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隐形圆最值模型
1如图，在矩形ABCD中， 动点 P 在矩形的边上沿B→C→D→A运动.当点P不与点A、B重合时，将△ABP 沿AP 对折，得到 连接 则在点 P 的运动过程中，线段CB'的最小值为 .
2如图, 在正方形ABCD中, 点E、F分别是DC、AD边上的动点, 且AE⊥BF, 垂足为P，连接CP.若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为( )
3如图, 在矩形ABCD中, AD=5, AB=3 , 点E在AB上, 在矩形内找一点 P, 使得∠BPE=60°, 则线段PD的最小值为 ( )
C. 4
4设0为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且OA⊥OB.连接点 A、B,过O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值 ( )
A. D. 1
5如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为( )
A. 2 C. 3
6如图, 正方形OABC中, A(8,0) , B(8, 8), 点D坐标为(-6,0) , 连接CD, 点 P为边OA上一个动点, 连接CP, 过点D作DE⊥CP于点E, 连接AE, 当AE取最小值时，点E 的纵坐标为 ( )
7已知: 如图, 在Rt△ABC中, BC=AC=2, 点M是AC边上一动点, 连接BM, 以CM为直径的⊙O交 BM于N，则线段AN的最小值为 .
8如图，在△ABC中，BC=2，点A为动点，在点A 运动的过程中始终有 则△ABC面积的最大值为 .
9如图，四边形ABCD中， ，点M是四边形ABCD 内的一个动点，满足. ，则点 M 到直线BC 的距离的最小值为 .
10如图，在等边 中， 点 D, E分别在边BC, AC上, 且 ，连接AD, BE 交于点F, 连接CF, 则CF的最小值是 .
11如图, 在 Rt△ABC中, , 点 D, E分别在边AB, AC上, 且DB=2AD, AE=3EC, 连接BE,CD, 相交于点 O, 则△ABO面积最大值为 .
12如图, 在 Rt△AOB中,( ,⊙O的半径为1,点 P 是 AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 .
13如图，四边形ABCD中， 则
14如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把 沿PE折叠，得到 连接CF.若 则 CF 的最小值为 .
15如图,在矩形 ABCD中, P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP 所在的直线对称，连接PQ，当点P 从点A运动到点D时，线段 PQ在平面内扫过的面积为 .
16在 中， .点D 为平面上一个动点， 则线段CD 长度的最小值为 .
17如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且 点 E 是AD边上一动点,连接EB,EF,则 长度的最小值为 .
C
18如图,在四边形ABCD 中, . , 点 E在线段BC上运动，点F在线段AE上， ，则线段BF的最小值为 .
19如图，等边 中, AB=3, 点D, 点E分别是边BC, CA上的动点, 且BD 连接AD、BE交于点F，当点D从点B 运动到点C时，则点F的运动路径的长度为 .
20.如图,在矩形ABCD 中, 点E在B C上,且 ( 点M为矩形内一动点，使得 连接AM，则线段AM的最小值为 .
21(1) 【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.
如图1，在 中, AB=AC, ∠BAC=90° , D是△ABC外一点, 且; 求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可得到.
(2) 【问题解决】
如图2,在四边形ABCD中, ∠BAD=∠BCD=90°, ∠BDC=25° , 求∠BAC的数.
(3) 【问题拓展】
如图3,如图, E, F是正方形ABCD的边AD上两个动点, 满足AE=DF. 连接CF交BD于点G，连接BE交 AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .
1.解: 在矩形ABCD中,AB=2, AD=
连接AC,
则
如图1所示，当点 P在BC上时，
∵AB'=AB=2, ∴B'在A为圆心,2为半径的弧上运动,当A, B', C三点共线时, CB 最短,
此时
当点 P在 DC上时，如图2所示，此时
当P在 AD上时，如图3所示，此时
综上所述，CB'的最小值为
故答案为：
2.解: ∵AE⊥BF交于点 P, 且∠APB=90°, 则点P的轨迹为以AB 为直径的 圆上,连接AC、BD,交于点 P′,连接CP'，此时 CP'即为所求的最小值，
∵BC=AB=1, ∴AC= , ∵AP=PC, ∴CP的最小值 故选: B.
3.解: 如图, 在BE的上方, 作△OEB, 使得OE=OB,∠EOB=120° ,因为∠BPE=60°,所以P在以0为圆心,OB为半径的圆上运动。连接DO，与圆的交点，即为DP最小值时的P点
∵AB=3 , AE: EB=1: 2, ∴BE=2
∵OE=OB, ∠EOB=120°∴EF=BF= ∠EOQ=∠BOQ=60°, ∴OF=1, OE=2,作OG⊥AD于点 G, 作 OF⊥AB 于点 F,
∴四边形AFOG 是矩形
∴ AG=OG=1, GO=AG=2
∵AD=5, ∴DG=AD-AG=4,
∴在 Rt△DOG中,
∴PD的最小值 故选: A.
4. 解: 如图, 分别作AE、BF垂直于x轴于点 E、F,设OE=a, OF=b, 由抛物线解析式为 则AE=a , BF=b , 连接AB交y轴于点D, 设点D (0, m) ,∵∠AOB=90° , ∴∠AOE+∠BOF=90°,又∠AOE+∠EAO=90°, ∴∠BOF=∠EAO,又∠AEO=∠BFO=90°, ∴△AEO∽△OFB.
即 化简得 设AB 的解析式为 y= nx+m, 把 代入得：m=1， ∴说明直线AB过定点D，D 点坐标为(0, 1) .
∵∠DCO=90°, DO=1,∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离为 时，点C到y轴的距离最大.故选：A.
5.解: 连接AM, ∵点B和M关于 AP 对称,
∴AB=AM=3, ∴M在以A圆心, 3为半径的圆上,∴当A, M, C 三点共线时, CM 最短,
在 Rt△ABC中， 由勾股定理可得：
AC=5, AM=AB=3, ∴CM=5-3=2, 故选: A.
6. 解: ∵ DE⊥CP, ∴∠DEC=90°,
∵ C(0, 8), D (-6, 0) , ∴由勾股定理得CD=10取CD的中点F(-3, 4) , 则点E在以点F为圆心, FE=FD=FC=5为半径的圆上运动.
连接AF，交⊙F与点 E，此时为AE 的值最小.
过点 F做 FM⊥x轴, 过点 E 作 EN⊥x轴于点 N, 则FM为△COD的中位线，
在 Rt△AFM中,
∵∠FMA=∠ENA=90°,
∴ 点 E 的纵坐标为 故选 B.
7.解: 如图, 连接CN, ∵CM是⊙O的直径,
∴∠CNM=90°, ∴∠CNB=90° , ∴点 N在以BC为直径的⊙O'上, ∵⊙O'的半径为1, ∴当点O' 、N、A共线时, AN最小, 在 Rt△AO' C 中,
∵O' C=1, AC=2, ∴O' A=
即线段AN长度的最小值为 故答案为
8. 解: 如图, △ABC的外接圆⊙O, 连接OB、OC,∵∠BAC=45° , ∴∠BOC=2∠BAC=2×45° =90° ,
过点O作OD⊥BC, 垂足为D, ∵OB=OC, ∴BD=CD 保持不变，∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，此时BC边上的高为：
∴△ABC的最大面积是： 故答案为：
9. 解: 取AD的中点O, 连接OM, 过点 M作 ME⊥BC交 BC 的延长线于E, 过点O 作 OF⊥BC于 F, 交CD于G,则OM+ME≥OF.
∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,∴OM= AD=2,
∵AB∥CD, ∴∠GCF=∠B=60° ,
∴∠DGO=∠CGF=30° ,
∵AD=BC, ∴∠DAB=∠B=60° ,
∴∠ADC=∠BCD=120° ,∴∠DOG=30° =∠DGO,
∴DG=DO=2, ∵CD=4,
OF=3 , ∴ME≥OF-OM=3 -2, ∴当O, M,E 共线时，ME 的值最小，最小值为
解法二：M在以AD为直径的圆上运动，过点O作OF⊥BC于点F，则可以求出最小值.
10. 解: 如图, ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC, ∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°,
∵BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS)∴∠BAD=∠CBE,又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE,
∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC, ∴∠AFE=60°,
∴∠AFB=120°, ∴点F的运动轨迹是O为圆心,
OA为半径的弧上运动((∠AOB=120° , OA=2 ),连接OC交⊙O于 P，当点F与P重合时，CF的值最小，最小值：
故答案为
11.解: 如图, 过点 D作DF∥AE,则
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB 时，△ABC的面积最 大为:
此时△ABO的面积最大为： 故答案为： 92.解: 连接OP、OQ, ∵PQ是⊙O的切线, ∴OQ⊥PQ, 当OP 最小时，线段PQ 的长度最小, 当OP⊥AB时, OP 最小,
作OP' ⊥AB于 P' , OP' 即为OP 的最小值,
在 Rt△AOB中,
在 Rt△AOP' 中,
∴线段 PQ长度的最小值
故答案为：
13.解: ∵AB=AC=AD=BO, ∴点B、C、D在以A点为
圆心, AB为半径的圆上, ∴∠BAC=2∠BDC,
∠CAD=2∠DBC=2×15° =30° ,
设∠BDC=x, 则∠BAC=2x, ∵BO=BA,
∴∠BOA=2x, ∵∠BOA=∠OAD+∠ADO,
∴∠ADO=2x-30° , ∵AC=AD,
即 解得x=35° , 即∠BDC=35° .故答案为35°.
14.解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，
根据折叠的性质, △EBP≌△EFP, ∴EF⊥PF, EB=EF,
∵E是AB边的中点, AB=10, ∴AE=EF=5,
∵AD=BC=12, ∴CE==13,
∴CF=CE-EF=13-5=8. 故答案为: 8.
15. 解: ∵当点 P 从点A 运动到点 D时, PQ=PA,∴点Q 运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ 在平面内扫过的面积，
∵矩形ABCD 中,AB=1,AD= ,∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90° . ∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30° , ∴∠ABQ=120° ,
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，S△ABD=S△BQD, ∴S 阴影部分=S 四边形ABQD - S 扇形ABQ=2S△ABD - S 扇形ABQ, =S 矩形ABCD - S 扇形 ABQ 故答案为：
16. 解: 如图. ∵∠ADB=45°, AB=2, 作△ABD的外接圆O(因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧)，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小.
∵∠ADB=45°, ∴∠AOB=90°, ∴△AOB为等腰直角三角形，
∵∠OBA=45° , ∠ABC=90° , ∴∠OBE=45° ,作OE⊥BC于点 E, ∴△OBE为等腰直角三角形.
在Rt△OEC中, 当O、D、C 三点共线时，CD 最小为 故答案为：
17. 解: ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°, ∵∠ADF=∠FCD,
∴∠FDC+∠FCD=90° , ∴∠DFC=90° ,
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设 DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是G，连接GE，AF, GO ∴GE=BE, ∴BE+EF+AF≥GO
∴BE+EF≥GO-AF,即当G、E、F、O四点共线时, BE+EF有最小值。过点O作OH⊥AB 于点 H, 在 R t△GOH中, 的长度最小值为 故答案为：
18. 解: ∵∠BAD=90° , ∴ ∠BAE+∠DAE=90° ,
∵∠ADF=∠BAE, ∴ ∠ADF+∠DAE=90° ,
∴∠DFA=90° ,
∴点F 在以AD为直径的半圆O上运动，当点F 运动到OB 与⊙O是交点 F'时，线段BF'即为所求最小值，
∴线段 BF 的最小值为 故答案为：
19. 解: ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC, ∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°,
∴在△ABD和△BCE中, 易证△ABD≌△BCE(SAS) ,
∴∠BAD=∠CBE, ∵∠AFE=∠BAD+∠FBA=∠CBE+∠FBA=∠ABC=60° , ∴∠AFB=120° ,
∴点 F的运动轨迹是以点O为圆心，OA 为半径的AB弧，如图，
此时∠AOB=120° , OA=OB=
所以弧AB的长为：
则点 F的运动路径的长度为 故答案为：
20. 解: 如图, 作△EMC的外接圆⊙O, 连接AO, CO,EO, 作OF⊥AB, ON⊥BC,
∵BC=5, 点E在BC上, 且CE=4BE,
∴BE=1, EC=4,
∵∠CME=45° , ∴∠EOC=90° ,
∴BN=OF=3, AF=6-2=4,在Rt△AFO中, 当点 M是OA与⊙O的交点时，AM最小，∴AM的最小值
故答案为：
21. 解: (1) 如图1, ∵AB=AC, AD=AC,
∴以点A 为圆心, 点 B、C、D必在⊙A 上,
∵∠BAC是⊙A 的圆心角, 而∠BDC 是圆周角,
故答案是：45；
(2) 如图2, 取BD的中点 O, 连接AO、CO.
∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴点 A、B、C、D共圆,
∴∠BDC=∠BAC, ∵∠BDC=25°, ∴∠BAC=25°,
(3) 如图3, 在正方形ABCD中, AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA, ∠ADG=∠CDG, 在△ABE和△DCF中,易证, ∴△ABE≌△DCF(SAS) , ∴∠1=∠2,在△ADG和△CDG中, 易证∴△ADG≌△CDG(SAS) ,
∴∠2=∠DAG, ∴∠1=∠DAG,
∵∠BAH+∠DAG=∠BAD=90°,
∴∠1+∠BAH=90° , ∴∠AHB=180° -90° =90° ,取AB的中点O，则H点在以AB为直径的一段弧上运动。连接 OH、OD, ∴当 O、D、H三点共线时, DH的长度最小，DP 即为所求， 故答案为：

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