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二次函数线段和周长最值问题
1已知抛物线 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为( P是抛物线y 上一个动点，则△PMF 周长的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2如图，二次函数 的图象过0(0,0)、A(1, 0)、 三点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点 D，求直线CD的解析式；
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点 P 的坐标.
3如图，抛物线的顶点为 与y轴交于点 点F(2, 1)为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l是过点 且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P (m，n)到直线l的距离为d，求证：
(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使 的周长最小，并求此时 周长的最小值及点Q的坐标.
4如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B(-3，0)两点，与y轴交于C(0， 对称轴为直线x=-1，直线y=-2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F.
(1)求抛物线的解析式和m的值；
(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；
(3) 直线y=1上有M、N两点 (M在N的左侧), 且MN=2,若将线段MN在直线y=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形 MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).
1 解: △PMF周长=FM+FP+MP,
∵F(0, 2) 、M( , 3) ,
∴由两点距离公式可得：FM=2，为定值只有当FP+MP取最小值时，△PMF 周长最小.
∵FP=FD∴FP+MP=PD+MP,当 MPD 三点共线,且垂直x轴时,有最小值,过点M作ME⊥x轴于点E,ME是FP+MP的最小值，∵M( , 3) , ∴ME=3,
∴△PMF周长的最小值=FM+ME=3+2=5. 故选: C.
2.解： (1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式í 解得
故抛物线的表达式为：
(2)由点 B的坐标 知，直线BO的倾斜角为30° , 即∠BOA=30°, ∵BO⊥AD,
则∠BOA+∠BOC=90° , ∠BOC+∠OCA=90° ,
∴∠OCA=∠BOA=30°, 则CD与x轴的夹角为60°,
故设 CD的表达式为： 而OB中点的坐标为
将该点坐标代入CD表达式并解得：
故直线 CD的表达式为：
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(3) 设点 则点 Q (x, -
则 <0，故PQ有最大值，此时点 P 的坐标为
3. (1) 解: 由题意抛物线的顶点A (2, - 1) , 可以假设抛物线的解析式为
∵抛物线经过
∴抛物线的解析式为
(2) 证明: 如图1, 过点 P作 PJ⊥AF于J.
∵P(m,n)
∴d =PF , ∴PF=d.
(3) 如图2, 过点Q作 QH⊥直线l于H, 过点 D 作DN⊥直线l于N. ∵△DFQ的周长=DF+DQ+FQ,
∴ DF是定值
∴DQ+QF 的值最小时, △DFQ的周长最小,由 (2) 可知QF=QH, ∴DQ+QF=DQ+QH,根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH 的最小值, 即为 DN 的值等于 6,
∴△DFQ 的周长的最小值为 此时
4. 解: (1) ∵抛物线的对称轴x=-1, 与x轴的交点为A, B (-3, 0) , ∴A (1, 0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x+3) (x-1) ,把C(0, - 3) 代入得到, a=1,
∴抛物线的解析式为
∵直线y=-2x+m经过点A (1, 0) ,
∴0=-2+m, ∴m=2.
(2)如图1中，存在两种情况：∵直线AF的解析式为y=--2x+2，直线交y轴于D，与抛物线交于点E，
∴D(0,2) , 由 解得： 即点A，或 ∴E(-5, 12) ,
①.过点 E作 EP⊥y轴于 P.
∵∠EPD=∠AOD=90°, ∠EDP=∠ODA,
∴△EDP∽△ADO, ∴P (0, 12) .
②.过点 E作EP'⊥DE交y轴于 P', 同法可证, △P'DE∽△ADO, ∴∠P'=∠DAO, ∴tan∠P'=tan∠DAO, 综上所述,满足条件的点 P的坐标为(0,12)或(0,14.5).
(3)∵E,F为定点,∴线段EF的长为定值,又∵MN=2,∴当EM+FN的和最小时，四边形 MEFN的周长最小，
如图2中，画出直线y=1，将点 F向左平移2个单位得到F' , 作点E关于直线y=1的对称点E' , 连接E' F'与直线y=1交于点 M,过点F作FN∥E' F' 交直线y=1于点 N, 由作图可知, EM=E' M, FN=F' M,∵E' , M, F' 三点共线, ∴EM+FN=E' M+F' M=E'F' , 此时EM+FN的值最小,
∵点F为直线y=-2x+2与x=-1的交点,
∴F(-1, 4) , ∴F' (-3, 4) ,
∵E (-5, 12) , ∴E' (-5, - 10) ,
如图, 延长FF' 交线段EE' 于 H,
∵FF' ∥直线y=1,
在 Rt△HEF中, FH=4, EH=8
同理，在 中，
∴四边形 MEFN的周长的最小值：

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