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手拉手模型
1已知点C在线段BE 上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC 和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点 M，连接OC、MN，则以下结论：①AE=BD; ②△ACN≌△BCM; ③∠BOE=120°; ④△MNC 是等边三角形; ⑤OC平分∠BOE；正确的个数是 ()
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF 为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点 H，连接DG. 以下四个结论：①∠EAB=∠GAD; ②△AFC∽△AGD; ③2AE =AH AC; ④DG⊥AC. 其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3如图, 在四边形ABCD 中, AD∥BC, ∠ABC=90° , AB=7, AD=4, 将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A'B'C，当A'B'恰好经过点D时，△B'CD为等腰三角形，则AA′= ( )
4如图, 在△ABC中, ∠CAB=55°, ∠ABC=25° , 在同一平面内, 将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE, 连接EC, 则 tan∠DEC的值是 .
5如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列三个结论: ①BE=DG; ②BE⊥DG; ③DE +BG =2a +2b ,其中正确的结论是 (填序号)
6如图, 在△AOB 和△COD中, OA=OB, OC=OD, OA7如图, 等腰Rt△ABC, ∠BAC=90°, BC= ，E为AB上一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE, 连接AD, 若∠ACE=30°, 则AD的长为 .
8如图, 以△ABC 的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD, 连结ED、BD、EC, 过点A 的直线l分别交线段DE、BC于点M、N. 以下说法: ①当AB=AC=BC时, ∠AED=30° ; ②EC=BD; ③若AB=3, AC=4, BC=6, 则I ④当直线l⊥BC时，点M为线段DE 的中点.正确的有 . (填序号)
9如图，△ABC和△ADE 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE 以A为中心顺时针旋转，点M为射线 BD、CE 的交点.若 以下结论：①BD=CE; ②BD⊥CE; ③当点E在 BA 的延长线上时, ④在旋转过程中，当线段MB最短时，△MBC的面积为 其中正确结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】如图1, 若点D在边BC上, 求证: CE+CF=CD;
【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF 与CD之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
11如图1， 和 都是等边三角形.探究发现：
(1) △BCD与. 是否全等 若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，. , 求BD的长.
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)， 且 和 的边长分别为1和2, 求 的面积及AD的长.
12如图1, 在△ABC中, 点D,E分别在边A B,A C上,且 连接DE.现将 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α (0° 如图2, 连接CE, BD, CD.
(1) 当 时， 求证：(
(2) 如图3, 当( 时,延长CE交BD于点F,求证:C F垂直平分BD;
(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数.
13 为等边三角形， 于点D，E为线段AD上一点， 以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点.
(1) 如图1, EF与AC交于点G, 连接NG, 求线段NG的长;
(2)如图2, 将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN, MN. 当: 时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；
(3)连接BN，在△AEF 绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积.
14【问题情境】 (1)同学们我们曾经研究过这样的问题： 已知正方形ABCD，点E在CD的延长线上，以CE为一边构造正方形CEFG，连接BE 和 DG，如图1所示，则BE 和 DG 的数量关系为 ，位置关系为 .
【继续探究】 (2)若正方形ABCD的边长为4，点E是AD边上的一个动点，以CE为一边在 CE的右侧作正方形CEFG,连接DG、BE,如图2所示,
①请判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接BG，若AE=1，求线段BG长.爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作GH⊥BC，如图3，你能按照她的思路做下去吗 请写出你的求解过程.
【拓展提升】(3)在(2)的条件下，点E在AD边上运动时，利用图2，则BG+BE的最小值为 .
15如图1，在等腰直角三角形ADC中， 点E是AD的中点，以DE为边作正方形 DEFG，连接AG，CE.将正方形 DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(
(1)如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE=CD时, AG与EF 交于点H, 求GH的长.
(2) 如图3, 延长CE交直线AG于点 P.
①求证: AG⊥CP;
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
16如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG, 且∠AGD=∠BGC.
(1) 求证: AD=BC; (2) 求证: △AGD∽△EGF;
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 的值.
17问题: 如图①,在Rt△ABC中, AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为
探索: 如图②, 在 Rt△ABC与Rt△ADE中, AB=AC, AD=AE, 将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中， 若BD=9,CD=3, 求AD的长.
18(1)如图1，分别以△ABC的两边AB、AC为直角边向外作两个等腰直角三角形， 连接BD、CE交于点F.
①求证: BD=CE;
②当BC 和AC满足什么数量关系时，点F是BD的中点，并说明理由；
(2)运用(1)解答中获取的经验，解决问题：如图2，为了测量一狭长水库两端A、B的距离，小王在水库旁边的空地上选择点C，能直达点A和点B，并以AC为斜边在△ABC 内作Rt△ACD, 且l 连接BD：测得 1千米， 千米，请根据测量结果直接写出AB之长(结果保留根号).
1解:∵三角形ABC和三角形 DCE都是等边三角形,
∴BC=AC, DC=EC, ∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=∠ACE=120°, ∴△BCD≌△ACE,
∴AE=BD, 故①正确;
由①知∠CBM=∠CAN, 又∵∠BMC=∠AMO,
∴∠AOB=∠ACB=60°,
，故③正确；
∵∠CBM=∠CAN,∠BCM=∠ACN=60° , BC=AC,
∴△ACN≌△BCM, 故②正确;
∴CM=CN, 又∵∠MCN=60°, ∴△MCN是等边三角形，故④正确；
如图, 过C作CG⊥BD, CH⊥AE,
∵△BCD≌△ACE, ∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE 边上的高对应相等，即CG=CH，
∴点C在∠BOE 的角平分线上,即CO平分∠BOE, 故⑤正确; 故选: D.
2 解: ∵四边形ABCD, 四边形AEFG都是正方形,∴∠EAG=∠BAD=90° , ∠FAG=∠AFG=∠DAC=∠ACB=45° , AF= AG, AC= AD,
∴∠EAG-∠BAG=∠BAD-∠BAG,
∴∠EAB=∠DAG, 故①正确;
∵∠FAG=∠CAD=45°, ∴∠FAC=∠DAG,
∴△FAC∽△DAG, 故②正确,
∴∠ADG=∠ACB=45°, 延长DG交AC于N,
∵∠CAD=45° , ∠ADG=45° , ∴∠AND=90° ,
∴DG⊥AC, 故④正确,
∵∠FAC=∠FAH, ∠AFG=∠ACF=45°,
故③正确，故选：D.
3解:过D作DE⊥BC于E,则BE=AD=4,DE=7,设B' C=BC=x,由题意可知△DB'C是等腰直角三角形，则 ∴在 Rt△DEC 中, DC =DE +EC ,即 解得: x=5(负值舍去) ,
在AB上取一点F, 使得BF=BC=5,连接DF,则△CDF∽△CB' B,且相似比为 ∴AF=7-5=2, ∵AD=4, ∴DF=2
∵将△ABC绕点C顺时针 方向旋转后得△A'B' C, ∴∠DB' C=∠ABC=90°,B' C=BC, A' C=AC, ∠A' CA=∠B' CB,
故选: A.
4. 解: 由旋转的性质可知: AE=AC, ∠CAE=70°,∴∠ACE=∠AEC=55° ,
又∵∠AED=∠ACB, ∠CAB=55° , ∠ABC=25°,
∴∠ACB=∠AED=100° ,
故答案为：1
5. 解: 设BE, DG交于O,
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形,∴BC=CD, CE=CG, ∠BCD=∠ECG=90°, ∴∠BCE+∠DCE= 即∠BCE=∠DCG,在△BCE和△DCG中,DCG (SAS), ∴BE=DG, ∴∠1=∠2,
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90° , ∴∠2+∠3=90° ,
∴∠BOG=90°, ∴BE⊥DG; 故①②正确;连接BD, EG,如图所示,
则 故③正确. 故答案为：①②③.
6 解: ∵∠AOB=∠COD=36° , ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, 即∠AOC=∠BOD,
在△AOC 和△BOD 中,BOD(SAS), ∴∠OCA=∠ODB, AC=BD, 故②正确;∵∠OAC=∠OBD, 由三角形的外角性质得:
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB,
∴∠AMB=∠AOB=36°, 故①正确;
作OG⊥AM于 G, OH⊥DM于 H,如图所示,则∠OGA=∠OHB=90°, ∵△AOC≌△BOD, ∴OG=OH, ∴MO平分∠AMD, 故④正确;
假设MO平分∠AOD, 则∠DOM=∠AOM, 在△AMO与△DMO中,
∴△AMO≌△DMO (ASA) , ∴AO=OD,
∵OC=OD, ∴OA=OC, 而OA故答案为: ①②④.
7 解: ∵等腰Rt△ABC, ∠BAC=90°, BC=
∴AB=AC=1, ∵∠ACE=30° ,
△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°, CE= CD,
故答案为：
8解: ∵AB=AC=BC, ∴∠BAC=60° ,
∵AE=AB, AC=AD, ∠BAE=∠CAD=90° ,
∴AE=AD, ∠EAD=360°-60° -90° -90° =120° ,
故①正确；
∵∠CAD=∠BAE=90° ,
∴△CAE≌△DAB (SAS) , ∴EC=BD, 故②正确;如下图, 设BD交AE于点G, 交 CE于点O,
∵∠AEC=∠ABD, ∠OGE=∠AGB,
∴∠AEC+∠OGE=∠ABD+∠AGB=90°,
∴∠EOB=90° , ∴∠COD=∠BOC=∠DOE=90°,
∴DE =OD +OE , BC =OB +OC
∵AE=AB=3, AD=AC=4, BC=6,
CD =AD +AC =4 +4 =32, BC =6 =36,
2 故③错误；
C
当直线l⊥BC时, 如图2, 作EF∥AD交直线l于点 F,连接DF,
∵∠AEF+∠DAE=180° , ∠BAC+∠DAE=180° ,
∴∠AEF=∠BAC, ∵∠ANB=∠BAE=90°,
∴∠EAF=∠ABC=90° -∠BAN,
∵EA=AB, ∴△EAF≌△ABC (ASA),
∴EF=AC=AD, ∴四边形ADFE 是平行四边形,
∴M为线段DE的中点，故④正确， (这个结论，也可以分别从点 E、点D 作直线l的垂线，两次一线三等角全等，再证一次全等，也可以，都是常规方法，大家可以尝试一下) 故答案为: ①②④.
9证明: 解: ∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA=CA, DA=EA, ∠BAC=∠DAE=90° ,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS) ,
∴BD=CE, ∠ABD=∠ACE, 故①正确;
设∠ABD=∠ACE=x, ∠DBC=45° -x,
∴∠EMB=∠DBC+∠BCM=∠DBC+∠BCA+∠ACE=45° -x+45°+x=90° , ∴BD⊥CE, 故②正确;
当点E在 BA的延长线上时，如图1：
同理可得∠DMC=90°, ∴∠DMC=∠EAC,
∵∠DCM=∠ECA, ∴∠DCM∽△ECA,
故③正确；
④ 如图2：以A为圆心，AD为半径画圆，∵∠BMC=90°,∴当CE在⊙A的下方与⊙A 相切时,MB的值最小, ∴∠ADM=∠DME=∠AEM=90°,
∵AE=AD,∴四边形AEMD是正方形,∴MD=AE=1,
∴△MBC的面积为 故④正确， 故选: D.
10.【问题解决】证明: 在CD上截取CH=CE, 如图1所示: ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ECH=60°,
∴△CEH 是等边三角形,∴EH=EC=CH, ∠CEH=60°,
∵△DEF是等边三角形, ∴DE=FE, ∠DEF=60° ,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,
∴∠DEH=∠FEC, 在△DEH和△FEC中,
CEEFEREFEC.∴△DEH≌△FEC (SAS),
∴DH=CF,∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD;
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE; 理由如下: ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点 G, 连接FC, 如图2所示: ∵GD∥AB,
∴∠GDC=∠B=60° , ∠DGC=∠A=60° ,
∴∠GDC=∠DGC=60°, ∴△GCD为等边三角形,
∴DG=CD=CG, ∠GDC=60°,
∵△EDF为等边三角形，
∴ED=DF, ∠EDF=∠GDC=60°,
∴∠EDG=∠FDC,
在△EGD和△FCD中,
∴△EGD≌△FCD (SAS) , ∴EG=FC,
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE.
解法二:过点 E作EH∥AB,得等边△ECH,可手拉手证△EHD≌△CEF, ∴HD=CF, ∴EC+CD=CF.
11 解: (1) 全等, 理由是:
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形,
∴AC=BC, DC=EC, ∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE,在△BCD和△ACE中, ∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2) 由 (1) 得: △BCD≌△ACE, ∴BD=AE,
∵△DCE 是等边三角形,
∴∠CDE=60°, CD=DE=2, ∵∠ADC=30° ,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60° =90° ,在 Rt△ADE中, AD=3, DE=2,
(3) 如下图, 过A作AF⊥CD于F,
∵B、C、E 三点在一条直线上，
∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180° ,
∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形,
∴∠BCA=∠DCE=60° , ∴∠ACD=60° ,在Rt△ACF中,∠ACF=60° ,
在Rt△AFD中,
12 (1) 证明: 由题意: AB=AC, AD=AE, ∠CAB=∠EAD=90° , ∵∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE=90° ,∴∠CAE=∠BAD, 在△ACE和△ABD中,
(2) 证明: 如图3中, 根据题意: AB=AC, AD=AE,∠CAB=∠EAD=90° , 在△ACE和△ABD中,
=∠ABD, ∵∠ACE+∠AEC=90° , 且∠AEC=∠FEB,∴∠ABD+∠FEB=90° , ∴∠EFB=90° , ∴CF⊥BD, CD, ∵CF⊥BD, ∴CF 是线段BD 的垂直平分线;
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解法二：通过计算证明CD=DB，ED=EB，也可得结论.
(4) 解: △BCD中,边BC的长是定值,则BC边上的高取最大值时△BCD 的面积有最大值，∴当点 D 在线段BC的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如上图中： ∠EAD=90° ,DG⊥BC于 G, ∠DAB=180° -45° =135° ,∴△BCD的面积的最大值为： 旋转角α=135° .
13解: (1) 如图1中, 连接 BE, CF.
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴AB=BC=AC=8,BD=CD=4, ∠BAD=∠CAD=30° ,
是等边三角形，
∴∠EAF=60° ,∴∠EAG=∠GAF=30° ,∴EG=GF,
∵△ABC,△AEF是等边三角形,∴AB=AC, AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°, ∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF (SAS) , ∴CF=BE=2
(2).结论: ∠DNM=120°是定值. 理由如下:如图2,连接BE,CF.同法可证△BAE≌△CAF(SAS),
∴∠ABE=∠ACF,∵∠ABC+∠ACB=60°+60°=120° ,
∴∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°, ∵EN=NC, EM=MF, ∴MN∥CF,
∴∠ENM=∠ECF,∵BD=DC, EN=NC,∴DN∥BE,
∴∠CDN=∠EBC, ∵∠END=∠NDC+∠NCD,
∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120° .
(3) 如图3中, 取AC的中点, 连接BJ, BN. ∵AJ=
∴BN≤BJ+JN, ∴BN≤5
∴当点 N在 BJ的延长线上时，BN的值最大，
如图4中, 过点N作NH⊥AD于H, 设BJ交AD于K,连接AN.
在Rt△HKN中, ∵∠NHK=90° ,
14. 解: (1) 如图1中, 延长GD交BE于 H.∵四边形ABCD 是正方形，四边形 CEFG是正方形，∴BC=CD, ∠BCD=∠DCG=90°, CE=CG,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴BE=DG,∠BEC=∠CGD,∵∠BEC+∠EBC=90° , ∴∠DGC+∠EBC=90° ,即∠GHB=90°, ∴DG⊥BE,故答案为: DG=BE, DG⊥BE.
(2) ①结论: DG=BE, DG⊥BE.
理由: 如图2, 延长BE, GD交于点 H, ∵四边形ABCD是正方形, 四边形CEFG 是正方形, ∴BC=CD, ∠BCD=∠ECG=90° ,CE=CG,∴∠BCE=∠DCG,∴△BCE≌△DCG(SAS) , ∴∠EBC=∠CDG, BE=DG,
∵∠CDG+∠CDH=180° , ∴∠EBC+∠CDH=180° ,
∵∠EBC+∠BCD+∠CDH+∠DHE=360°,
∴∠DHE=90°, ∴DG⊥BE.
②如图3, 过点 G作GH⊥BC, 交BC延长线于点 H,∵AE=1,AD=4,∴DE=3,∵∠ECG=∠DCH=90° ,∴∠ECD=∠GCH, 又∵EC=CG, ∠EDC=∠H=90° , ∴△ECD≌△GCH (AAS) ,
∴DE=GH=3, CH=CD=4, ∴BH=BC+CN=8,
(3)如图3中, 由(2)可知, CH=4, ∴点G的运动轨迹是直线GH，直线GH与直线CD 之间的距离为4，作点D 关于直线GH的对称点 M,连接BM,GM.在Rt△ABM中, ∵∠A=90°, AB=4, AM=12,
∵BE=DG, DG=GT, ∴BE+BG=BG+GT,
∵GB+GT≥BT, ∴BE+BG≥4
∴BE+BG的最小值为 故答案为
15 解: (1) ①结论: △AGD≌△CED. 理由:
∵四边形EFGD是正方形,∴DG=DE,∠GDE=90°,
∵DA=DC, ∠ADC=90°, ∴∠GDE=∠ADC,
∴∠ADG=∠CDE, ∴△AGD≌△CED (SAS) .
②如图2中, 过点A 作AT⊥GD于 T.
∵△AGD≌△CED, CD=CE, ∴AD=AG=4,
∵AT⊥GD, ∴TG=TD=1, ∴AT=√AG -TG = , ∵EF∥DG, ∴∠GHF=∠AGT, ∵∠F=∠ATG=90°, ∴△GFH∽△ATG, ∴GHHG=FGAT,
(2) ①设AD交PC于O.
∵△AGD≌△CED, ∴∠DAG=∠DCE,
∵∠DCE+∠COD=90°, ∠COD=∠AOP,
∴∠AOP+∠DAG=90° ,∴∠APO=90° ,∴CP⊥AG.
②∵Rt△ACP中, ∠CPA=90°, AC是定值,
∴当∠ACP 最小时, PC 的值最大,
∴当DE⊥PC时, ∠DCE 最大, 则∠ACP的值最小,此时PC的值最大，此时点F与P重合(如图3中)，
∵∠CED=90° , CD=4, DE=2,
∴CP=CE+EF=2+2 ，∴PC的最大值为
16. (1) 证明: ∵GE是AB的垂直平分线, ∴GA=GB, 同理: GD=GC,
在△AGD 和△BGC中,
∴△AGD≌△BGC(SAS) , ∴AD=BC;
(2) 证明: ∵∠AGD=∠BGC, ∴∠AGB=∠DGC,
在△AGB和△DGC中, =GBC, ∴△AGB∽△DGC, 又∵∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF;
(3) 解: 如图2, 延长AD交GB于点M, 交BC的延长线于点H, 则AH⊥BH, ∵△AGD≌△BGC, ∴∠GAD=∠GBC,在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB, ∴∠AGB=∠AHB=90° ,
又∵
17.解: (1) BC=DC+EC, 理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90° , ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中,
∴BC=BD+CD=EC+CD, 故答案为: BC=DC+EC;
理由如下：如图2，连接CE，由(1) 得, △BAD≌△CAE,
∴BD=CE, ∠ACE=∠B,
∴∠DCE=90° , ∴CE +CD =ED ,在 Rt△ADE 中, 又
(3)如图3,作AE⊥AD, 使AE=AD, 连接CE, DE,∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE,在△BAD与△CAE中,CAE (SAS) , ∴BD=CE=9,
∵∠ADC=45° , ∠EDA=45° , ∴∠EDC=90° ,
18 解: (1) ①证明: ∵△ABE和△ACD 是等腰直角三角形, ∴AE=AB,AC=AD, ∠BAE=∠CAD=90° ,∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, ∴∠CAE=∠BAD,
在△BAD和△EAC中,
∴△BAD≌△EAC (SAS) , ∴BD=CE;
②解： 当 时，点F 是BD的中点.理由：
∵△BAD≌△EAC, ∴∠AEC=∠ABD,
∵∠AME=∠BMC, ∴∠EAB=∠BFE=90°,
∴CD=BC, ∴F为BD的中点;
(2) 解: 过点D作DE⊥BD, 截DE=BD, 连接CE,BE, 由 (1) 知△ABD≌△CED(SAS) , ∴AB=CE,
∵△BDE为等腰直角三角形, BD=1千米,
千米， ∠EBD=45° , ∵BC= 千米，
∴BE=BC, ∵∠DBC=15°,
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=45°+15° =60° ,
∴△EBD为等边三角形， 千米，
千米.

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