资源简介

胡不归最值模型
1.如图, △ABC中, AB=AC=10, tanA=2, BE⊥AC于点E, D是线段BE上的一个动点，则 的最小值是( )
D. 10
2.如图所示，菱形ABCO 的边长为5，对角线OB的长为 P为OB上一动点，则 的最小值为( )
A. 4 B. 5
3.如图, 在△ABC中, ∠A=15°, AB=10, P为AC边上的一个动点 (不与A、C重合)，连接BP，则 的最小值是( )
D. 8
4.如图,△ABC为等边三角形,BD平分∠ABC,AB=2, 点E为BD上动点, 连接AE,则 的最小值为( )
A. 1 B. C. D. 2
5.如图, 在Rt△ABC中, ，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD, AE, 使AD=AE. ②分别以点D 和点E为圆心, 以大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M.③作射线AM交BC于点F.若点 P 是线段AF 上的一个动点，连接CP，则 的最小值是 .
6.如图.在平面直角坐标系中，点A坐标为 , 点C坐标为 (2, 0) ,点 B为线段OA上一个动点，则 的最小值为( )
B. 5
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、C两点, 与y轴交于点B(0, - 3), 若P是x轴上一动点, 点D(0,1) 在y轴上,连接PD，则 的最小值是( )
A. 4
8.如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90° , ∠A=30° , 则. .请在这一结论的基础上继续思考：若AC=2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则 的最小值为( )
A. 1 D. 2
9.的动点,则2AD+DC 的最小值为 .
10.如图, 在△ABC中, 交AC于点D.点 P 为线段BD上的动点，则 的最小值为 .
11如图, ABCD中,. ，P为边CD上的一动点，则 的最小值等于 .
12如图，AC 垂直平分线段BD，相交于点O，且 学习笔记：
(2). E为BD边上的一个动点, 当 最小时，
13如图，已知菱形 ABCD的周长为( 面积为 点E为对角线AC上动点，则 的最小值为 .
14如图, 菱形ABCD中, ∠ABC=60°, 边长为3, P是对角线BD上的一个动点,则 最小值是 .
15如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B.若定点P 的坐标为( 点 Q是y轴上任意一点，则 的最小值为 .
16如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则 的最小值为 .
17如图①, 在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°, 点C沿BE折叠与AB上的点D重合.连接DE，请你探究： 请在这一结论的基础上继续思考：如图②,在△OPM中, ∠OPM=90°, ∠M=30°, 若OM=2, 点G是OM边上的动点，则 的最小值为 .
18【问题探究】在等边三角形ABC中, AD⊥BC于点D, AB=2.
(1) 如图1. E为AD的中点, 则点E到AB的距离为 ;
(2) 如图2, M为AD上一动点. 则 的最小值为 ；
【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B 到AC的距离为360km.今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处.
19如图，已知抛物线 与y轴相交于点( 与x轴分别交于点B (3,0)和点 A,且
(1)求抛物线解析式.
(2)抛物线上是否存在一点 Q，使得. 若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点 P，使 值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
20二次函数 的图象与x轴交于A、C两点，点C(3，0)，与y轴交于点B (0, - 3) .
(2)如图1,P是x轴上一动点, 点D(0, 1)在y轴上, 连接PD,求 的最小值；
(3)如图2，点M在抛物线上，若 求点M的坐标.
1. 解: 如图, 作DH⊥AB于H, CM⊥AB于M.
∵BE⊥AC, ∴∠AEB=90° , ∵tanA=BEAE=2,设AE=a, BE=2a, 则有:
或 (舍弃) ,
∵AB=AC, BE⊥AC, CM⊥AB,
(等腰三角形两腰上的高相等)，
∵∠DBH=∠ABE, ∠BHD=∠BEA,
的最小值为 故选: B.
2. 解: 如图, 过点A 作AF⊥OC于点F, 过点 P作PE⊥OC 于点 E. 连接 AC 交 BO 于点 M.
∵四边形OABC是菱形, ∴AC⊥OB,
∴ 当A、P、F三点共线,且垂直OC时,有最小值,AF即为所求， 的最小值为4， 故选：A.
3.解: 如图, 以AP 为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP,过B作BE⊥AD于E,
∴∠BAD=60° , ∴BE=ABsin60° =5
的最小值为 故选: B.
4. 解: 如图, 过E作EH⊥BC于H, 过A作AM⊥BC于M,
∵△ABC为等边三角形, BD平分∠ABC,
当A、E、H三点共线,且垂直 BC时, 有最小值，AM 即为所求的最小值.
在Rt△ABM中, ∠ABM=60°, ∴∠BAM=30°
最小值为 , 故选: C.
5.解：理由如下：由作图步骤可知，射线AF为∠CAB的角平分线，
∵∠ABC=90° , ∠B=30° , ∴∠CAB=60° ,
∵AM平分∠CAB,
过点 P作 PD⊥AB 于点 D, 则
当C、P、D 三点共线, 且垂直于AB时，有最小值.
过点 C做 CE⊥AB 于点 E, 则CE 即为 的最小值,在Rt△APE中,∠CAE=60° , ∴∠ACE=30° ,
的最小值即为 故答案为：
6. 解: 如图, 在x轴上取点D (-3, 0) , 连接AD,过B作BE⊥AD于E, 过C作CF⊥AD 于F,
CF，当C、B、E三点共线，且垂直AD时，有最小值，CF即为所求, ∵CD=OD+OC=3=5, ∠ADC=60°, 的最小值为 故选: A.
7. 解: 过点 P作 PE⊥BC于点E, 过点 D作 DF⊥BC于点 F.
∵ 二次函数 的图象，与y轴交于点B(0，-3) ,
∴c=-3， ∴二次函数的解析式为 令 解得x=-1或3,
∴A (-1, 0) , C(3, 0), ∴OB=OC=3,
∵∠BOC=90° , ∴∠OBC=∠OCB=45° ,
在等腰Rt△CPE中,
当PD+PE 最小的时候, 有最小值.
∴ 当D、P、E三点共线，且垂直BC时最小，DF 即为所求.∵D (0, 1), ∴OD=1, BD=4,
∴在 Rt△DBF 中,
的最小值为4.故选：A.
8. 解: 过C作CE⊥AB于E, 过点P作 PF⊥EC于F
∵∠ACB=90°, 点D 是AB的中点,
∵∠CAB=30° , ∴∠B=60° , ∴△BCD为正三角形,
∴∠DCE=30° , ∴PF= CP,
∴AP+ CP=AP+PF≥AE, ∵∠CAB=30°, AC=2, ∴
的最小值为 故选: C.
9. 解: ∴当 最小时2AD+CD有最小值.如图， 作 过D作DE⊥CG于E,
当A、D、E三点共线，且垂直于CG时，AD+DE有最小值，AF 即为 的最小值，
由题意，
即2AD+CD的最小值为6,故答案为：6.
0. 解: 过点 P作 PE⊥AB于点 E, 过点C作CH⊥AB于点H, ∵BD⊥AC, ∴∠ADB=90°,
由勾股定理得
即点 C、P、E三点共线时，
最小， 的最小值为 CH的长，
的最小值为- . 故答案为：
11.解:如图,过点 P作PE⊥AD,交AD 的延长线于点E, 过点 B作 BF⊥AD, 交AD 的延长线于点 F.
∵AB∥CD, ∴∠EDP=∠DAB=60° , ∴∠DPE=30°,
∴当点B, 点 P, 点 E 三点共线且BE⊥AD时, PB+PE有最小值, EF 即为所求的最小值.
∵∠A=60° , ∴∠ABF=30°,
故答案为：
12. 解: (1) ∵AC垂直平分线段BD, ∴AB=AC,∴∠ABD=∠ADB,∵∠BAD=120° ,∴∠ABD=(180°-120° )÷2=30° , ∵OB=OC, OB⊥OC, ∴∠OBC=45° , ∴∠ABC=30°+45° =75° , 故答案为: 75° ;
(2) 作A关于OB的对称点A', 过A作 AG⊥A'B于 G,过E作EF⊥A'B于F, ∵∠ABO=30° , ∴∠A'BO=30° ,
设AG 与 OB 交于E', BE'即为当 最小时的 BE，∵BC=6, ∠OBC=45° , ∴OB=OC=3
∵∠A'BA=60° , AB=A'B, ∴△ABA'为等边三角形,
故答案为：
13. 解: 连接BD交AC于点O, 过点E作EF⊥AD 于点E, 过点D作 DH⊥AB于点 H,
∵菱形ABCD的周长为
∵菱形ABCD的面积为 即
∴DH=2,
∴在 Rt△ADH中,
∴在 Rt△BDH中,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴在Rt△AOD 中,
∴在 Rt△EAF中,
∴当BE+EF最小时, 最小, 过点 B作 BG⊥AD于点 G, BG为BE+EF的最小值,
的最小值为2.
14. 解: 如图, 作PM⊥AB于 M, CH⊥AB于 H,
∵四边形ABCD是菱形， 根据垂线段最短可知, CH 即为CP+PM的最小值,
在 Rt△CBH中∠HBC=60°, ∠BCH=30°,
最小值是 故答案为：
15. 如图,作∠OPG=30°, 交x轴的负半轴于点 G,过点Q作 QE⊥PG于点 E, 则
当B、Q、E三点共线且垂直PG时, QE+QB有最小值.
过点B做 BF⊥PG于点 F, BF 即为所求.
∴GB=10,
在Rt△BGF中,∠GBF=30°, ∴GF= GB=5,
16.解: ∴当x=0时,y=3, 当y=0时,x=3或x=1,该函数的对称轴是直线x=1，
∵二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C，对称轴与x轴交于点 D，
∴点A 的坐标为 (-1, 0) , 点B的坐标为(3, 0) ,点C的坐标为(0,3) , 点D的坐标为(1, 0) ,
连接CD, 作PE⊥CD于点 E,
∵OD=1, OC=3, ∠COD=90° ,
即
∵点A 和点 D 关于点 O 对称, 则 PA=PD,
则
∴ 当 APE 三点共线时,PE+PD的最小值就是AE的长,
∵ ∠EAD+∠EDA=∠DCO+∠EDA=90°,
即 的最小值为 故答案为：
17. 解: ①∵∠ACB=90° , ∠A=30° ,
∴∠ABC=60°,∵点C沿BE折叠与AB上的点D 重合,
∴∠DBE=∠CBE=30°, ∴∠A=∠ABE,
∵∠BDE=∠C=90° , ∴AD=BD,
∵BC=BD, ∴AB=2BC,∴BC/A=
②如图2, 在 OM 的下方作∠OME=30°, 作GE⊥ME 于点 E,则 当P、G、 E三点共线，且垂直ME时，有最小值，作PF⊥ME 于点 F，则 PF 即为所求, 在 Rt△PMF 中,
的最小值为 ，故答案为： ,
18.解: (1) 如图1, ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=2∠BAC=∠ACB=∠ABC=60° ,∵AD⊥BC, ∴∠BAD=30° , BD=1, ∴AD= 过E作EF⊥AB于点F,∵E为AD的中点,
故答案为：
(2) 如图2, 作 MG⊥AB于点 G, 作CH⊥AB于点H，由题意可知CH 即为所求，求得
即 的最小值为 ，故答案为：
【问题解决】如图3, 作BD⊥AC, 垂足为点 D, 在AC异于点B的一侧作∠CAN=30°, 作BF⊥AN, 垂足为点F, 交AC于M, 则点 M即为所求, 在Rt△ABD中, 易知∠MBD=∠MAF=30°, 在Rt△MBD中, ∠MBD=30°,BD=360km,则MB=2MD,由勾股定理得MD=120 km, ∴AM=AD-MD= (480-120 ) km.故答案为
19. 解: (1) ∵C(0, - 2) , ∴OC=2, ∵tan∠CAO 将A(-2,0), B (3, 0), C (0, - 2) 代入.
，并解得：
∴抛物线解析式为
(2) 存在一点 Q, 使得∠BAQ=∠ABC, 理由如下:如图，过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点 M'，作直线AM'交抛物线于 Q'，∵AM∥BC,∴∠QAB=∠ABC,即Q是满足题意的点,∵B(3, 0), C(0, - 2),
∴直线 BC 解析式是
设直线AM 解析式为 将A(-2,0)代入得:
∴直线AM解析式为 把抛物线与直线 AM联立方程组，解得 (与A重合，舍去)或
∵M、M'关于x轴对称, ∴∠Q'AB=∠QAB=∠ABC, M' ∴Q'是满足题意的点,设直线 AQ'为y=kx 将A(-2, 0) 代入得
直线AQ'为 将抛物线与直线AM'联立方程组，并解得 (舍去)或
综上所述，点Q坐标是(5， ) 或(1, - 2);
(3)在y轴上存在一个点 P，使 值最小，理由如下: 过P作PH⊥AC于H, 过D作DG⊥AC于G,如下图：
∴抛物线对称轴是直线
∵OA=OC=2, ∴△AOC是等腰直角三角形,
中小学教育资源及组卷应用平台
∴∠OCA=45°=∠OAC, ∴△PCH是等腰直角三角形,
∴当D、P、H三点共线，且垂直AC时最小，DG 即为所求的 的最小值, ∵∠OAC=45°, DG⊥AC, ∴△ADG是等腰直角三角形, ∵4(-2,0),D( ,0), ∴AD= ,∴DG=5 即 的最小值是
60. 解: (1) 把C(3, 0) , B(0, - 3) 代入: 得方程组，得： 解得a=1, c=-3. 故答案为1, - 3.
(2) 如图1中, 作 PH⊥BC于H.
∵OB=OC=3, ∠BOC=90° , ∴∠PCH=45° ,在Rt△PCH中,
当PD+PH 最小时, 最小.
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线，且垂直BC时, 作PG⊥BC 于点 G, PD+PH 最小值即为DG的值,在Rt△DGB中,BD=DO+BO=1+3=4,∠DBG=45° ,
的最小值为
(3) 如图2中, 取点E(1,0) , 作EG⊥BC于G,易知 ∴:过点 E 作 BC 的平行线交抛物线于 M ,M ,则S△BCM =3, S△BCM =3,
∵直线BC的解析式为y=x-3,∴直线 M M 的解析式为y=x-1，联立方程组得：
解得
根据对称性可知，直线M M 关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点 M 、M 也满足条件，易知直线M M 的解析式为y=x-5, 由 解得： 或 ,综上所述，满足条件的点 M的坐标为：
M (1. - 4) , M (2, - 3) .

展开更多......

收起↑