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阿氏圆最值模型
1.如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=12, AC=9, 以C为圆心, 6为半径的圆上有一动点D, 连接AD、BD、CD, 则 的最小值为( )
2如图,在⊙O中,点A、点B在⊙O上, ∠AOB=90° , OA=6, 点C在OA上, 且OC=2AC, 点D 是 OB 的中点, 点M 是劣弧AB上的动点, 则CM+2DM的最小值为 .
3如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90° , AC=9, BC=4, 以点C为圆心, 3为半径做⊙C, 分别交AC, BC于 D, E 两点, 点P 是⊙C上一个动点, 则 的最小值为 .
4如图,在Rt△ABC中, AB=AC=4, 点E, F分别是AB, AC的中点, 点P 是扇形AEF 的EF 弧上任意一点, 连接BP, CP, 则 的最小值是 .
5如图，已知菱形ABCD的边长为8， 圆B的半径为4，点 P 是圆B上的一个动点，则 的最大值为 .
6.如图，在. 中， ，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D. 连接AD、BD、CD, 则2AD+3BD的最小值是 .
7如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为(6，3)，点N的坐标为(8，0)，点P在圆上运动.则 的最小值是 .
8如图,半圆的半径为1, AB为直径, AC、BD为切线, AC=1, BD=2, P为弧AB上一动点， 的最小值是 ( )
C.
9如图,在平面直角坐标系中, A(2,0)、B(0, 2)、C(4, 0) 、D(3, 3),P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且 则2PD+PC的最小值是 .
10已知: 等腰Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC=8,0是AB上一点, 以0为圆心的半圆与AC、BC 均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则 的最小值是 .
11(1) 初步思考: 如图1, 在△PCB中, 已知PB=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1, 试证明:
(2)问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P 是圆B上的一个动点，求 的最小值.
(3)推广运用：
如图3, 已知菱形ABCD的边长为4, ∠B=60°, 圆B的半径为2, 点P 是圆B上的一个动点，求 的最大值.
12如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A，C两点， 抛物线 经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时， 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.
13如图，已知二次函数 的图象经过点 且与x轴交于原点及点B (8, 0) .
(1).求二次函数的表达式；
(2).求顶点A的坐标及直线AB的表达式；
(3).判断. 的形状，试说明理由；
(4).若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为 一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点 P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B 后停止运动，求点E的运动时间 t的最小值.
14如图，抛物线 与 x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 抛物线的对称轴 与经过点A 的直线 交于点D，与x轴交于点 E.
(1).求直线AD及抛物线的表达式；
(2).在抛物线上是否存在点M，使得 是以AD为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3).以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出 的最小值.
15.如图所示，在 中， ，以B为圆心作圆B与AC 相切，点P 是圆B上任一动点，连接PA、PC，则. 的最小值为 .
16.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
已知平面上两点A、B，则所有符合 且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.
阿氏圆基本解法：构造三角形相似.
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0, n) , 点P是平面内一动点, 且OP=r, 设 求PC+kPD的最小值.
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步: 如图1, 在OD上取点M, 使得OM: OP=OP: OD=k;
第二步：证明 ；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值.
下面是该题的解答过程(部分)：
解: 在OD上取点M, 使得OM: OP=OP: OD=k,
又∵∠POD=∠MOP, ∴△POM∽△DOP.
【任务】
(1)将以上解答过程补充完整.
(2) 如图2, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90° , AC=4, BC=3, D为△ABC内一动点，满足CD=2，利用 (1)中的结论，请直接写出 的最小值.
17.如图, 点A, B在⊙O上, 且( 点C 是 O A的中点，点D在 学 习笔记：OB上, 且OD=10, 动点P 在⊙O上, 求 的最小值.
18.问题提出: 如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°, CB=4,CA=6,⊙C的半径为2,P为圆上一动点，连接AP、BP，求 的最小值.
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点 D, 使CD=1, 则 又∠PCD=∠BCP, 所以 BCP. 所以 所以 所以 请你完成余下的思考，并直接写出答案： 的最小值为 ；
(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求 的最小值；
(3)拓展延伸: 如图3, 已知在扇形COD中, ∠COD=90°, OC=6, OA=3, OB=5, P是CD弧上一点, 求2PA+PB的最小值.
19如图，在平面直角坐标系中，已知 AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 的最小值.
20.如图所示, 抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点, 与y轴交于点C(0, 3) , D为抛物线的顶点.
(1).求该二次函数抛物线解析式；
(2).坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求 的最小值.
1.解:在CA上截取CM,使得CM=4,连接DM,BM.∵CD=6, CM=4, CA=9, ∴≌△=CM= , ∵∠DCM=∠ACD, ∴△DCM∽△ACD,
即当B、D、M三点共线时，有最小值，MB 即为所求.
在Rt△CBM中, ∵∠BCM=90°, CM=4, BC=12, 的最小值为 故选: B.
2解: 延长OB 到E, 使得BE=OB, 连接ME, CE.∵OM=6, OD=DB=3, OE=12, ∴OM =OD·OE,
2DM,
∵CM+2DM=CM+ME≥CE,
又∵在Rt△OCE中, ∠COE=90°, OC=4, OE=12,
∴由勾股定理得：
∴CM+2DM的最小值为 ∴答案为
3. 解: 在AC上截取CQ=1, 连接CP, PQ, BQ,∵AC=9, 3, CQ=1,
∴当B、Q、P三点共线时,
的值最小, 在Rt△BCQ中, BC=4, CQ=1,
的最小值
故答案为：
4.解: 在AB 上取一点 D, 使得AD=1,连接PD, PA,CD. ∵PA=2. AD=1, AB=4, ∴PAD=ABPA=2,∵∠PAT=∠PAB, ∴△PAD∽△BAP,
∴PD= PB, ∴ PB+CP=CP+PD, ∵PC+PD≥DC,
在Rt△ACD中, ∵∠CAD=90° , AD=1, AC=4,
的最小值为 故答案为
5. 解: 连接PB, 在BC上取一点G, 使得BG=2, 连接PG, DG, 过点D作DH⊥BC交BC的延长线于 H.
又∵∠PBG=∠CBP, ∴△PBG∽△CBP,
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB∥CD, AB=CD=BC=8, ∴∠DCH=∠ABC=60° , 在 Rt△CDH中,
DH= CH=4 , ∴GH=CG+CH=6+4=10,
的最大值为
6.解： 由题意知： 当 取最小值时，2AD+3BD的值最小.
如图, 在 CA上截取CM, 使CM=4, 连接DM, BM, 又∵∠DCM=∠ACD, ∴△DCM∽△ACD,
DM+BD, ∴当DM+BD取最小时, 2AD+3BD 最小.
∴当B、D、M三点共线时, BM 即为DM+BD的最小值,在Rt△CBM中, ∵∠MCB=90° , CM=4, BC=12, ∴
的最小值为
∴2AD+3BD的最小值是 故答案为：
解: 如图, 取OA 的中点D, 连接OP, PD, ∴OD=2, 0
又 是公共角，
∴当M、P、D 在三点共线时, 最小，MD即为所求.作 于B， 则
在 中， 故答案是5.
8. 解: 连接OC、OP,在OC上中点E,∵AC是切线, 且
当 P、D、E三点共线时, PE+PD 最小, DE 即为最小值.
作EF⊥OA于 F, 于Q,
在 中，由勾股定理得：
故选: A.
9.解：如图，由题意可知，P在以O为圆心，半径为2的圆上运动，取OA 的中点 E，则 又∵ =2DE, 当PD+PE最小时, 即当D、P、E三点共线时,2PD+PC有最小值.过点 D作 于点F
在 中，
的最小值是 故答案为：
10. 解: 连接OP、OC, 取OB的中点F, 连接PF、CF, 等腰直角三角形，∴CO平分
则 在 和 中，
当且仅当C、P、F三点共线时， 取得最小值， 故答案为
11. (1) 证明: 又∵
(2).如图2, 在 BC上取一点G, 使得
又∵
当 DPG 三点共线时， 有最小值，DG即为所求，在 中，
的最小值是5.
(3) 同(2) 中证法, 如图3,
当点 P在 DG 的延长线上时，DG即为 的最大值,在 Rt△DGF 中,最大值为
12. 解: (1) 直线y=-5x+5, x=0时, y=5,∴C(0, 5),
当y=-5x+5=0时, 解得: x=1∴A(1, 0)
∵抛物线 经过A，C两点∴
解得： 抛物线解析式为
当 时，解得：x =1, x =5, ∴B(5,0).
(2) 如图1, 过点M作 MH⊥x轴于点 H.
∵A(1, 0), B(5, 0), C (0, 5), ∴AB=5-1=
∵点M为x轴下方抛物线上的点，∴设M(m,m -6m+5)(1 +8]
=--2 (m-3) +18
∴当m=3, 即M (3, - 4) 时, 四边形AMBC面积最大，最大面积等于18.
(3)如图2, 在x轴上取点D (4, 0) , 连接PD、CD
∵∠PBD=∠ABP, ∴△PBD∽△ABP, ∴当点 C、P、D在同一直线上时， 有最小值，CD 即为所求. 的最小值为
13. 解: (1) ∵二次函数. 的图象经过C(2, - 3) , 且与x轴交于原点及点B(8,0) ,∴c=0，二次函数表达式可设为： 将C(2, - 3), B(8,0) 代入. 得方程，并解得：
∴二次函数的表达式为
∴抛物线的顶点A(4, - 4) , 设直线AB的函数表达式为y= kx+m, 将A(4, - 4) , B(8,0)代入, 得: 解得： ∴直线AB的函数表达式为y=x-8；(3)△ABO是等腰直角三角形.
方法1: 过点A作AF⊥OB于点F, 则F(4, 0) ,
∴∠AFO=∠AFB=90° , OF=BF=AF=4,
∴△AFO、△AFB 均为等腰直角三角形,
∴∠OAB=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形.
方法2: ∵△ABO的三个顶点分别是O (O, O) , A (4,-4) , B (8, 0) , ∴OB=8, OA=4 , AB=4 ∴满足OB =OA +AB , ∴△ABO是等腰直角三角形;
(3)如图，以O为圆心， 为半径作圆，则点 P 在圆周上，依题意知：动点 E 的运动时间为 在OA 上取点D,使 连接PD,则在△APO和△PDO中, 满足: ∠AOP=∠POD, ∴△APO∽△PDO, ∴PDAP=OP/A = 从而得： ∴当B、P、D三点共线时, PD+PB取得最小值,过点D作DG⊥OB 于点 G, 由于 且△ABO为等腰直角三角形, 则有 DG=1, ∠DOG=45°∴动点 E 的运动时间t的最小值为：
14. 解 (1) 解: ∵抛物线的对称轴x=3, AB=4,∴A (1, 0), B (5, 0),
将A(1, 0)代入直线y= kx-1,得k-1=0, 解得k=1,
∴直线 AD 的解析式为y=x-1;
将A (1, 0) , B (5, 0) 代入. 得：
解得：
∴抛物线的解析式为
(2) 存在点 M,
∵直线AD的解析式为y=x-1，抛物线对称轴x=3与x轴交于点E, ∴当x=3时,y=x-1=2, ∴D(3,2).现在分两种情况讨论：
①当∠DAM=90°时, 设直线AM的解析式为y=-x+c, 将点A坐标(1, 0) 代入, 得-1+c=0, 解得c=1,
∴直线AM的解析式为y=-x+1,
联立方程组得：
解得 (即为A 点坐标)或
∴点M的坐标为(4, - 3);
②当∠ADM=90°时, 设直线DM的解析式为y=-x+d, 将 D (3, 2) 代入, 得-3+d=2, 解得d=5,∴直线 DM的解析式为y=-x+5,
联立方程组得 解得 或
∴点M的坐标为(0, 5) 或(5, 0) ,
综上, 点 M的坐标为(4, - 3)或(0,5) 或(5,0);
(3) 如图,在AB上取点F, 使BF=1, 连接CF,
又∵∠PBF=∠ABP, ∴△PBF∽△ABP,
即
∴当点C、P、F三点共线时， 的值最小，
∴线段CF的长即为所求的最小值，
∵OC=5, OF=OB-1=5-1=4,
的最小值为
15.解:过B作BH⊥AC于H,取BC的中点D,连接PD,PB, AD, ∵AC为切线, ∴BH为⊙B的半径,
∵∠B=90° , AB=CB=2, ∴AC= BA=2
而∠PBD=∠CBP, ∴△BPD∽△ BCP,
当A、P、D共线时，有最小值，AD 即为所求.而 的最小值为 即 的最小值为 则 的最小值 .故答案为：
16. 解(1) 在OD上取点M, 使得OM: OP=OP: OD=k, 又∵∠POD=∠MOP, ∴△POM∽△DOP.
∴MP: PD=k, ∴MP=kPD, ∴PC+kPD=PC+MP, 当PC+kPD取最小值时, PC+MP有最小值, 即C, P, M三点共线时有最小值，利用勾股定理得：
如图, 在 CB上取一点 M，使得 ∴证得△CDM∽△CBD,
∴当A、D、M三点共线时，有最小值，AM 即为求.在 中， 的最小值为
17.解: 如图,延长OC至 E,使( 连接DE,OP,
在R△DOE中,
又∵
∴PD+2PC=PD+PE≥DE=26,
∴当D、P、E共线时, DE 即为 PD+PE 最小值,在 Rt△DOE 中,
∴PD+2PC 的最小值=26,
的最小值=13.
18. 解: (1) 如图1, 连接AD,
要使 最小，
∴AP+AD最小,当点A,P, D在同一条直线时,AP+AD最小， 即： 最小值为AD, 在 Rt△ACD中, 的最小值为 故答案为：
(2) 如图2, 连接CP, 在CA上取点E, 使 连接BE，则BE 即为所求的最小值.同(1)的方法得出 的最小值为
(3) 如图3, 延长OA到点F, 使
连接PF、OP,
∴当F、P、B三点共线时，取得最小值，连接BF，BF 即为所求， 在 中， 的最小值是13.
19. 解: 如图, 作 于F，可得： ∵OE∥AF,∴OE是 的中位线，
又OD=1,∴半径 在EA上截取 作 于H,
又∠AEM=∠MEG, ∴△MEG∽△AEM,
∴ 当C、M、G在同一条直线上时， 有最小值，连接CG，CG即为所求，
在Rt△CDG中, 的最小值是
20. 解: (1) ∵抛物线与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点,∴设此抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点C(0, 3) 代入, 得a=-1,
∴y= - (x+1) (x-3) =-x +2x+3;
(2)∵点M到点 B的距离为1个单位，
∴点 M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如下图，
在x轴上作点 连接BM、EM、DE,
∴当点D、M、E在同一直线上时，有最小值，DE 即为所求的最小值，过点D作DF 垂直x轴于点 F，
∵D (1, 4),
∴ 在 Rt△DEF 中,
的最小值为

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