船所受的向心力
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11．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境。已经测出火星上的气体非常稀薄，相对于地球上的气体可以忽略不计，若在距火星表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，落到火星表面时落地点与抛出点间的水平距离为L，已知引力常量为G ，火星的半径为R，h R。
(1)火星的质量是多少？
(2)火星的平均密度是多少？
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12．我国自行研制的天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星。设着陆前后探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标考查。如图所示，探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面h的高度由静
止释放，做自由落体运动，测得小球经
过时间t落地。已知引力常量为G ，火星
的半径为R，求：
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(1)火星表面重力加速度；
(2)火星的质量及平均密度；
(3)探测器在火星近地圆轨道速度的大小。
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