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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练：二次函数含参数最值问题（分类讨论）
1．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，求m的值．
2．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，求h的值．
3．当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，求a的值．
4．在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．
（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
①求a，c的值；
②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围．
6．已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P．
（1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　 　 ；
（2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值．
7．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当﹣2≤x≤k时，求y的最小值．（可用含k的代数式表示）
8．如图，抛物线L：（b为常数）．
（1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
（2）当抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若0≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围．
9．已知A（a，b），B（m，n），如果点C（x，y）的坐标满足x＝2a+m，yn，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：A（﹣1，3），B（2，5），当C（x，y）满足x＝﹣1×2+2＝0，y5＝65时，则点C（0，6.5）是点A，B的“巧合点”．
（1）已知点A（﹣2，6），B（3，7），点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标．
（2）如果点E（p，q），点F（p+q，p﹣q）的“巧合点”是D（5，5），求点E和点F的坐标．
（3）已知点M（a，b）是直线y＝x上的一动点，点N（m，n）是抛物线y＝x2上一动点，点．Q（x，y）是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由．
（4）在（3）y关于x的函数中，当自变量﹣1≤x≤3时y的最大值与最小值的差为16，求a的值．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
（1）当a＝1时，
①求该抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．
（2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求的最小值．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝x2+mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上．
（1）n＝　 　 （用含m的代数式表示）；
（2）若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；
（3）①设m＝﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y＝x2+mx+n的最小值；
②若﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m的值．
12．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是　 　
（2）求函数在区间上的最小值．
（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值ymin的解析式．
13．假设有两个函数y1＝f1（x），y2＝f2（x），我们约定：如果对于任意的a≤x2≤b，y2＝f2（x），都能找到一点a≤x1≤b，使得y1＝f1（x）＝y2，则称y2＝f2（x）是y1＝f1（x）在a≤x≤b内的“共享函数”．
（1）当﹣1≤x≤2时，令y1＝2x+1，y2＝x2﹣2x，则y2　 　 y1的“共享函数”，y1　 　 y2的“共享函数”（填“是”或“不是”）；
（2）﹣2≤x≤2，令y1＝﹣x2+2x+c+2，y2＝kx+c，且y2是y1的“共享函数”，求k的最大值和最小值；
（3）当﹣1≤x≤2﹣h时，令y1＝﹣5x+1，y2＝﹣x2+2（h+1）x+1﹣2h，且y2 是y1的“共享函数”，求h的取值范围．
14．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P（x，y）的梦想值．记为[P]＝|x|+|y|．
（1）已知第一象限的点A（m，n）是直线y＝2x+2上一点．且[A]＝4，求点A的坐标；
（2）已知点B（t，2t2）在反比例函数y的图象上，且[B]＝3，求反比例函数解析式；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令S＝2b2﹣4a+2017，求S的取值范围．
15．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
16．已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数．
（1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标．
（2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值．
（3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围．
参考答案
1．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，
∴对称轴为直线x＝1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝4；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝﹣；
2．【解答】解：h的值不可能在1到3之间，
当h＜1≤x≤3时，
当x＝1时，y取得最小值5，
（1﹣h）2+1＝5，
h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去），
当1≤x≤3＜h，
当x＝3时，y取得最小值5，
（3﹣h）2+1＝5，
h＝5或h＝1（不合题意，舍去），
故选：B．
3．【解答】解：当y＝15时，有x2﹣4x+3＝15，
解得：x1＝﹣2，x2＝6．
∵当a﹣2≤x≤a时，函数有最小值15，
∴a﹣2＝6或a＝﹣2，
∴a＝8或a＝﹣2，
4．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：
1＝4﹣4t+3，
解得：t＝；
（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t．
若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，
∴t2﹣2t2+3＝﹣2，
解得t＝；
若t＞3，当x＝3时函数取最小值，
∴9﹣6t+3＝﹣2，
解得 （不符合题意，舍去）；
综上所述，t的值为；
（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
5．【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，
∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
∴，
解得a＝﹣1，c＝﹣4；
②∵a＝﹣1，c＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，
∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，
∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2，
∴对称轴为直线x，
∴当x时，函数有最大值为，
∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，
∴实数n的取值范围是n≤4．
6．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P，
∴P（0，t2﹣1）．
∴将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1）．
又∵此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上，
∴（4﹣t）2﹣1＝t2﹣1．
∴t＝2．
故答案为：2．
（2）∵点（m，y），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴，．
∵y1＜y2，
∴m2﹣4m+3＜m2+2m．
∴m．
（3）由题意，①当t＜1时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的最小值为3．
∴（1﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝﹣1或t＝3（舍去）．
②当1≤t≤3时，二次函数的最小值为﹣1，不合题意，舍去．
③当t＞3时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y的最小值为3．
∴（3﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝1（舍去）或t＝5．
综上可知，t的值为﹣1或5．
7．【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当k≤3时，则在﹣2≤x≤k时，y随x的增大而减小，
∴当x≤k时，y有最小值，最小值为y＝k2﹣6k+3；
当k＞3时，则在﹣2≤x≤k时，抛物线的顶点在图象上处于最低点，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为﹣6；
综上所述，y的最小值为k2﹣6k+3或﹣6．
8．【解答】（1）证明：在中，
当y＝0时，得：，
∵，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点，
设的根分别为x1，x2，
∵x1 x2＝﹣12＜0，
∴该一元二次方程有两个异号的实数根，
∴抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧；
（2）解：①抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标为；理由如下：
∵抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m），
∴抛物线L的对称轴为直线，
∴，
∴L1的函数表达式为，
当x＝1时，，
∴抛物线L的顶点坐标为，
当y＝0时，，
解得（负数舍去），
抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②∵与y轴交于点D（0，﹣3），
则点D关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），
∵抛物线L的开口向上，
∴当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是﹣3，
最低点总是，两个点的竖直距离总为，
∴当1≤n≤2时，函数的最大值与最小值的差总为．
9．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，6），B（3，7），点C是点A，B的“巧合点”，
依据“巧合点”的定义得：2×（﹣2）+3＝﹣1，，
∴C（﹣1，10）；
（2）如果点E（p，q），点F（p+q，p﹣q）的“巧合点”是D（5，5），
由题意得，
解得，
∴E（3，﹣4），F（﹣1，7）；
（3）该函数图象有最低点；坐标为；理由见解答过程；理由如下：
∵M（a，b）是直线y＝x上的一动点，点N（m，n）是抛物线y＝x2上一动点，
∴a＝b，n＝m2，
∵Q（x，y）是M，N的“巧合点”，
∴x＝2a+m，，
∴m＝x﹣2a，，
∴，
∴此函数为y关于x的二次函数，开口向上，有最低点，
坐标为；
（4）当2a≤﹣1，即时，﹣1≤x≤3，y随x的增大而增大，
∴x＝﹣1时y有最小值，最小值为，
x＝3时y有最大值，最大值为，
最大值与最小值的差为16时，
解得，
当﹣1＜2a≤1，即时，
y最小值为，
x＝3时y有最大值，最大值为，
最大值与最小值的差为16时，
解得或都不在范围内，均舍去；
当1＜2a≤3，即时，
y最小值为，
x＝﹣1时y有最大值，最大值为，
最大值与最小值的差为16时，
，
解得或（不合题意，舍去）；
当2a＞3，即时，在﹣1≤x≤3，区间y随x的增大而减小，
∴x＝﹣1时y有最大值，最大值为，
x＝3时y有最小值，最小值为，
最大值与最小值的差为16时，
解得（不合题意，舍去），
综上所述，或．
10．【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线解析式为y，
①由抛物线解析式得对称轴为直线x，当x时，y＝b﹣1，
故顶点坐标为（，b﹣1）．
②∵该抛物线与x轴有两个不同交点，
∴Δ＝b2﹣4ac（b﹣2）2﹣b2＝﹣4b+4＞0，
∴b＜1，
又b为自然数，
∴b＝0，
则当b＝0时，x2﹣x12．
（2）把A（0，2﹣m）和B（2，n）分别代入直线y＝ax+m中，
可得m＝1，n＝2a+1，
故A（0，1），B（2，2a+1），
再把A（0，1），B（2，2a+1）代入抛物线中，
得，又因为b＜0，
所以a＝4，b＝﹣2．
故抛物线表达式为y＝4x2﹣4x+1，对称轴为直线x，开口向上，
①当，即时，
即当x时，ymin0；
②当，即时，
即当x＝t+1时，ymin＝4（t+1）2﹣4（t+1）+1＝4t2+4t+1；
③当时，即当x＝t时，ymin＝4t2﹣4t+1．
综上，当时，ymin＝4t2﹣4t+1；当时，ymin＝4t2+4t+1；当时，ymin＝0．
11．【解答】解：（1）∵点A坐标（﹣3，0）代入抛物线y＝x2+mx+n，得9﹣3m+n＝0，
∴n＝3m﹣9．
故答案为3m﹣9．
（2）∵抛物线为y＝x2+mx+3m﹣9＝（x）23m﹣9，
∴顶点为（，3m﹣9），
∴3m﹣93，
整理得m2﹣10m+24＝0，
∴m＝4或6（舍弃）．
∴m＝4，n＝3．
（3）①∵y＝x2﹣2x﹣15＝（x﹣1）2﹣16，
∵﹣3≤x≤0，
∴x＝0时，y的最小值为﹣15．
②∵﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，y＝x2+mx+3m﹣9＝（x）23m﹣9，
当3时，x＝﹣3时，y＝﹣4，
∴9﹣3m+3m﹣9＝﹣4，
无解不合题意．
当﹣30时，x时，y＝﹣4，
∴3m﹣9＝﹣4，
∴m＝2或10（舍弃）
∴m＝2．
当0时，x＝O时，y＝﹣4，
∴3m﹣9＝﹣4，
∴m不合题意舍弃．
综上所述m＝2．
12．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．
函数图大致象如图1所示：
当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．
其顶点横坐标不在区间内，
如图2所示．
当x＝0时，函数y有最小值．
（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．
当x＝t﹣2时，函数取得最小值：
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．
当x＝2时，函数取得最小值：ymin＝﹣8
若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．
当x＝t﹣1时，函数取得最小值：
综上讨论，得．
13．【解答】解：（1）当﹣1≤x≤2时，﹣1≤y1≤5，﹣1≤y2≤3，
∴y2是y1的“共享函数”，y1不是y2的“共享函数”．
故答案为：是；不是．
（2）当﹣2≤x≤2时，c﹣6≤y1≤c+3，﹣2k+c≤y2≤2k+c，
∵y2是y1的“共享函数”，
∴或，
解得：0＜k，k＜0，
∴k的最大值为，k的最小值为．
（3）∵﹣1≤x≤2﹣h，
∴5h﹣9≤y1≤6，h≤3．
①当h+1＜﹣1，即h＜﹣2时，﹣3h2+4h+1≤y2≤﹣4h﹣2，
∵y2 是y1的“共享函数”，
∴，
解得：﹣2≤h（不合题意，舍去）；
②当﹣1≤h+1，即﹣2≤h时，﹣3h2+4h+1≤y2≤h2+2，
∵y2 是y1的“共享函数”，
∴，
解得：﹣2≤h，
∴﹣2≤h；
③当h+1≤2﹣h，即h时，﹣4h﹣2≤y2≤h2+2，
∵y2 是y1的“共享函数”，
∴，
解得：﹣2≤h，
∴h；
④当h+1＞2﹣h，即h≤3时，﹣4h﹣2≤y2≤﹣3h2+4h+1，
∵y2 是y1的“共享函数”，
∴，
解得：h，
∴h．
综上所述：h的取值范围为﹣2≤h．
14．【解答】解：（1）∵第一象限的点A（m，n）是直线y＝2x+2上一点，
∴A（m，2m+2）（m＞0）．
∵[A]＝4，
∴|m|+|2m+2|＝4，即m+2m+2＝4，解得m，
∴A（，）．
（2）∵B（t，2t2），
∴|t|+|2t2|＝3．
当t＞0时，2t2+t﹣3＝0，解得：t＝1或t（舍去），
∴B（1，2）．
∴反比例函数的解析式为y．
当t＜0时，2t2﹣t﹣3＝0，解得：t＝﹣1或t（舍去），
∴B（﹣1，2）．
∴反比例函数的解析式为y．
综上所述，反比例的解析式为y或y．
（3）由题意方程组只有一组实数解，
消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
由题意Δ＝0，
∴（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴4a＝（b﹣1）2，
∴原方程可以化为（b﹣1）2x2+4（b﹣1）x+4＝0，
∴x1＝x2，
∴C（，），
∵2≤[C]≤4，
∴12或﹣21，
解得∴﹣1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴﹣1≤b≤0
∵S＝2b2﹣4a+2017＝2b2﹣（b﹣1）2+2017＝b2+2b+2016＝（b+1）2+2015，
∵﹣1≤b≤0
∴2015≤S≤2016．
15．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
16．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1经过点（4，3），
∴16﹣16m+2m+1＝3，
解得m＝1，
∴y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）∵y＝x2﹣4mx+2m+1＝（x﹣2m）2﹣4m2+2m+1；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，
∵当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，
∴当x＝2m﹣3时，y＝4，
∴（2m﹣3﹣2m）2﹣4m2+2m+1＝4，
整理得：2m2﹣m﹣3＝0，
∴m＝或m＝﹣1，
故m的值为或﹣1；
（3）∵抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1与线段OA恰有一个交点，
∴或．
∴m＞1或m＜﹣．
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