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半角模型
1如图,正方形ABCD中, 点E, F分别为边BC, CD上的点, 连接AE, AF, 与对角线BD分别交于点G，H，连接EH.若 则下列判断错误的是( )
A. BE+DF=EF
C. E、F分别为边BC、CD的中点 D. AH⊥EH
2如图,在正方形ABCD 中, E是BC边上的一点, BE=4, EC=8, 将正方形边AB沿AE 折叠到AF,延长EF 交 DC于G, 连接AG, FC, 现在有如下4个结论: ①∠EAG=45° ; ②FG=FC; ③FC∥AG; ④S△GFC=14.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3已知如图, 在正方形ABCD中, AD=4, E, F分别是CD, BC上的一点, 且∠EAF=45°, EC=1, 将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合, 连接EF, 过点B 作BM∥AG, 交AF于点M, 则以下结论: ①DE+BF=EF, ②BF= ,③ 中正确的是 ( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
4如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)， 点F在射线AM上，且 CF与AD相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列结论: ①∠ECF=45° ; ②△AEG的周长为 ③BE +DG =EG ; ④△EAF 的面积的最大值是 ⑤当 时，G是线段AD的中点.其中正确的结论是 ( )
A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
5如图, 在直角坐标系中, 以坐标原点O(O,O), A(O,4), B(3,O)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点 P 恰好在反比例函数 的图象上，则k的值为( )
A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
6如图,正方形ABCD中, AB=6,G是BC的中点. 将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF 交 DC 于点E, 则DE的长是 ( )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
7如图,在矩形ABCD 中, 点E、F分别在BC、CD上, 若 学习笔记： , 则AF 的长为 .
8如图1，已知四边形ABCD 是正方形，将 分别沿DE，DF 向内折叠得到图2, 此时DA与DC重合(A、C都落在G点) , 若( ,则 DG 的长为 .
9如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点(不与端点重合)，将△ADE沿AE 对折至△AFE, 延长EF交边BC于点 G, 连接AG, CF. 给出下列判断:
①∠EAG=45° ; ②若 则AG∥CF;③若E为CD的中点, 则△GFC的面积为 ④若CF=FG, 则I ⑤BG·DE+AF·GE=a .其中正确的是 . (写出所有正确判断的序号)
10如图，正方形ABCD中， 绕点A逆时针旋转到 分别交对角线BD于点 E, F, 若 则 EF·ED 的值为 .
11在 中， ，点D 和点E均在边BC上，且. 学习笔记：试猜想BD、DE、EC应满足的数量关系，并写出推理过程.
12如图①，E、F是等腰 的斜边BC上的两动点， 且CD=BE.
(1) 求证:
(2) 求证:
(3) 如图②, 作 AH⊥BC, 垂足为H, 设. 不妨设 请利用(2)的结论证明：当( 时， 成立.
13如图,在正方形ABCD中, 点E、F分别在边BC、CD上,且. 分别连接EF、BD, BD与AF、AE 分别相交于点 M、N
(1) 求证: 为了证明 小明延长CB至点G，使 DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程.
(2) 若 请求出正方形A BCD的 边长.
(3)请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系
14在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE 沿BE 翻折，使点C恰好落在AD 边上点F处.
(1) 如图1, 若BC=2BA, 求∠CBE的度数;
(2) 如图2, 当AB=5, 且AF·FD=10时, 求BC的长;
(3)如图3,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM 交AD 于点N,当NF=AN+FD时，求 的值.
15如图，在 中， 于D，将 沿AC折叠为 将 沿AB折叠为 延长FC和GB相交于点H.
(1)求证：四边形AFHG为正方形；
(2) 若 求AB的长.
16(1) 如图1, 在正方形ABCD中, 点E、F分别是BC、CD边上的动点, 且. 求证: E F=DF+BE.
(2)如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且 则 EF、BE、DF之间数量关系是什么 请写出证明过程.
(3) 如图1, 若正方形ABCD的边长为6, 求AF的长.
17如图,正方形ABCD中, 点E在边 CD上, 将△ADE 沿AE对折至△AFE, 延长EF交边BC于点G, 连接AG、CF.
(1) 求证:
(2) 若AB=6, 且CD=3DE, 请说明此时BG=CG.
18如图, 在正方形ABCD中, 点E, F分别在BC, CD上, 连接AE, AF, EF, ∠EAF 学习笔记:=45° . 若∠BAE=α, 则∠FEC一定等于 ( )
A. 2α B. 90° -2α C. 45° - α D. 90° - α
19旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题.
(1) 尝试解决: 如图①,在等腰Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点M是BC上的一点,BM=1cm,CM=2cm, 将△ABM绕点 A 旋转后得到△ACN, 连接MN,则 AM= cm
(2) 类比探究: 如图②, 在“筝形”四边形ABCD中, AB=AD=a, CB=CD, AB⊥BC 于点B, AD⊥CD于点 D, 点 P、 Q分别是AB、 AD上的点, 且∠PCB+∠QCD=∠PCQ, 求△APQ的周长. (结果用a表示)
(3) 拓展应用: 如图③, 已知四边形ABCD, AD=CD, ∠ADC=60°, ∠ABC=75° ,AB=2 , BC=2,求四边形ABCD的面积.
20已知在 ,D、E是BC边上的点,将 绕点A旋转，得到 连接D'E.
(1) 如图1, 当 ， 求证：
(2)如图2,DE=D'E,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系 请你写出这个关系,并说明理由；
(3)如图3，在(2)的结论下，当添加‘ 条件时，判断△D'EC 形状，并加以证明.
21问题提出： (1)如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD=6, 连接AD, 则△ACD的面积为 ;
问题探究： (2)如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F 在边 CD上, 且∠EAF=45°. 若EF=5, 求△AEF的面积;
问题解决： (3)如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB=4米，AD=6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF 的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上(不与B、C、D重合) , 且∠EAF=45°, 为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF 若存在，请求出△AEF 面积的最小值；若不存在，请说明理由.
1 解: 如图1,将△ADF 绕点A顺时针旋转90°得到△ABM, 此时AB与AD 重合,
由旋转可得: AB=AD, BM=DF, ∠DAF=∠BAM,∠ABM=∠D=90° , AM=AF,
∴∠ABM+∠ABE=90°+90° =180° ,
∴点M，B，E在同一条直线上.
∵∠EAF=45° , ∴∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAE=90° -45° =45° . ∵∠BAE=∠DAF,
∴∠BAM+∠BAE=45° . 即∠MAE=∠FAE.
在△AME 与△AFE 中, ∴△AME≌△AFE(SAS) , ∴ME=EF, ∴EF=BE+DF, 故A选项不合题意,
如图2,将△ADH绕点A 顺时针旋转90°得到△ABN,此时AB与AD重合,∴△ADH≌△ABN,∴AN=AH,∠BAN=∠DAH,∠ADH=∠ABN=45° , DH=BN,
∴∠DAF+∠BAE=45° , ∴∠BAN+∠BAE=45° =∠NAE,
∴∠NAE=∠EAF, 又∵AN=AH, AG=AG, ∴△ANG≌△AHG(SAS) , ∴GH=NG, ∴BN +BG =NG =GH ,
，故B选项不合题意；
∵∠EAF=∠DBC=45°, ∴点A, 点B, 点E, 点H四点共圆, ∴∠AHE=∠ABE=90°, ∴AH⊥HE, 故D选项不合题意, 故选: C.
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2 解: 如图, 连接DF. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD, ∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=
90° , 由翻折可知: AB=AF, ∠ABE=∠AFE=∠AFG=90° ,BE=EF=4,∠BAE=∠EAF,∵∠AFG=∠ADG=90° ,AG=AG, AD=AF, ∴Rt△AGD≌Rt△AGF (HL) ,
∴DG=FG, ∠GAF=∠GAD,
设GD=GF=x, ∴∠EAG=∠EAF+
故①正确，
在Rt△ECG中,
∴ (4+x) =8 +(12-x) , ∴x=6, ∵CD=BC=BE+EC=12, ∴DG=CG=6, ∴FG=GC, 易知△GFC不是等边三角形, 显然FG≠FC, 故②错误,
∵GF=GD=GC, ∴∠DFC=90° , ∴CF⊥DF,
∵AD=AF, GD=GF, ∴AG⊥DF, ∴CF∥AG, 故③正确, , FG: FE=6: 4=3: 2,
故④错误，故选: B.
3 解: ∵AG=AE, ∠FAE=∠FAG=45° , AF=AF,∴△AFE≌△AFG, ∴EF=FG, ∵DE=BG,
∴EF=FG=BG+FB=DE+BF, 故①正确, ∵BC=CD=AD=4, EC=1, ∴DE=3, 设BF=x, 则EF=x+3, CF=4-x,在Rt△ECF中, 解得 在Rt△ABF中, 勾股定理得: 故②正确, ③错误, ∵BM∥AG, ∴△FBM∽△FGA, 故④正确，故选: D.
4.解: 如图1, 在BC上截取BH=BE, 连接EH.
∵BE=BH, ∠EBH=90° , ∴EH= BE,
∵AF= BE, ∴AF=EH, ∵∠DAM=∠EHB=45° ,∠BAD=90° , ∴∠FAE=∠EHC=135° ,
∵BA=BC,BE=BH, ∴AE=HC, ∴△FAE≌△EHC(SAS),
∴EF=EC, ∠AEF=∠ECB, ∵∠ECH+∠CEB=90° ,
∴∠AEF+∠CEB=90° , ∴∠FEC=90° ,
∴∠ECF=∠EFC=45°, 故①正确,
如图2, 延长AD到H, 使得DH=BE, 则△CBE≌△CDH (SAS) , ∴∠ECB=∠DCH, ∴∠ECH=∠BCD=90° ,
∴∠ECG=∠GCH=45° , ∵CG=CG, CE=CH,
∴△GCE≌△GCH (SAS) , ∴EG=GH,
∵GH=DG+DH, DH=BE, ∴EG=BE+DG, 故③错误,
∴ △ AEG 的周长 = AE+EG+AG = AE+AH = AD+DH+AE =AE+EB+AD=AB+AD=2a, 故②错误,
设BE=x, 则
时，△AEF 的面积的最大值为 故④正确，当 时, 设DG=x, 则
在Rt△AEG中,有 解得x=a/ , ∴AG=GD,故⑤正确，故选：D.
5.解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、 D、 E, 如图,
∵A(0, 4) , B (3, 0) , ∴OA=4, OB=3,
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE=PC, PD=PC,
∴PE=PC=PD, 设P (t, t) , 则PC=t,
矩形 PEOD,
解得t=6, ∴P(6, 6) ,
把P(6, 6)代入 得k=6×6=36. 故选: A.
6 解: 如图, 连接AE, ∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90° , 在 Rt△AFE 和Rt△ADE中, ∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL) ,
∴EF=DE, 设DE=FE=x, 则EC=6-x.
∵G为BC中点, BC=6, ∴CG=3, 在Rt△ECG中,根据勾股定理，得： 解得x=2. 则DE=2. 故选: C.
7. 解: 取AB的中点M, 连接ME, 在AD上截取ND=DF, 设DF=DN=x,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠D=∠BAD=∠B=90° , AD=BC=4,
∴NF= x, AN=4-x, ∵AB=2, ∴AM=BM=1,
∵AE= , AB=2, ∴BE=1, ∴ME=
∵∠EAF=45° , ∴∠MAE+∠NAF=45° ,
∵∠MAE+∠AEM=45° , ∴∠MEA=∠NAF,
解得： 经检验， 是分式方程的解，
故答案为：
还有其它构造相似的方法，大家自行探讨.
8.解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：DG=DA=DC=x, ∵GF=4, EG=6,
∴AE=EG=6, CF=GF=4, ∴BE=x-6, BF=x-4, EF=6+4=10, 如图所示:
在 Rt△BEF中,由勾股定理得:
∴x -10x-24=0, ∴ (x+2) (x-12) =0,
(舍) , x =12. ∴DG=12.
故答案为：12.
9.解:①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=a,∵将△ADE沿AE 对折至△AFE,
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90° , AF=AD=AB, EF=DE,∠DAE=∠FAE, 在 Rt△ABG 和Rt△AFG中
∴Rt△ABG≌Rt△AFG (HL) , ∴∠BAG=∠FAG,
故①正确；
②∴BG=GF, ∠BGA=∠FGA, 设BG=GF=x,
在Rt△EGC中,
由勾股定理可得 解得 此时
∴GC=GF, ∴∠GFC=∠GCF,
∵∠BGF=∠GFC+∠GCF,
∴2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GCF,
∴∠AGB=∠GCF, ∴AG∥CF, ∴②正确;
③若E为CD的中点，则 设BG=GF=y,则
即 解得，
故③错误；
④当CF=FG, 则∠FGC=∠FCG, ∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90° , ∴∠FEC=∠FCE,
∴EF=CF=GF, ∴BG=GF=EF=DE,
∴EG=2DE, CG=CE=a-DE,
即
故④正确；
⑤设BG=GF=b, DE=EF=c, 则CG=a-b, CE=a-c,由勾股定理得， ( 整理得
= bc, 即
正方形ABCD,
∴BG·DE+AF·EG=a , 故⑤正确.
故答案为: ①②④⑤.
10.解: ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠ADB=45°, ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C', ∴∠EAF=∠BAC=45° , ∵∠AEF=∠DEA, ∴∴EF·ED的值为16, 故答案为: 16.
11解: 理由是：
∵AB=AC, ∴把△ABD 绕点A顺时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合, 连接EG, ∴AD=AG, BD=CG, ∠B=∠ACG, ∠BAD=∠CAG, ∵在Rt△BAC中, ∠BAC=90° ,AB=AC, ∴∠B=45° , ∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45° +45° =90° , ∵∠BAC=90° , ∠DAE=45° ,∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90° -45° =45° , ∴∠DAE=∠EAG, 在△DAE 和△GAE 中,(CAAECGGAE, ∴∠AME,在△AE和EACEGCOFGS),△ABE中,
在Rt△ECG中， 由勾股定理得： 即
12证明: (1) ∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45° ,
∵CD⊥BC, ∴∠BCD=90° ,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=45° =∠B,
在△ABE 和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD (SAS);
(2) 由 (1) 知, △ABE≌△ACD,
∴AE=AD, ∠BAE=∠CAD, ∵∠BAC=90° ,
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=90° ,
∵∠EAF=45° , ∴∠DAF=∠DAE-∠EAF=45° =∠EAF, ∵AF=AF, ∴△AEF≌△ADF (SAS), ∴DF=EF,在Rt△DCF中，根据勾股定理得，
(3) 在 Rt△ABC中,
∴BC= AB=2, ∵AH⊥BC, ∴AH=BH=CH= BC=1,
∴BE=1-EH, CF=1-FH,
由(2) 知,
∴1-EH·FH=EH+FH,
在Rt△AHE中,
在Rt△AHF中,
∴右边 1, ∵α+β=45° ,
∴左边= tan(α+β) =tan45° =1,
∴左边=右边，即当( 时，
成立.
13 (1) 证明: 如图1, 延长CB至点G, 使BG=DF,连接AG， ∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD, ∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90° , 在△ABG
和△ADF中,
∴∠DAF=∠BAG, AF=AG, ∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90° -45° =45° =∠EAF,
在△AEF 和△AEG中, (SAS) , ∴EF=EG, ∵EG=BE+BG, ∴EF=BE+DF;
(2)解：设正方形的边长为x，
∵BE=2, DF=3, ∴CE=x﹣2, CF=x﹣3,
由(1)得:EF=BE+DF=2+3=5,Rt△CEF中,
解得: x=6或-1(舍) , 答: 正方形ABCD的边长为6.
(3) 解: ； 理由是：
如图2, 在 AG上截取AH=AM, 连接HN、BH,
在△AHB 和△AMD中,
(SAS) , ∴BH=DM, ∠ABH=∠ADB=45° ,
又∵∠ABD=45° , ∴∠HBN=90° . ∴BH +BN =HN . 在△
AHN和△AMN中,
∴△AHN≌△AMN (SAS) , ∴MN=HN. ∴BN +DM =MN .
14. 解: (1) ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠C=90° ,
∵将△BCE沿BE 翻折,使点C恰好落在 AD边上点F处,
∴BC=BF, ∠FBE=∠EBC, ∠C=∠BFE=90° , ∵BC=2AB,
∴BF=2AB, ∴∠AFB=30° ,
∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,
∴∠AFB=∠CBF=30° , ∴∠CBE= ∠FBC=15°;
(2) ∵将△BCE沿BE翻折, 使点C恰好落在AD边上点 F处, ∴∠BFE=∠C=90° , CE=EF,
又∵矩形ABCD中, ∠A=∠D=90° ,
∴∠AFB+∠DFE=90° , ∠DEF+∠DFE=90° ,
∴∠AFB=∠DEF, ∴△FAB∽△EDF,∴AFDE= BF,
∴AF·DF=AB·DE, ∵AF·DF=10, AB=5,
∴DE=2, ∴CE=DC-DE=5-2=3, ∴EF=3,
如图, 过点 N作NG⊥BF 于点G,
∴NF= BF, ∵∠NFG=∠AFB, ∠NGF=∠BAF=90°, 设AN=x, ∵BN平分∠ABF, AN⊥AB, NG⊥BF,∴AN=NG=x, AB=BG=2x, 设FG=y, 则AF=2y, 解得
15. 证明: (1) ∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90° ;由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90° , ∠BAG=∠BAD, ∠CAF=∠CAD,
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45° ;
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90° ;
∴四边形AFHG 是正方形，
(2) ∵四边形AFHG是正方形, ∴∠BHC=90°,
又GH=HF=AD, GB=BD=6, CF=CD=4;
设AD的长为x, 则BH=GH-GB=x-6, CH=HF-CF=x
-4. 在 Rt△BCH中,
解得 (不合题意，舍去)，
16. 证明: (1) 把△ABE绕点 A顺时针旋转90°至△ADG,如图1,∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵∠EAF=45° ,∴∠BAE+∠FAD=45° ,∴∠DAG+∠FAD=45° , ∴∠EAF=∠FAG, ∵AF=AF, ∴△EAF≌△GAF(SAS) ,
∴EF=FG=DF+DG, ∴EF=DF+BE;
(2)结论: EF=DF-BE; 证明: 如图2, 将△ABE绕点A 顺时针旋转90°至△ADM, ∴∠EAB=∠MAD, AE=AM, ∠EAM=90° , BE=DM, ∴∠FAM=45° =∠EAF,∵AF=AF, ∴△EAF≌△MAF (SAS) , ∴EF=FM=DF-DM=DF-BE;
(3)如图1, 由(1) 可得 D(
17. 解: (1) ∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD, ∠BAD=∠B=∠D=90° ; 由题意得:
∠AFE=∠D=90° , ∠DAE=∠FAE, AF=AD,
∴AB=AF, ∠B=∠AFG=90° ;
在Rt△ABG与Rt△AFG中,
∴△ABG≌△AFG(HL) ,
(2) ∵△ABG≌△AFG, ∴设BG=GF=x, 则CG=6-x;
∵CD=AB=6, CD=3DE, ∴DE=2, CE=4, EF=DE=2;
GE=x+2 由勾股定理得:
即 解得: x=3,
∴CG=6-3=3, ∴BG=CG.
18.解: 在正方形ABCD中, AD=AB, ∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°, 将△ADF绕点A顺时针旋转90°, 得△ABG, 如图所示, 则AF=AG, ∠DAF=∠BAG,
∵∠EAF=45° , ∴∠BAE+∠DAF=45° ,
∴∠GAE=∠FAE=45° ,
在△GAE 和△FAE 中,
∴△GAE≌△FAE(SAS), ∴∠AEF=∠AEG,
∵∠BAE=α, ∴∠AEG=90° -α,
∴∠AEF=∠AEG=90° -α,
∴∠FEC=180° -∠AEF-∠AEB=180° -2×(90° -α) =2α, 故选: A.
19解: (1) ∵∠BAC=90° , AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45° , 由旋转得: CN=BM=1, ∠ACN=∠B=45° ,∠MAN=∠BAC=90° , AM=AN, ∴∠MCN=∠ACB+∠ACN=45°+45° =90°, △AMN是等腰直角三角形,
故答案为：
(2) 如图2, 延长AB到E, 使BE=DQ, 连接CE,
∵AB⊥BC, AD⊥CD, ∴∠ADC=∠ABC=90° ,
∴∠CBE=∠CDQ=90° , 在△CDQ 和△CBE中,
∴∠DCQ=∠BCE,CQ=CE,∵∠PCB+∠QCD=∠PCQ,
∴∠PCB+∠BCE=∠PCQ=∠PCE,
在△QCP 和△ECP中,
∴△QCP≌△ECP (SAS) , ∴PQ=PE,
∴ △ APQ 的 周 长 = AQ+PQ+AP = AQ+PE+AP =AQ+BE+PB+AP=AQ+DQ+AB=2AB=2a;
(3)如图3，连接BD，将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°, 得到△DAB' , 连接BB' , 延长BA, 作B' E⊥BA于E, 由旋转得: BD=B'D,∠BDB'=60° , ∠CBD=∠AB'D,
∴S 四边形ABCD=S 四边形BDB' A, △BDB'是等边三角形,
∵∠ABC=75° , ∠ADC=60° ,
∴∠B' AE=45° , ∵B' A=BC=2,
设等边三角形的高为h，则勾股定理得： ∴S 四边形ABCD=S 四边形 BDB'A=S△BDB' - S△ABB'
20 (1) 证明: ∵△ABD绕点 A 旋转得到△ACD' ,∴AD=AD' , ∠CAD' =∠BAD,
∵∠BAC=120° , ∠DAE=60° ,
C-∠DAE=120° -60° =60° , ∴∠DAE=∠D' AE,
在△ADE 和△AD' E中,
∴△ADE≌△AD'E (SAS) , ∴DE=D'E;
(2) 解: 理由如下：
在△ADE 和△AD'E中,
∴△ADE≌△AD'E (SSS) , ∴∠DAE=∠D'AE,
∴∠BAD+∠CAE=∠CAD'+∠CAE=∠D'AE
(3) 解: △D'EC是等腰直角三角形;
证明: ∵∠BAC=90° , AB=AC,
由(2) 知,
∵△ABD绕点A 旋转得到△ACD',
在Rt△D'EC 中,
∴∠CED'=45° , ∴∠CD'E=90° -∠CED'=45° =∠CED', ∴△D'EC是等腰直角三角形.
21 解: (1) 如图1, 过点A作AH⊥BC于 H,
∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=60°,
∴△ACD的面积 故答案为：
(2)如图2,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH,由旋转的性质得, AH=AF, ∠BAH=∠DAF,
∵∠EAF=45° , ∠BAD=90° , ∴∠EAH=∠EAF=45° ,在△AEF 和△AEH中,
∴△AEF≌△AEH (SAS) , ∴EH=EF=5,
(3) 把△ADF绕点A 顺时针旋转90°并缩小为 ，得到△ABG, 则.AG= AF, ∠EAG=∠EAF=45°,过点E作EM⊥AG于M, EN⊥AF于N,
∵∠EAG=∠EAF, EM⊥AG, EN⊥AF, ∴EM=EN,
设△AGE的外接圆圆心为0,连接OA、OG、OE, 过得O作OH⊥GE于 H, 则∠GOE=2∠EAG=90°, 设△AGE 的外接圆的半径为R，则 由题意得,OA+OH≥AB,即 解得， ∴△AGE 的面积
∴△AGE 的面积的最小值为
∴△AEF 的面积的最小值为

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