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瓜豆原理最值模型
1如图, 点A,B的坐标分别为A(2,0), B(0,2) , 点C为坐标平面内一点,BC=1, 点M为线段AC的中点, 连接OM, 则OM的最大值为( )
2如图，在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将Q绕点P(1, 0) 顺时针旋转90°, 得到点Q', 连接OQ', 则OQ'的最小值为( )
3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点， 点C为平面内一动点， 连接AC, 点M是线段AC上的一点, 且满足CM:MA=1∶2. 当线段 OM取最大值时，点M的坐标是 ( )
4.如图，已知AB弧的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB 弧的中点，将AB弧绕点A逆时针旋转 后得到AB'弧，则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是 ( )
D. 2π
5.如图，已知在矩形ABCD中， 点P 是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C ，当点P运动时，点C 也随之运动.若点P从点A运动到点D，则线段CC 扫过的区域的面积是 ( )
. Cl
A. π D. 2π
6.如图，在矩形ABCD中， 点P 在线段BC 上运动(含B、C两点),连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为( )
A. D. 3
7.如图,在等腰Rt△ABC中, 点P 在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( )
B. π D. 2
8.如图，在 中， 点P 是平面内一个动点，且 Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 .
9.如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP 以B为中心逆时针旋转( 得到线段BQ，连接MQ.若 则MQ的最小值为 .
10.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边 ，连接CG，则CG的最小值为 .
11如图，⊙O的直径 C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C 逆时针旋转 得到CD,连结OD,则 OD的最大值为 .
12如图，在 中， 点P从点A 出 发沿A B方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A 关于直线CP的对称点为. 连结 在运动过程中，点 到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段 扫过的面积为 .
13如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线 与x轴、y轴分别交于点D、E, 则 面积的最小值为 .
14如图, 线段AB=2, 点C为平面上一动点, 且∠ACB=90°, 将线段AC的中点P绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 .
15如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B 在y轴上运动时，连接OP，求OP的最小值.
16如图，正方形ABCD中， O是BC边的中点，点E是正方形内一动点， 连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转 得DF, 连接AE, CF.
(1) 求证:
(2) 若A, E, O三点共线, 连接OF, 求线段OF的长.
(3)求线段OF 长的最小值.
17已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点 A 旋转一周.
(1) 如图①, 连接BG、CF,求 的值；
(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时,连接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与 BE 的关系，并说明理由；
(3) 连接BE、BF, 分别取BE、BF的中点N、Q, 连接QN,AE=6, 请直接写出线段QN扫过的面积.
18在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.
是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图1.求CF 的长；
是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3.在点M从点C 到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G都在直线AE上，如图4. 当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为 ，点G 所经过的路径长为 .
1.解: 如图, ∵点C为坐标平面内一点, BC=1, ∴C在⊙B上, 且半径为1, 连接BA,取AB的中点D，连接！MD,OD,
∵AM=CM,AD=BD,∴DM是△ABC的中位线, 为定值， ∴点M就在以D为圆心， 为半径的圆上运动，当M在OD延长上时，OM最大，此时 即OM的最大值为 故选: B.
2解:由直线ABDE 解析式,可得A(0,2)、B(4,0),将点A绕点 P 顺时针旋转90°, 得A′(3,1),将点 B绕点 P 顺时针旋转90°,得B′(1,-3),作直线A′B′,易证△PB'Q'≌△PBQ,
∵点Q在直线AB上运动，
∴点Q'在直线A'B'上运动。
当OQ′⊥A′B′时, 有最小值, OE 即为所求.
先求直线A'B'的解析式为y=2x-5,设直线A'B'与y轴交于点D，与X轴交于点 F.
∴D(0,-5),F( ,0), ∴DE=
∴利用三角形面积法：
即OQ的最小值是 .故选: B.
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3..解： ∵点C为平面内一动点， ∴点C在以点B为圆心， 为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点 连接BD,分别过C、M作CF⊥OA, ME⊥OA, 垂足为F、E,
∵∠OAM=∠DAC, ∴△OAM∽△DAC,
∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，
∵y轴⊥x轴, CF⊥OA, ∴∠DOB=∠DFC=90° ,
∵∠BDO=∠CDF, ∴△BDO∽△CDF,
即 解得 同理可得, △AEM∽△AFC,
即
解得
∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是 故选D.
4解:如图,设AB弧的圆心为O,连接OP,OA,AP',AP, AB', ∵圆O半径为5, 所对的弦AB长为8, 点 P是AB弧的中点，
根据垂径定理，得
∵将AB弧绕点A 逆时针旋转90°后得到AB'弧，
运动轨迹就是以点A为圆心，AP为半径的一段圆弧。
则在该旋转过程中，点P的运动路径长是 π. 故选: B.
5.解：如图，当P与A 重合时，点C关于BP 的对称点为C ，当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C ，
∴点P 从点A运动到点 D，则线段CC 扫过的区域为：扇形BC C 和△BCC ,
在△BCD 中,
∴∠CBC =60° , ∵BC=BC , ∴△BCC 为等边三角形, ∴
作C F⊥BC于F,
∵△BCC 为等边三角形,
.线段CC 扫过的区域的面积为： 故选: B.
6解: 如图, 将AB绕点A 逆时针旋转60° , 得AB',作直线B'Q交AD于点 E, 过点D 作DH⊥QE于 H.
∵∠BAB'=∠PAQ=60° , ∴∠BAP=∠B'AQ,BA=B'A, PA=QA,
在△BAP 和△B'AQ中, 易证△BAP≌△B'AQ (SAS) ,
∴∠ABP=∠AB'Q=90° ,
∴点 Q 就是在垂直AB′的直线B′E 上运动
∴点Q在射线B'E上运动，
∵DH⊥EF, ∠DEH=∠AEB'=60° ,
根据垂线段最短可知，当点 Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为 , 故选: A.
7 解: 如图, 取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F, 连接OC、OP、OM、OE、OF、EF,
∵在等腰Rt△ABC中, 即A、C、P共圆, 圆心是O点, ∵M为PC的中点, ∴OM⊥PC(垂径定理), ∴∠CMO=90° ,
∴点M在以OC为直径的圆上，点P 点在 A 点时，M点在E点;点P 点在B 点时,M点在F 点,易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2， ∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长
故选: B.
8解: 如图, 取AB的中点M, 连接QM, CM,在Rt△ABC中, ∠ACB=90° , AC=8, BC=6,
∴AB=10, ∵点M是AB的中点, =5, ∵点Q是PB的中点, 点M是AB的中点, ∴QM是△APB的中位线,
在△CMQ中, CM-MQ∵,点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q 以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴当点C，M，Q三点共线，且点 Q在线段CM上时，m取得最小值 ，当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值 ，综上，m的取值范围为： 故答案为：
9解:连接BM,将BM绕B逆时针旋转90°得BF,连接MF, QF, 如图:
由题意得: ∠PBQ=∠MBF=90°
∴∠PBQ-∠MBQ=∠MBF-∠MBQ, ∴∠PBM=∠QBF由旋转性质得PB=QB, MB=FB,
∴△BPM≌△BBQF (SAS) , ∴MP=QF=1,
∴Q 点是以F为圆心，1为半径的弧上运动，
∴当M、Q、F三点共线，且Q点在线段FM上时，即为所求的MQ最小值.
∴ MQ 最小值即为此时FM-QF 的值.
∵ 将BM绕B逆时针旋转90°得BF,
∴△BFM是等腰直角三角形， 在 Rt△BCM中, BC=4, MC=2,
∴MQ 的最小值为
故答案为：
10解: 将△EFB绕点E 旋转60°, 使EF与EG 重合, 得到△EFB≌△EHG, 从而可知△EBH为等边三角形, 点G 在垂直于HE 的直线HN上, 作 CM⊥HN,则 CM 即为CG 的最小值,作EP⊥CM,可知四边形HEPM 为矩形, 则 故答案为
11解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE, 连接CE, BD,
∵将CB绕点C 逆时针旋转90°得到CD,∴BC=CD,∠DCB=90° , ∴∠DBC=45° , BD= BC,
∵△OBE是等腰直角三角形，
∵∠DBC=∠OBE, ∴∠OBD=∠CBE, 又∵ , ∴△DBO∽△CBE, ∴OD/CE=BB/ = ∴当CE有最大值时，O D有最大值，当点C，点O，点E三点共线时，EF 就是CE有最大值为 ∴OD的最大值为
12. 解: 如图左中, 过点B 作BH⊥AC 于 H.
在Rt△ABH中, 在 Rt△BCH中, ∠BCH=45° , ∴CH=BH=1,
,当CA' ⊥AB时, 点 A' 到直线AB的距离最大,设CA'⊥AB 交于AB的延长线于K.在 Rt△ACK中,
如图右中，点P 到达点B时，
线段A'P扫过的面积
故答案为：
13 解: 如图, 连接OB, 取OA的中点M, 连接 CM,过点M作MN⊥DE 于N. =1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M, 设⊙M交MN于C' .
∵直线 与x轴、y轴分别交于点 D、E，
∴D(4, 0) , E(0, - 3) , ∴OD=4, OE=3,
∵∠MDN=∠ODE, ∠MND=∠DOE, ∴△DNM∽△DOE,
当点C与C'重合时，C'N最小，此时△C'DE的面积最小，△C'DE的面积最小值 故答案为2.
14解: 如图, 取AB的中点D, 连接CD, 过点 A 作AE⊥AB, 使 连接QE、BE.
∵∠ACB=90°, D为AB的中点,
∵∠QAC=90° , ∠EAB=90° , ∴∠QAE=∠CAD,
当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为
故答案为：
15 解: 如图, 以OA为对称轴作等边△ADE, 连接EP,并延长EP交x轴于点F，
∵△ADE 和△ABP 是等边三角形,
∴AB=AP, AD=AE, ∠BAP=∠DAE=60° ,
∴∠BAD=∠PAE,
在△ADB和△AEP 中, 易证△AEP≌△ADB(SAS) ,
∴∠AEP=∠ADB=120° , ∴∠OEF=60° ,
∴点P 在直线EF上运动, 当OP⊥EF时, OP 有最小值, OH 即为所求
则OP的最小值为
16 (1) 证明: 由旋转得: ∠EDF=90° , ED=DF,
∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ADC=90° , AD=CD,
∴∠ADC=∠EDF, 即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF, 在△ADE 和△CDF中,易证△ADE≌△CDF (SAS) , ∴AE=CF;
(2)解：如图2，过F作OC的垂线，交BC 的延长线于P, ∵O是BC的中点, 且.
∵A, E, O三点共线,
由勾股定理得: AO=5, ∵OE=2, ∴AE=5-2=3, 由
(1)知: △ADE≌△CDF,∴∠DAE=∠DCF,CF=AE=3,
∵∠BAD=∠DCP, ∴∠OAB=∠PCF,
∵∠ABO=∠P=90° , ∴△ABO∽△CPF,
又∵
在Rt△POF中，由勾股定理得：
(3)解：如下图，由于OE=2，所以E点可以看作是以0为圆心，2为半径的半圆上运动，连接DO,将 DO绕点 D逆时针旋转90° ,得DO',△DOE≌△DO′F, ∴OE=O′F=2, 由题意, 点F在以点O'为圆心，O'F为半径的圆上运动，则OM 即为所求， 即 OF 的最小值是
17解: (1) 如图1, 连接AF, AC, ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∠CAB=∠GAF=45° , ∠BAD=90° , ∴∠CAF=∠BAG,
(2). BE=2MN, MN⊥BE, 理由如下: 如图2, 连接ME, 过点C作CH∥EF, 交直线ME于H, 连接BH, 设CF与AD交点为P, CF与AG交点为R,
∵CH∥EF, ∴∠FCH=∠CFE, ∵点 M是CF的中点,
∴CM=MF, 又∵∠CMH=∠FME,
∴△CMH≌△FME(ASA) , ∴CH=EF, ME=HM,
∴AE=CH, ∵CH∥EF, AG∥EF, ∴CH∥AG,
∴∠HCF=∠CRA, ∵AD∥BC, ∴∠BCF=∠APR,
∴∠BCH=∠BCF+∠HCF=∠APR+∠ARC,
∵∠DAG+∠APR+∠ARC=180° , ∠BAE+∠DAG=180° ,
∴∠BAE=∠BCH,
又∵BC=AB, CH=AE, ∴△BCH≌△BAE(SAS) ,
∴BH=BE, ∠CBH=∠ABE, ∴∠HBE=∠CBA=90° ,
∵MH=ME, 点N是BE中点,
∴BH=2MN, MN∥BH, ∴BE=2MN, MN⊥BE;
(3) 如图3, 取AB中点O, 连接ON, OQ, AF,∵AE=6, ∴AF=6 , ∵点N是BE的中点, 点Q 是BF的中点，点O是AB的中点，
∴点Q 在以点O为圆心， 为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴线段QN扫过的面积 (即圆环的面积).
119.解: (1) 如图, ∵△ABC和△BEF 是等边三角形, ∴BA=BC, BE=BF, ∠ABC=∠EBF=60° ,
∴∠ABE+∠CBE=∠CBF+∠CBE, ∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF (SAS) , ∴CF=AE=1;
(2) 由(1) △ABE≌△CBF, ∴CF=AE, ∠BCF=∠BAE=60° , ∵∠ABC=60° , ∴∠BCF=∠ABC, ∴CF∥AB,又点E在点C处时, CF=AC, 点E在A处时, 点F 与点C重合. ∴点F运动的路径长=AC=3.
(3) 如图3, 取BC的中点H, 连接HN,
∵△ABC 和△BMN是等边三角形, ∴BM=BN,∠ABC=∠MBN=60° , ∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH,
∴∠DBM=∠HBN, ∴△DBM≌△HBN (SAS) ,
∴HN=DM, ∠BHN=∠BDM=90° , ∴NH⊥BC,又点M在C处时， 点M在D处时，点N与点H重合.∴点N所经过的路径的长
(4) 如图4, 连接AC, BD, 相交于点O, 取AB的中点M, BC 的中点N, 连接MF, NH,
点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上; ∵∠ABC=∠FBH=90°,
∴∠ABC-∠FBC=∠FBH-∠FBC, 即∠ABF=∠CBH, ∴△MBF≌△NBH (SAS) , ∴NH=MF=BM=BN,
∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上；
∴当点E在B处时,点F,B,H重合,点G 和点B重合;当点E在点C 处时，点F 和点O重合，点G与点C重合；连接CH, OG, 由上证明可得, NH=NB=NC,
∴∠BHC=90° ,∴点C,G,H三点共线,∴∠AGC=90° ,
∵点O是AC 的中点, ∴OG是 Rt△AGC斜边中线,
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上；
∴点H所经过的路径长 点G 所经过的路径长故答案为：

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