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费马点最值模型
1如图,已知矩形ABCD, AB=4, BC=6,点M为矩形内一点, 点E为BC边上任意一点, 则 MA+MD+ME 的最小值为 ( )
D. 10
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30° ,AB=2.若点P是△ABC内一点,则 PA+PB+PC 的最小值为 .
3两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示.若∠α=30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 .
4已知到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△ABC是锐角(或直角)三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°. (例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点).
(1).若 P为△ABC 的费马点, 则 PA+PB+PC= ;
(2).若 P为△ABC 的费马点, 则PA+PB+PC= .
5问题背景：如图1，将 绕点 A 逆时针旋转 得到 DE与BC交于点P，可推出结论：
问题解决：如图2，在 中， 点O是 内一点，则点O到， 三个顶点的距离和的最小值是 .
6如图，已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为 则这个正方形的边长为 .
7如图， 已知，在 中， 内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2，求AC的长.
8在 中，若其内部的点P 满足 ，则称P为 的费马点.如图所示，在△ABC中， 已知， 设P为 的费马点，且满足 则 的面积为 .
9已知, 在△ABC中, ∠ACB=30°
(1) 如图1, 当AB=AC=2, 求BC的值;
(2) 如图2, 当AB=AC, 点P 是△ABC 内一点, 且1 求∠APC 的度数;
(3)如图3,当 点P 是△ABC内一动点,则 PA+PB+PC的最小值为 .
10如图，点P 是正方形ABCD内一点，并延长AP 与DC 相交于点Q.
(1) 若 求∠DPQ的大小;
(2) 若PA+PB+PD的最小值为 请直接写出正方形ABCD的边长.
11如图, Rt△ABC中, ∠BAC=90° , AB=AC, 点D是BC边上一动点, 连接AD, 把AD绕点A 逆时针旋转90° , 得到AE,连接CE, DE. 点F是DE的中点, 连接CF.
(1) 求证:
(2)如图2所示, 在点D运动的过程中, 当BD=2CD时, 分别延长CF, BA, 相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
(3) 在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点 P，使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP 的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长.
12如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且OA 是等边三角形，且点C在第二象限，M为 平分线上的动点，将OM绕点O逆时针旋转( 得到ON,连 接CN,A M, B M.
(1) 求证:
(2) 若A 点坐标为(0,4) ;
①当 的值最小时，请直接写出点M的坐标；
②当 的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由.
13(1) 【操作发现】如图1，将 绕点A 顺时针旋转( 得到 连接BD, 则 度.
(2) 【类比探究】如图2, 在等边三角形ABC内任取一点P, 连接PA, PB, PC,求证： 以PA，PB，PC的长为三边必能组成三角形.
(3) 【解决问题】如图3，在边长为 的等边三角形ABC 内有一点 P,∠APC=90° , ∠BPC=120° , 求△APC 的面积.
(4) 【拓展应用】如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量 BC=5, ∠ACB=30°, P为△ABC内的一个动点, 连接PA, PB, PC. 求PA+PB+PC的最小值.
14阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：
给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置.
托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.
问题解决：
(1)费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形, 故 PD=PB, 由旋转可得 DE=PC, 因此 PA+PB+PC=PA+PD+DE, 由可知，PA+PB+PC 的最小值与线段 的长度相等；
(2)如图2,在直角三角形△ABC内部有一动点P,∠BAC=90°,∠ACB=30°,连接PA, PB, PC, 若AB=2, 求PA+PB+PC的最小值;
(3) 如图3, 菱形ABCD的边长为4, ∠ABC=60°,平面内有一动点E, 在点E运动过程中, 始终有∠BEC=90°, 连接AE、DE, 在△ADE内部是否存在一点P,使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由.
15.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： (其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,连接PP',由 可知△PCP'为 三角形， 故 又 故 由可知, 当B, P, P′, A′在同一条直线上时, PA+PB+PC取最小值,
如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时， “费马点”为该三角形的某个顶点.如图3， 若 则该三角形的“费马点”为 点.
(2) 如图4, 在 中，三个内角均小于 且AC=3, BC=4, ∠ACB= 已知点P为△ABC的“费马点”, 求PA+PB+PC的值;
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知. 现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A, B, C的铺设成本分别为a元/ km, a元/ km, a元/ km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 元. (结果用含a的式子表示)
16问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化.
问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC, 求PA+PB+PC 的最小值.
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线)转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直).
问题解决: 如图2, 将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP'A', 连接 记A'C与AB交于点D,易知] 由 可知△P'BP为正三角形，有
故 因此, 当A′、P′、P、C共线时, PA+PB+PC有最小值是
学以致用：
(1) 如图3, 在△ABC中, ∠BAC=30° , AB=4, CA=3, P为△ABC内部一点,连接PA、PB、PC, 则 PA+PB+PC 的最小值是 .
(2)如图4, 在△ABC中,. P 为△ABC内部一点, 连接PA、PB、PC, 求 的最小值.
(3)如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ, 求PA+PD+PQ的最小值.
1.解: 将△AMD 绕点 A 逆时针旋转60°, 得到△AM' D' , MD=M' D' , 易得到△AMM'为等边三角形, ∴AM=MM’ ,
∴D' 、M' 、M、E四点共线时, 且当D' E⊥BC时有最小值，D'F即为所求。
此时，
∴MA+MD+ME 的最小值为 故选: B.
2解: 以点A 为旋转中心, 顺时针旋转△APB 到△AP'B' , 旋转角是60° , 连接BB' 、PP' , 如图:
则∠PAP' =60° , AP=AP' , PB=P' B' ,
∴△APP' 是等边三角形, ∴AP=PP' ,
∴PA+PB+PC=PP' +P' B' +PC,
的最小值就是CB' 的值,即PA+PB+PC的最小值就是CB' 的值,
∵∠BAC=30° , ∠BAB' =60° , AB=2,
故答案为：
3 解: 如图, 作DE⊥BC于E, 把△ABP 绕点B 逆时针旋转60°得到△A'BP' , ∵∠α=30° , DE=3cm,
∴CD=2DE=6cm, 同理: BC=AD=6cm,
由旋转的性质,A' B=AB=CD=6cm, BP' =BP, A'P'
=AP, ∠P' BP=60° , ∠A'BA=60° ,
∴△P' BP 是等边三角形, ∴BP=PP',
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=A'C时最短, 连接A'C, 与BD 的交点即为P点, 即点 P到A, B,C三点距离之和的最小值是A'C.
∵∠ABC=∠DCE=∠α=30° , ∠A' BA=60° ,
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 故答案为
4. 解: (1).如图1, 过A作AD⊥BC, 垂足为D,过B, C分别作∠DBP=∠DCP=30°,则PB=PC, P为△ABC的费马点，
∴PD=1, ∴PB=2PD=2,
(2).如图2: ∵AB=2 , BC=2, AC=4, ∴AB +BC ∵BC/AC= ,∴∠BAC=30°,将△APC绕点A,逆时针旋转60°, 由旋转可得: △APC≌△AP'C',
∴AP'=AP,PC=P'C',AC=AC',∠CAC'=∠PAP'=60° ,
∴△APP' 是等边三角形, ∴∠BAC=90°,
∵P为△ABC的费马点, 即B, P, P', C'四点共线时,PA+PB+PC=BC',
故答案为：5,2
5 (1) 如图, 在EP上截取EP'=CP, 易证△AEP'≌△ACP (SAA) , ∴AP'=AP, ∠EAP'=∠CAP,
∴△PAP'是等边三角形,.
(2)解：如图：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM 为边作等边△OME. 连接ND,作DF⊥NM, 交NM的延长线于F.∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60° ,MG=MD,∴∠GMO=∠DME,
在△GMO和△DME中: 易证△GMO≌△DME(SAS),∴OG=DE, ∴NO+GO+MO=DE+OE+NO
∴当D、E、O、N四点共线时, NO+GO+MO值最小,
∵∠NMG=75° , ∠GMD=60° , ∴∠NMD=135° ,
∴NF=MN+MF=6+4=10,
∴MO+NO+GO最小值为 故答案为：
6.解：以A 为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN, 连NE, MC, 过M作 MP⊥BC交BC的延长线于 P点，如图，
∴MN=BE, AN=AE, ∠NAE=60° ,
∴△ANE 为等边三角形, ∴AE=NE,
∴AE+EB+EC=MN+NE+EC,
当AE+EB+EC取最小值时, 折线 MNEC 成为线段MC,则 ∵AB=AM, ∠BAM=60°, ∴△ABM为等边三角形, ∴∠MBC=150°, 则∠PBM=30°,在Rt△PMC中, 设
即正方形的边长为 ，故答案为：
解: (2) 如图中, 将△BCE绕点 B 逆时针旋转60°得到△BGF,连接EF, AG, 过点G作GH⊥AC交AC的延长线于点 H. ∴EC=FG
∵EB=BF, ∠EBF=60°, ∴△EBF是等边三角形,
∴BE=EF, ∴AE+EC+EB=AE+FG+EF≥AG,
∴当A, E, F, G共线时, AE+EC+EB的值最小, 它最小值为即为AG=2.
同理可得: △BCG是等边三角形, 则∠BCG=60°,∴∠HCG=30°
设AC=BC=CG=m, 则
(负根已经舍去)，
8. 解: 如图,延长BP交AC于D,∵∠BAC=∠PBA=45° , ∴∠ADB=90° , AD=BD,
∵P为△ABC的费马点, ∴∠APB=∠CPA=120°,
∴∠PAC=45° -15° =30° , ∴∠APD=60° ,Rt△PAD中, ∵PA=4, ∴PD=2, AD=2
∵∠APC=120° , ∴∠CPD=120° -60° =60° ,Rt△PDC中, ∠PCD=30° , ∴CD=2 , ∴AC= 的面积为 AC 故答案为：
9. 解: (1) 如图1中, 作AD⊥BC于D.
∵AB=AC, AD⊥BC, ∴BD=DC, 在 Rt△ACD中,
∵AC=2, ∠C=30° , ∴AD=1, ∴DC=
(2) 如图2中, 将△APB 绕点A逆时针旋转120°得到△QAC. ∵AB=AC, ∠C=30° , ∴∠BAC=120° ,
∴PA=AQ=2, PB=QC= , ∵∠PAQ=120° ,
,
∵∠APQ=30° , ∴∠APC=30°+90° =120° .
(3).如图3中, 将△BCP绕点C逆时针旋转60°得到△CB' P' , 连接PP' , AB' , 则∠ACB' =90° .
∴当A,P,P' ,B'四点共线时，PA+PB+PC的值最小，AB'的长即为所求
的最小值，由AB= , AC=4, ∠C=30° ,可得 BC
故答案为
10解(1) 如图1, 将△PAD绕点A 逆时针旋转90°得△EAB, ∵PA=AE= , ∠EAP=90° , BE=PD=
∴∠PEB=90° , ∵∠AEP=∠APE=45° ,
,
∴∠DPQ=180° -∠APD=45° .
(2).如图2,将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°得△EBQ,连接PQ, AE, 作EF⊥DA交DA 的延长线于 F.
当E、Q、P、D四点共线时, PA+PB+PD 最小, 这个最小值就是线段ED的长..
∵BE=BA, ∠ABE=60°, ∴△ABE是等边三角形,∠EAB=60° , ∴AE=AB=AD, ∠EAD=150° , ∠EAF=30°, 设正方形边长为a, Rt△AEF中, ∵∠F=90° , 在Rt△EFD中,
∴a =4, ∵a>0, ∴a=2, ∴正方形ABCD边长为2.
130.证明: (1) ∵AB=AC, ∠BAC=90° ,
∴∠ABC=∠ACB=45° , ∵把AD绕点A 逆时针旋转90° , 得到AE, ∴AD=AE, ∠DAE=90° =∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE, DE= AD, 又∵AB=AC,
∴△BAD≌△CAE(SAS) , ∴∠ABD=∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°, ∵点F是DE的中点,
理由如下：如下图，连接DG，由(1)可知, ∠DCE=90°, 又∵∠DAE=90°,
∴A、D、C、E 四点共圆, 连接AF, ∴AF=DF=CF
∴AF=CF=FG=DF, ∴ADCG 四点共圆,
∵∠B=45°, ∴△BDG 是等腰直角三角形∴ 又
又∵
(3). 如下图, 将△BPC绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM, 连接PN, ∴BP=BN, PC=NM, ∠PBN=60°,∴△BPN是等边三角形, ∴BP=PN,
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN, ∴当A, P, N, M四点共线时, PA+PB+PC值最小, 此时, 连接AM, AM 即为PA+PB+PC的最小值.
连接MC,将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM,∴BP=BN, BC=BM, ∠PBN=60° =∠CBM,
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN=∠BNP=60°, BM=CM,
∵BM=CM, AB=AC, ∴AM垂直平分BC,
∵AD⊥BC, ∠BPD=60° , ∴BD= PD,
∵AB=AC, ∠BAC=90°, AD⊥BC, ∴AD=BD,
由(1) 可知:
11. (1)证明: ∵OM平分∠AOB, ∴∠AOM=45°,由旋转的意义可知: ∠MON=60°, OM=ON,
∴∠NOA=∠MON-∠AOM=60° -45° =15° ,
∵△AOC为等边三角形, ∴OA=OC, ∠COA=60°,
∴∠CON=∠COA-∠NOA=60° -15° =45° ,
∴∠AOM=∠CON,
在△AMO和△CNO中, ∴△AMO≌△CNO (SAS) .
(2) 解: 点M的坐标为(2, 2) ,理由如下:
∵点 M为∠AOB 平分线上的动点，
∴当AM+BM为最小时，点A、M、B在同一条直线上，当点A、M、B在同一条直线上时，
∵点A的坐标为(0,4), OA=OB, ∴OA=OB=4,
∵OM平分∠AOB, ∴点 M 为为AB的中点,
∴点M的坐标为(2, 2) .
(3)解：点M的坐标为 理由如下：连接MN,过点 M作 ME⊥x轴于点 E,作线段 BM的垂直平分线交x轴于点F, 则BF=MF,
由 (1) 可知: △AMO≌△CNO, ∴AM=CN,由转转的性质可知: OM=ON, ∠MON=60°,
∴△OMN为等边三角形, ∴OM=MN,
∴AM+BM+OM=CN+BM+MN≥CB, ∴当点 B, M, N,C在同一条直线上时，CB 即为AM+BM+OM的最小值.
∵OM平分∠AOB, ∴BOM=45°,
又MF=BF, ∴∠FMB=∠OBM=15°,
∴∠MFE=∠FMB+∠OBM=30° ,设ME=OE=a,
在Rt△MEF中, ME=a, ∠MFE=30° ,
∴MF=2ME=2a, EF=
∴FB=FM=2a,
又∵ 解得：
∴点 M的坐标为
12. (1) 【操作发现】解: 如图, 连接BD.∵△ABC绕点A 顺时针旋转60°, 得到△ADE,∴AD=AB, ∠DAB=60°, ∴△DAB 是等边三角形,∴∠ABD=60°故答案为60.
(2) 【类比探究】证明：如图2中，以PA为边长作等边△PAD, 使P、D分别在AC的两侧, 连接CD.
∵∠BAC=∠PAD=60°, ∴∠BAP=∠CAD,
∵AB=AC, AP=AD, ∴△PAB≌△ACD(SAS),
∴BP=CD, 在△PCD中, ∵PD+CD>PC,又∵PA=PD, ∴AP+BP>PC. ∴PA, PB, PC的长为三边必能组成三角形.
(2) 【解决问题】解: 如图3中, ∵将△APB绕点A 按逆时针方向旋转60°, 得到△AP' C' , ∴△APP' 是等边三角形， 150° ,
∴PP' =AP, ∠AP' P=∠APP' =60° ,
即 即
(4) 【拓展应用】解: 如图4中, 将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,连接PD、BE,则PC=CD,PA=DE.
∵将△APC 绕点 C顺时针旋转60°, 得到△EDC,
∴△APC≌△EDC(旋转的性质), ∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=4, ∠PCD=60°, ∴△PCD是等边三角形
∴PD=PC, ∴PA+PB+PC=PA+PD+DE,当BPDE 四点共线时，有最小值，BE 即为所求.
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30° ,
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30° +60° =90° ,
在Rt△BCE中, ∵∠BCE=90°, BC=5, CE=4,
∴ PA+PB+PC 的最小值为
13 解: (1) 将△BPC绕点 B 顺时针旋转60°得到△BDE, 连接PD, 可得△BPD为等边三角形, 故PD=PB,
由旋转可得DE=PC, 因此 PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE 的长度相等.故答案为：两点之间线段最短，AE.
(2) 如图2, 将△ACP绕点C逆时针旋转60°得到△A'CP '连接PP', A'P', 则A'P'=AP, A'C=AC
由旋转性质可得， 则△PCP'是等边三角形，
当A′、P′、P、B四点共线时,A ′B 即为所求的最小值.
在Rt△ABC中,∠BAC=90° ,∠ACB=30° ,AB=2,
∴AC=2 , CB=4, ∴A'C=AC=2
又∵
∴PA+PB+PC的最小值为 故答案为
(3)如图3中, 将△ADP绕点A 逆时针旋转60°得到△TAH, 连接PH, DT, CT.
∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,
∵∠ABC=60°, ∴△ABC, △ADC都是等边三角形,
∵∠BEC=90°, ∴点 E 在以BC为直径的⊙O 上运动,连接OT, OE, 则
由旋转的性质可知，△PAH，△ADT都是等边三角形，
∴ PA=PH, HT=PD,
∵ OE+PE+PH+TH≥OT, ∴PE+PA+PD≥OT-OE,
∴TE'即为所求的最小值.
∵TA=TD=AC=CD=AD=4, ∴CT⊥AD,
∵AD∥BC, ∴CT⊥BC, CT=4
∴PA+PD+PE的最小值为
14. 解: (1) ∵PC=P'C, ∠PCP'=60° ,
∴△PCP'为等边三角形,
∴PP'=PC, ∠P'PC=∠PP'C=60° ,又∵P'A'=PA, ∴PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B,根据两点之间线段最短可知，当B、P、P'、A'在同一条直线上时, PA+PB+PC取最小值, 最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴∠BPC+∠P'PC=180° , ∠A'P'C+∠PP'C=180° ,
∴∠BPC=120° , ∠A'P'C=120° ,
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A' P' C,
∴△APC≌△A'P'C, ∴∠APC=∠AP'C=120° ,
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°,
∵∠BAC≥120°, ∴BC>AC, BC>AB,
∴BC+AB>AC+AB, BC+AC>AB+AC,
∴三个顶点中顶点A到另外两个顶点的距离和最小，又∵已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点，
∴该三角形的“费马点”为点A.
故答案为：等边；两点之间线段最短；120°；A；
(2) 如图4, 将△APC绕点 C顺时针旋转60°得到△A'P'C, 连接PP',
由(1)可知当B、P、P'、A'在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B，
∵∠ACP=∠A'CP',
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30° ,又∵∠PCP'=60° , ∴∠BCA'=90° ,根据旋转的性质可知: AC=A'C=3,
即PA+PB+PC的最小值为5;
(3)∵总铺设成本
∴当 最小时，总铺设成本最低，如图5, 将△APC绕点 C顺时针旋转90°得到△A'P'C,连接PP', A'B, 由旋转性质可知: P'C=PC, ∠PCP'=∠ACA'=90° , P'A'=PA, A'C=AC=4km,
当 B、P、P'、A'在同一条直线上时, P'A'+PB+PP'取最小值， 即 取最小值为A'B，过点 A'作 A'H⊥BC于 H,
∵∠ACB=60° , ∠ACA'=90° ,
即 的最小值为
∴ 总铺设成本 (元).故答案为：
15. 解: (1) 如图3, 将△APC绕点A 逆时针, 旋转60°得到△AFE, 易知△AFP 是等边三角形, ∠EAB=90° , 在 Rt△EAB中,
∵PA+PB+PC=EF+FP+PB≥BE, ∴PA+PB+PC≥5, BE即为所求的最小值.∴PA+PB+PC 的最小值为5.
故答案为5.
(2) 如图4中, 将△APB绕点A逆时针旋转90°, 得到△AFE,易知△AFP 是等腰直角三角形,∠EAB=135°,作 EH⊥BA交 BA 的延长线于 H. 在 Rt△EAH中,
∵∠H=90° , ∠EAH=45° , AE=AB=2
∴EH=AH=2, 在Rt△EHC中,
EC 即为所求的最小值.
的最小值为
(3)如图5中, 将△APD绕点A 逆时针旋转60°得到△AFE, 则易知△AFP 是等边三角形, 作EH⊥BC于H, 交AD 于 G. ∵PA+PD+PQ=EF+FP+PQ≥EH, 则EH即为所求的最小值.
易知 ∴EH=2+ , ∴PA+PD+PQ的最小值为.

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