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选择必修三
第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值. 1.类比归纳的数学素养和逻辑推理素养.
2.学会利用赋值法解决二项式系数和的相关问题. 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.二项式定理
2.二项展开式的通项公式
3.二项式展开式的特征
⑴项数：共有n＋1项;
⑵Tk+1表示的是第k+1项，而不是第k项；
.
Tk+1.
⑶二项式系数:依次为
二项式系数与第k+1项的系数是两个不同的概念.
4.在二项式定理中，若设a=1,b=x.则得到公式：
.
知新探究
(a+b)n展开式的二项式系数
用计算工具计算(a+b)n展开式的二项式系数，并填入下表
有很多有趣的性质, 而且我们可以从不同角度进行研究.
n (a+b)n的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
知新探究
从上表可以发现 , 每一行中的系数具有对称性 , 除此以外还有什么规律
观察上图，你还能发现哪些规律
为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
①在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.即.
知新探究
②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 .即 .
为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
观察上图，你还能发现哪些规律
知新探究
对于确定的n，我们还可以画出它的图像．例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是7个离散点．如图所示.
Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：
对于(a+b)n展开式的二项式系数
还可以从函数角度来分析它们.
{0,1,2，…，n}.
⑴观察上图，你发现了什么规律
⑵请你分别画出n=7 , 8 , 9时f(r)=Cnr 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律
知新探究
直线将函数f(r)=Cnr 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
1.对称性
分析前面这些图形，可以得到二项式系数的以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由Cnm = Cnn-m得到.
你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗？
r=3
知新探究
即.
2.增减性与最大值
∵.
∴当时,即时，Cnk随k的增加而增大.由对称性知，二项式系数的后半部分，即时，Cnk随k的增加而减小.
当n为偶数时，中间一项取最大值；
当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
知新探究
2.增减性与最大值
r=3
二项式系数先增后减，关于 r= 对称.
当时，Cnk随k的增加而增大;当时，Cnk随k的增加而减小.
当n为偶数时，中间一项取最大值；
当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
知新探究
3.各二项式系数的和
已知 .
令x =1，得
.
这就是说，(a+b)n展开式的各二项式系数的和等于2n.
. ①
赋值法
知新探究
【例1】证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和.
分析：由(a+b)n的展开式可知，
奇数项的二项式系数的和为
偶数项的二项式系数的和为
.
.
由于中的a,b可以取任意实数，
实际上，a,b既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的.我们可以根据问题的需要灵活选取a,b的值.
知新探究
【例1】证明：在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明：
因此，
.
即在(a+b)n展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
在展开式，
中，令a=1, b= -1，则得
即,
.
.
赋值法
新知探究
因为，
又.
所以
. ②
令x＝1，得各项的系数之和为5n.
问题：上述结果表明，所有二项式系数之和等于2n，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于2n－1.那么，如何求(3＋2x)n的展开式中各项的系数之和？
赋值法
知新探究
【例2】的展开式中，
⑴求二项式系数之和; ⑵求奇数项的二项式系数之和；
⑶求二项式系数最大的项； ⑷求各项系数和；
⑸分别求所有奇数项系数之和与偶数项的系数之和；
⑹求系数最大的项.
解：
⑴二项式系数之和为.
⑵奇数项二项式系数之和为.
⑷记各项的系数为,令x=1,得
.
⑶展开式共有21项，二项式系数最大的项为第11项，
.
知新探究
【例2】的展开式中，
⑴求二项式系数之和; ⑵求奇数项的二项式系数之和；
⑶求二项式系数最大的项； ⑷求各项系数和；
⑸分别求所有奇数项系数之和与偶数项的系数之和；
⑹求系数最大的项.
解：
⑸令x=-1,得，
又.
⑹由于通项,设第r+1项系数最大，则
.
所以.
解得13≤r≤14,即r=13,14,
所以系数最大的项为第14项和第15项，.
当第r+1项系数最大时，,由此得到关于r的不等式组.
初试身手
1.在二项式的展开式中，
⑴求二项式系数之和； ⑵求各项系数和； ⑶求二项式系数最大的项；
⑷分别求所有奇数项系数之和与偶数项的系数之和；
⑸求系数绝对值最大的项； ⑹求系数最大的项和最小的项.
⑴二项式系数之和为.
⑶展开式共有21项，二项式系数最大的项为第11项，
.
解：
⑵记各项的系数为,令x=1,得
(-1)20=1.
⑷令x=-1,得，
又=1,
所以.
初试身手
1.在二项式的展开式中，
⑴求二项式系数之和； ⑵求各项系数和； ⑶求二项式系数最大的项；
⑷分别求所有奇数项系数之和与偶数项的系数之和；
⑸求系数绝对值最大的项； ⑹求系数最大的项和最小的项.
⑸∵,k=0,1,2,…,20.
∴系数绝对值最大的项为第14项和第15项，.
解：
∴.
⑹∵，,
∴系数最小,系数最大，
即系数最大的项为第15项，；系数最小的项为第14项，.
解得13≤r≤14,即r=13,14,
课堂小结
1.对称性
2.增减性与最大值
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
当n为偶数时，中间一项取最大值；
当n为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.
当时，Cnk随k的增加而增大;当时，Cnk随k的增加而减小.
3.各二项式系数的和
. ①
. ②
二项式系数先增后减，关于 r= 对称.
作业布置
作业： P34 练习 第1,4题
P35 习题6.3 第7，8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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