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第一章三角形证明章节期中复习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．12或9 D．11
2．已知a、b、c分别为△ABC的三条边，下列条件不能判别△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．c2﹣a2＝b2
C．∠C﹣∠B＝∠A D．a：b：c＝2.5：6：6.5
3．如图，是屋顶的剖面图，屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，在横梁BC上的一点D处要支一根木头顶住屋顶A处，则这根木头需要长度可能是（　　）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
4．若一个等腰三角形的一个外角为105°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．30° B．30°或70°
C．30°或70°或75° D．30°或75°
5．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　）
A．20 B．21 C．25 D．30
6．如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．30 B．20 C．15 D．10
7．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，点D为BC中点，点P以每秒1个单位的速度从B出发沿B→A→C运动．当△PCD为等腰三角形时，t的值为（　　）
A．或18 B．或18或19
C．或18或19或 D．或18或19或20
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠B＝2∠C，△ABD的周长为12，△ACD的面积为16，则AD的长为　 　 ．
11．直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 　 　 ．
12．等腰三角形腰长为5，腰上的高为4，则这个等腰三角形的底边长为　 　 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为　 　 ．
15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ．
三、解答题
16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB．
（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求CD的长．
17．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？
18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求∠PDE的度数．
（2）若AC＝6，BC＝8，EB＝4.5，求线段PA的长．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长．
21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BD，AO＝CO，E为AD边上一点，且BE＝BA，∠ABD＝2∠ADB＝2α．
（1）求证：BE＝BC；
（2）求∠CBE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）若AC＝2，DE＝2，求OD的长．
22．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
∴这个等腰三角形的周长＝5+5+2＝12；
综上所述：这个等腰三角形的周长为12，
故选：B．
2．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、∵c2﹣a2＝b2，
∴c2＝b2+a2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠C﹣∠B＝∠A，
∴，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵a：b：c＝2.5：6：6.5，设a＝2.5x，b＝6x，c＝6.5x，
∴c2＝42.25x2＝b2+a2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意，
故选：A．
3．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC＝5米，BC＝8米，
∴BHBC＝4（米），
∴AH3（米），
∵AH≤AD＜AC，
∴这根木头需要长度可能是4米．
故选：C．
4．【解答】解：当105°的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣105°＝75°；
当105°的角是等腰三角形底角的外角时，底角的度数为180°﹣105°＝75°，则顶角的度数为180°﹣75°﹣75°＝30°；
所以这个三角形的顶角的度数为30°或75°，
故选：D．
5．【解答】解：由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AB＝2AD＝8，
∵△AEC的周长为17，
∴AC+CE+EA＝17，
∴AC+CE+EB＝17，即AC+BC＝17，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17+8＝25，
故选：C．
6．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥CB，
∴DE＝DC，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB10，
∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积，
∴AC BCBC CDAB DE，
∴AC BC＝BC CD+AB DE，
∴8×6＝6CD+10DE，
解得：CD＝DE＝3，
∴△ABD的面积AB DE10×3＝15，
故选：C．
7．【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示：
∴OP＝OQ，OQ＝OR，
∴OP＝OQ＝OR，
∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置，
∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上．
故选：B．
8．【解答】解：连接AD，如图1所示，
∵AB＝AC，D为BC中点，BC＝10，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝5，
①当点P在BA上时，∠PDC＞∠ADC＝90°，
∴△PCD为等腰三角形时，只有PD＝CD，
∴PD＝BD，
过D作DQ⊥BP于Q，如图2所示，
则有BP＝2BQ，
∵cosB，即，
解得：BQ，
∴BP2，
此时t1；
②当点P在AC边上时，
∵△PCD为等腰三角形，
∴CD＝CP或DP＝CP或CD＝DP，
当CD＝CP＝5时，如图3所示，
t＝（12×2﹣5）÷1＝19；
当DP＝CP时，如图4所示，过P作PQ⊥DC于Q，
则CQCD，
∵cosC，即，
解得：CP＝6，
此时t＝（2×12﹣6）÷1＝18；
当CD＝DP时，如图5所示，过D作DQ⊥CP，
则CP＝2CQ，
∵cosC，即，
解得：CQ，
∴CP＝2，
此时t＝（2×12）÷1，
综上所述，t的值为或18或19或．
故选：C．
二、填空题
9．【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴根据角平分线的性质得，DM＝DN，
∵AB＝8，AC＝6，
∴根据三角形的面积公式得，，即S△ABD：S△ACD的值为4：3．
10．【解答】解：如图：在CD上取一点E，使得AE＝CE，连接AE，
∴∠C＝∠CAE，
∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠AEB，
∴AB＝AE，
由条件可知BD＝DE，
∵C△ABD＝12，
∴C△AED＝AE+AD+ED＝12，
∵AE＝CE，
∴DC+AD＝12，
设AD＝x，则DC＝12﹣x，
∵△ACD的面积为16，
∴，即，解得：x1＝8或x2＝4，
当x1＝8，即AD＝8时，DC＝12﹣x＝4，
∵AD＜AE，AE＝CE，
∴AD＜CE＜CD，
∴AD＝8不符合题意；
当AD＝4时，DC＝12﹣x＝8，
∵AD＜AE，AE＝CE，
∴AD＜CE＜CD，
∴AD＝4符合题意．
故答案为：4．
11．【解答】解：设斜边上的高为h，直角三角形两直角边长分别为3和，
∴斜边长为，
∴，
∴．
故答案为：．
12．【解答】解：如图1，顶角是钝角时，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣42＝9，
所以AD＝3，
DB＝AB+AD＝5+3＝8．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝82+42＝80，
所以BC＝4；
如图2，顶角是锐角时，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣42＝9，
所以AD＝3（负值已舍），
∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝22+42＝20，
所以BC＝2（负值已舍）；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为4或2．
故答案为：4或2．
13．【解答】解：如图，连接BP，
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴BD＝DC，
∴BP＝PC，
∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，
∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，
∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，
令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，
∵BQ'⊥AC，
∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，
即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，
解得a，
∴BQ'，
∴PC+PQ的最小值为，
故答案为：．
14．【解答】解：如图：
如图，当OA＝OP时，可得P1、P2满足条件；
当PA＝PO时，可得P3满足条件；
当AO＝AP时，可得P4满足条件．
满足条件的点P有四个．
故答案为：4．
15．【解答】解：如图，连接AC，
∵S1＝8，S2＝11，S3＝15，
∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15，
在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2+BC2＝26，
∴CD2＝AC2﹣AD2，
∴CD2＝26﹣8＝18，
∴S4＝18，
故答案为：18．
三、解答题
16．【解答】解：（1）∵AE＝AB，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，
∵∠C＝35°，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠AED＝2∠C＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣2∠AEB＝180°﹣140°＝40°；
（2）∵△ABC周长为20cm，AC＝8cm，
∴AB+BC＝20﹣8＝12（cm），
∴AB+BE+EC＝12cm，
∵AE＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∵AB＝AE＝EC，
即2EC+2DE＝12cm，
∴CD＝6cm．
17．【解答】解：（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若AC＝15m，则∠ABC＝90°．
在△ABC中，AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°．
（2）在△ADC中，AD2+AC2＝82+152＝289，DC2＝172＝289，
∴△ADC为直角三角形，且∠DAC＝90°．
∴，
∴114×110＝12540（元）．
答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元．
18．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠C+∠AED＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC；
（2）解：∵∠EAC＝90°，
∴AE2+AC2＝CE2，
∵CE＝CD+DE＝DE+8，
∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC，
∴AD6，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2，
∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2，
解得：DE＝4.5．
19．【解答】解：（1）由条件可知∠A+∠B＝90°，∠A＝∠ADP，
∵EF是线段BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠BDE，
∴∠ADP+∠BDE＝∠A+∠B＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣（∠ADP+∠BDE）＝180°﹣90°＝90°；
（2）连接PE，
∵BC＝8，EB＝4.5，
∴CE＝BC﹣EB＝8﹣4.5＝3.5，ED＝EB＝4.5，
设PA＝PD＝x，则CP＝6﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴（6﹣x）2+3.52＝x2+4.52，
解得，
∴．
20．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴点A和点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AB＝7，AC＝5，
∴，
又∵DE＝DF，
∴DE＝4，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC60°＝30°，
∴AD＝2DE＝2×4＝8．
21．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AO＝CO，
∴BD垂直平分线段AC，
∴AB＝BC，
又∵AB＝BE，
∴BE＝BC；
（2）解：∵BD垂直平分线段AC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ABD＝2∠ADB＝2α，
∴∠CBD＝∠ABD＝2α，∠ADB＝α，
∴∠BAO＝90°﹣2α，∠OAD＝90°﹣α，
∴∠AEB＝∠BAE＝180°﹣3α，
∴∠ABE＝180°﹣2（180°﹣3α）＝6α﹣180°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝4α﹣（6α﹣180°）＝180°﹣2α；
（3）解：如图，连接CE、过点C作CF⊥AD于点F，
∵BD垂直平分线段AC，
∴CD＝AD，∠CDA＝2α，
设AE＝x，则CD＝AD＝x+2，
∵CB＝BE，∠CBE＝180°﹣2α，
∴∠CBE＝∠BEC＝α，
∴∠CED＝180°﹣（180°﹣3α+α）＝2α＝∠CDA，
∴CE＝CD，
又∵CF⊥DE，
∴DF＝EF＝1，
∴AF＝x+1，
∵AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2，
∴（2）2﹣（x+1）2＝（x+2）2﹣12，
解得：x1＝2，x2＝﹣5（舍去），
∴AE＝2，
∴AD＝4，
又∵OAAC，
∴OD．
22．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
即DE×AFBC×AH，
∴AF＝AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF＝∠AGH，
即GA平分∠DGB；
（注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．）
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积＝3，
∵AF，
∴FG3，
解得FG＝4．
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