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其它类型几何最值常考题
1.如图,在四边形ABCD中, AD∥BC,∠DAB=30° , ∠ADC=60° ,BC=CD=2,若线段MN在边 AD 上运动, 且MN=1, 则 的最小值是 ( )
D. 10
2.如图, ABCD的面积为12, AC=BD=6, AC与BD交于点O, 分别过点C, D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P 是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是( )
A. 1 C. D. 3
3.如图, 在△ABC中, AB=2, ∠ABC=60° , ∠ACB=45° , D是 BC的中点, 直线1经过点 D, AE⊥l, BF⊥l, 垂足分别为E, F, 则AE+BF 的最大值为( )
4.如图,等边△ABC 的边长为3,点D 在边AC上, 线段 PQ 在边BA 上运动, 有下列结论: ①CP 与QD可能相等; ②△AQD与 可能相似；③四边形 PCDQ面积的最大值为 ④四边形PCDQ周长的最小值为 其中，正确结论的序号为 ( )
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
5.如图,矩形ABCD,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .
6.如图,在△ABC中, AB=4, BC=5, 点D、E分别在BC、AC上, CD=2BD, CE=2AE, BE交AD 于点F, 则△AFE 面积的最大值是 .
7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点, C、D是半径为1的⊙O上两动点，且 P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是 ( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
8如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C 的半径为 P为AB边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 .
9如图，在 中， 点E 是BC边上的点，连接AE,过点 E作AE的垂线交 AB边于点 F,则 AF 的最小值为 .
10如图,D是等边三角形ABC外一点. 若BD=8, CD=6, 连接AD, 则AD的最大值与最小值的差为 .
11如图，在 中， P为边AB上一动点，作 于点D, PE⊥AC 于点 E, 则 DE的最小值为 .
12如图,在平面直角坐标系xOy中, A(1,0) ,B(3,0), 点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在 PA的右上方作等边 连接QB，在点P 运动的过程中，线段QB长度的最小值为 .
13如图,直线AB与x轴交于点A(1,0), 与y轴交于点B(0,2), 将线段AB绕点 A 顺时针旋转 得到线段AC，反比例函数 的图象经过点C.
(1)求直线AB和反比例函数 的解析式；
(2)已知点P 是反比例函数 图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标.
14如图，在 中， 以点C为直角顶点，BC为直角边，向下做等腰直角△BCD，则AD的最大值是
15如图, 在平面直角坐标系中, A(4,0)、B(0, - 3), 以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点 P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 .
16在 中，若O为BC边的中点，则必有： 成立.依据以上结论, 解决如下问题: 如图,在矩形DEFG中, 已知DE=4,EF=3, 点P在以DE为直径的半圆上运动，则 的最小值为 .
17如图，在平面直角坐标系中，点P 是以 为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点, 已知A(-1, 0) , B(1, 0) , 连接PA, PB,则 的最小值是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
18如图, △ABC∽△ADE, ∠BAC=∠DAE=90° , AB=8, AC=6, F是DE的中点,若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF 的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 2
1.解: 过B作 于F,过C作CE⊥AD于 E,
要使 的值最小，则BM和BN越小越好，
∴MN显然在点B 的上方(即F在线段MN上时)，符合所求最小值的题意.
设MF=x, FN=1-x,
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∴当 时， 的最小值是 . 故选: B.
2.解: ∵四边形ABCD为平行四边形, AC=BD,
∴OD=OC,
∵DF∥AC, OD∥CF, ∴四边形OCFD为菱形,
∴点 G是CD 的中点,点 P 是四边形OCFD 边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值.过D点作 DM⊥AC于 M, 过G点作 GP⊥AC与P, 则GP∥OD,
∵矩形ABCD 的面积为12, AC=6,
即 解得DM=2,
∵G为CD的中点, ∴GP为△DMC的中位线,
故PG的最小值为1. 故选：A.
3. 解: 如图, 过点 C作CK⊥l于点 K, 过点A 作AH⊥BC于点 H, 在 Rt△AHB中, ∵∠ABC=60°,AB=2, ∴BH=1, AH= , 在Rt△AHC中, ∠ACB
∵点D为BC中点, ∴BD=CD,在△BFD与△CKD中, 易证△BFD≌△CKD(AAS) ,∴BF=CK, 延长AE, 过点 C作 CN⊥AE于点N, 可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN, 在Rt△ACN中,AN4. 解: ①利用图象法可知PC>DQ, 或通过计算可知DQ的最大值为 PC的最小值为 所以PC>DQ, 故①错误.
②设
∵∠A=∠B=60°, ∴当 或 时，△ADQ与△BPC 相似, 即 解得x=1或 或 , ∴当AQ=1或 或 时，两个三角形相似，故②正确
③设AQ=x,则四边形PCDQ 的面积: x的最大值为 时，四边形 PCDQ 的面积最大，最大值 故③正确，
∵四边形PCDQ中, ∴当QD+PC的值最小值时，四边形PCDQ 的周长有最小值.
如图, 作点D 关于AB 的对称点 D' , ∴QD' =QD
作D' F∥PQ, 再截取D' F=PQ, 得 D' FPQ,
∴PF=QD'=QD ∴QD+PC=PF+PC
当F、P、C三点共线, FC 即为QD+PC的最小值。
由题意，
∴四边形 P'CDQ'的周长的最小值 故④错误,故选:②③正确,选 D.
5 解: 如图,取AD的中点H, 连接CH, OH, ∵矩形ABCD, AB=1, BC=2, ∴CD=AB=1, AD=BC=2, ∵点H是AD的中点, ∴AH=DH=1,
点H 是AD的中点， 在△OCH中,CO∴CO的最大值为 故答案为：
6 解: 连接DE.
∴当 时， 的面积最大，最大值 F的面积的最大值 故答案为：
7. 解: 解: 作 连接OP,
为等腰直角三角形，由. 得， 点
为等腰直角三角形，
由题得，当P、O、Q共线时， 最大，
∵P为中点，
故选: D.
8. 解: 连接 CP、CQ, 作 于D， 如图，∵等边三角形ABC 的边长为4，. ∵PQ为⊙C的切线, ∴CQ⊥PQ, 在 Rt△CPQ 中, 当CP最小时，PQ有最小值.
∵点P是AB边上一动点，∴当点 P 运动到D 点时，CP最小，即CP的最小值为CD=2
∴PQ的最小值为 -3=3, 故答案为：3.
9.解：以AF为直径画圆O，当圆O与BC相切于点E时，AF的值最小，
∵BC是圆的切线, ∴OE⊥BC,
∴∠OEB=∠C=90°, ∴AC∥OE, ∴△BOE∽△BAC, 设OA=OF=OE=R, 在 Rt△ACB中, 解得 ∴AF的最小值为 故答案为
10. 解: 如图1, 以CD为边作等边△CDE, 连接BE,∵△CDE 和△ABC是等边三角形,
∴CE=CD, CB=CA, ∠ECD=∠BCA=60°,
∴∠ECB=∠DCA,
在△ECB和△DCA中, 易证△ECB≌△DCA(SAS),
∴BE=AD, ∵DE=CD=6, BD=8,
∴BD--DE≤BE≤BD+DE, 即8-6≤BE≤8+6,
∴2≤BE≤14, ∴2≤AD≤14.
则当B、D、E三点共线时，可得BE的最大值(如图2)是14，与最小值(如图3)别为2.
∴AD的最大值与最小值的差为14-2=12.
故答案为： 12.
11. 解: 解: 如图, 连接CP,
∵ ∠ACB=90°, AC=BC=6,
∵PD⊥BC, PE⊥AC, ∴∠PDC=∠PEC=90°,
∴四边形CDPE 是矩形, ∴DE=CP,
由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，CP有最小值，即为线段DE的最小值，
此时，
∴DE 的最小值为 故答案为：
12. 解: 如图, 将△ABQ绕点A 逆时针旋转60°得到△ACP, 连接BC, ∴△ABQ≌△ACP,
∴AB=AC, BQ=PC, ∠PAQ=∠BAC,
∵△ABC是等边三角形∴∠PAQ=∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形, ∵A(1, 0) , B (3, 0) ,
∴AB=3-1=2, ∴C(2, ), 即点C是定点，
∴当PC最小时, BQ 最小,
∴当PC⊥y轴时, PC 最小, 最小值是2,
∴线段QB 长度的最小值为2. 故答案为：2.
13.解: (1) 将点A (1, 0), 点B (0, 2), 代入y= mx+b, ∴b=2, m=-2, ∴y=-2x+2;
∵过点C作 CD⊥x轴,∵线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC, ∴△ABO≌△CAD (AAS),
∴AD=OB=2, CD=OA=1, ∴C(3, 1) ,
(2)设与AB平行的直线y=-2x+h,联立 当 时， 或- (舍)，此时点 P 到直线AB 距离最短，
解得
14.解：如图，作等腰直角∠ 易证△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,当BE 最大时，AD有最大值。
当B、A、E三点共线时 BE 最大值
∴AD的最大值是
15. 解: 如图, 取点 D (-4, 0) , 连接PD,∵C是 AP 的中点, O是AD的中点, ∴OC 是△APD的中位线， 当PD 最小值时，OC有最小值.连接BD交⊙B 于 Q, DQ 即为PD 的最小值.
∵OD=4,OB=3,在Rt△BOD 中,勾股定理得: BD=5,∴DQ=DB-BQ=5-2=3, 故OC 的最小值为
16.解:设点M为DE的中点,点 N为FG的中点,连接MN交半圆于点 P，此时 PN 取最小值.
∵DE=4, 四边形DEFG为矩形, ∴GF=DE, MN=EF,
∴NP=MN-MP=EF-MP=1,
故答案为： 10.
17. 解: 设P(x, y) , 当点 P 处于 OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，
∴OP 的最小值为CO-CP=3-1=2,
最小值为 故选: C.
18 解: 如图, 连接BD, ∵△ABC∽△ADE,
∴∠ADE=∠ABE, ∴点 A, D, B, E 四点共圆,
∵∠DAE=90° , ∴∠DBE=90° , ∵F是DE的中点,
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵点E是直线BC 上的动点，
∴当 AE⊥BC 时, AE 最小, 此时, DE 最小,
∵∠BAC=90° , AB=8, AC=6,
∴BC=10, 此时,
∴DE=8, ∴BF=4, 故选: B.

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