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平面直角坐标系中动点找规律
1如图，边长为1的正六边形ABCDEF 放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025 次旋转后，顶点 D的坐标为( )
2如图, 在平面直角坐标系中A(-1, 1), B(-1, - 2) , C(3, - 2), D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在 ( )处.
A. (3, 1) B. (-1, - 2) C. (1, - 2) D. (3, - 2)
3如图, 在单位为1的方格纸上, △A A A ,△A A A , △A A A , …, 都是斜边在 x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A A A 的顶点坐标分别为A (2, 0) , A (1, 1) , A (0,0), 则依图中所示规律, A 的坐标为( )
A. (-1008, 0) B. (-1006, 0) C. (2, - 504) D. (1, 505)
4如图，在平面直角坐标系中，将 沿x轴向右滚动到 的位置，再到△ 的位置……依次进行下去, 若已知点A(4,0),B(0,3),则点 的坐标为( )
A. (1200, B. (600, 0) D. (1200, 0)
5在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1，0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转( ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 第二次旋转后得到△A OB ，…，以此类推，则点 的坐标为( )
6如图，在平面直角坐标系中，直线l 与直线 交于点A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线交 l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则点 An的纵坐标为 ( )
7如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A在直线 上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且 顶点C在直线 上， 过点A 作直线l 的垂线，垂足为C ，交x轴于 过点 作 垂直x轴，交 于点 A ，连接 得到第一个 ；过点A 作直线 的垂线，垂足为( 交 x轴于 B , 过点B 作A B 垂直x轴, 交 l 于点A , 连接 得到第二个△ 如此下去，…，则 的面积是 .
8如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1，0)、 (2, 0)、 (2, 1)、 (1, 1) 、 (1, 2) 、 (2,2)……根据这个规律,第2021个点的坐标为 ()
A. (45, 9) B. (45, 4) C. (45, 21) D. (45, 0)
9如图,△ABC是正三角形, 点A在第一象限, 点B(0, 0) 、C(1, 0) . 将线段CA绕点C按顺时针方向旋转120°至CP ；将线段BP 绕点B 按顺时针方向旋转120°至 BP ; 将线段AP 绕点A按顺时针方向旋转120°至AP ; 将线段( 绕点C按顺时针方向旋转120°至 CP ；…以此类推，则点 P 的坐标是 .
10在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为: A (1, 0), A (1, 1) , A (-1, 1), A (-1, - 1) , A (2, - 1),A (2, 2) , …. 若到达终点 则n的值为 .
11如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形( 的两边在坐标轴上，以它的对角线 为边作正方形 再以正方形 的对角线( 为边作正方形 以此类推，则正方形( 的顶点 的坐标是 .
12如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC 是正方形，点A 的坐标为(1，1)，弧 是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧. 是以点O为圆心，( 为半径的圆弧；弧 是以点C为圆心， 为半径的圆弧；弧 是以点A为圆心， 为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心，按上述作法得到的曲线 称为正方形的“渐开线”，则点 的坐标是 .
13如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为(1,0),以( 为直角边作 并使 再以 为直角边作 并使 再以 为直角边作 并使 ·按此规律进行下去，则点 的坐标为 .
14在平面直角坐标系中，点 ·在x轴的正半轴上，点 在直线 上, 若点A 的坐标为(2, 0) , 且 ·均为等边三角形，则点 B 的纵坐标为 .
15如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和 的图象分别为直线 过点 作 x轴的垂线交 l 于点 A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点 A ，过点A 作 x轴的垂线交1 于点A ，过点A 作y轴的垂线交l 于点 A ，……依次进行下去，则点 A 的横坐标为 .
16如图，已知直线 经过坐标原点O，且 与x轴所夹锐角为 与y轴所夹锐角为 在直线 和 之间依次构造正方形 正方形 正方形 正方形 点 点 点 点 点 依次落在直线1 上, 点 点 点 点 依次落在直线 上， 且 则点 的坐标为 .
17如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形( 的直角边OA在x轴上，点 在第一象限，且( 以点 为直角顶点， 为一直角边作等腰直角三角形 再以点 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形( ·依此规律，则点 的坐标是 .
18点 以原点O为圆心， 长为半径画圆弧交x轴于点 再作 轴，交直线l 于点 以原点O为圆心， 长为半径画圆弧交x于点 A ，…按此作法进行下去，则点 A 的坐标是
1解: 如图, 连接AD, BD. 在正六边形ABCDEF中,
在 Rt△AOF中, AF=1, ∠OAF=60° , ∴∠OFA=30° ,
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∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°， ∴6次一个循环，
∵2025÷6=337……3, ∴经过第2025次旋转后, 顶点D的坐标与第三次旋转得到的D 的坐标相同，
∵D与D 关于原点对称，
∴经过第2025 次旋转后，顶点 D 的坐标 故选: A.
2 解:∵A(-1, 1),B(-1, - 2), C(3, - 2),D (3, 1) , ∴AB=CD=3, AD=BC=4,
∴C矩形ABCD=2(AB+AD) =14.
∵2021=288× (14÷2) +1.5+2+1.5,
∴当t=2021秒时, 瓢虫在点 D 处,
∴此时瓢虫的坐标为(3，1).故选：A.
3解：观察图形可以看出A - -A ;A - - - A ; …每4 个为一组, ∵2019÷4=504…3
∴A2019在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵A 、A 、A 的横坐标分别为0, - 2, - 4,
∴A 019的横坐标为
∴A2019的坐标为 ( - 1008, 0) . 故选: A.
4解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C , C , C , …在第一象限, 点 C , C , C , …在x轴上. ∵A(4, 0), B(0, 3), ∴OA=4, OB=3,
∴点 C 的横坐标为4+5+3=12=2×6, 同理, 可得出:点C 的横坐标为4×6, 点C 的横坐标为6×6, …,
∴点 C n的横坐标为2n×6(n为正整数) ,
∴点 C 的横坐标为100×6=600,
∴点 C100的坐标为(600, 0) . 故选: B.
5.解： 由已知可得：
第一次旋转后，A 在第一象限，
第二次旋转后，A 在第二象限，
第三次旋转后，A 在x轴负半轴，
第四次旋转后，A 在第三象限，
第五次旋转后，A 在第四象限，
第六次旋转后，A 在x轴正半轴，
……
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021=6×336+5,
∴A2021在第四象限, 且OA2021=2 2 ,
故选: C.
6.解：联立直线 l 与直线l 的表达式并解得： y= 故
则点 则直线B A 的表达式为： 将点 B 坐标代入上式并解得：直线 B A 的表达式为：y 将表达式y 与直线l 的表达式联立并解得： 即点A 的纵坐标为
同理可得A 的纵坐标为 ， 按此规律，则点 An的纵坐标为 故选: A.
313. 解: ∵AB⊥x轴, ∴点A 的横坐标为
∵直线 ∴点A 的坐标为
∵直线
∴C点的横坐标为：
∴BC∥B C ∥B C ,
7
,
∵AB⊥x轴, A B ⊥x轴,
∵AB⊥x轴, A B ⊥x轴, 轴，
∴△ABC∽△A B C , 且相似比是1∶2同理△ABC∽△A B C , 且相似比是1∶4
故答案为：
8.解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，
∴横坐标以n结束的有n 个点,第2025个点是(45,0),
∴2021个点的坐标是 (45, 4) ; 故选: B.
9解：如图，画出前4次旋转后点 P 的位置，
由图象可得，点P ，P 在x轴正半轴上，
∴旋转3次为一个循环，
∵99÷3=33,
∴点 P99在射线CA延长线上，点 P100在x轴正半轴上，
∵C (1, 0) , △ABC是正三角形,
∴由旋转的性质可得， =2,
∴P (2, 0) , ∴BP =BP =2,
,
∴同理可得, P (8, 0) , P (11, 0) ,
∴P100 (101, 0) , ∴BP100=101,
∴CP =101-1=100,
∴由旋转的性质可得, CP99=100,
∴如图, 过点 P99作 P99E⊥x轴于点 E,
∴点 P99的坐标是
故答案为: (-49, 50 ).
11 解: ∵到达终点 An(506, - 505) , 且此点在第四象限，根据题意和到达位置的坐标可知：A (2， -1)，A (3, - 2) , A (4, - 3) ……,
∵6=2+4× (2-1) ,
10=2+4× (3-1) ,
14=2+4× (4-1) ,
…
n=2+4× (506-1) =2022. 故答案为: 2022.
12 解: 观察, 发现: B (2,2), B (0,4),B (-4, 4), B (-8, 0), B (-8, - 8) , B (0, - 16),B (16, - 16), B (32, 0) , B (32, 32) , …,
(n为自然数).
∵2021=8×252+5,
∴B2021的纵横坐标符号与点 B 的相同，
∴点 B2021的坐标为
故答案为： (-21011, - 21011) .
13. 解: ∵A点坐标为(1, 1) , 且A 为A点绕 B点顺时针旋转90°所得，
∴A 点坐标为(2, 0),
又∵A 为A 点绕O 点顺时针旋转90°所得，
∴A 点坐标为(0, - 2),
又∵A 为A 点绕C点顺时针旋转90°所得，
∴A 点坐标为(-3, 1) ,
又∵A 为A 点绕A 点顺时针旋转90°所得，
∴A 点坐标为(1, 5),
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90° , 且半径为1、2、3、……、n, 每次增加1.
∵2023÷4=505……3,
故A2023为以点 C为圆心, 半径为2022的A2022顺时针旋转90°所得, 故A2023点坐标为(-2023, 1) .
故答案为: (-2023, 1) .
14解: 由题意得,
A 的坐标为(1, 0) ,
A 的坐标为
A 的坐标为
A 的坐标为(-8, 0) ,
A 的坐标为
A 的坐标为
A 的坐标为(64, 0) ,
…
由上可知，A点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，横坐标为 其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，横坐标为2 ,纵坐标为
与第三点方位相同的点在第二象限内，横坐标为 纵坐标为
与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，横坐标为-2” , 纵坐标为0,
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2” ，纵坐标为
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2 ，纵坐标为
∵2019÷6=336…3,
∴点 A 的方位与点A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为 纵坐标为 故答案为：
15 解: 解: 设等边△BnAnAn+1的边长为 an,
∵△BnAnAn+1是等边三角形,
的高为 即 Bn的纵坐标为
∵点A 的坐标为(2, 0) ,
=16, …,
的纵坐标为 当n=2023时, ∴Bn的纵坐标为 故答案为：
16解： 由题意可得， A (-2, 1), A (-2, - 2), A (4, - 2), A (4,4) , …,
可得A n(2 , 2 )∵2018÷4=504…2, ∴A 在第一象限, ∴点 A2018的横坐标为: 21008,故答案为: 2100 .
17.解: ∵l 与x轴所夹锐角为15°, l 与y轴所夹锐角为30°, ∴l 与l 所夹锐角为45°,l 与x轴所夹锐角为60°, ∴△A B O, △A B O, △A B O, …都是等腰直角三角形，
∴点 B2021的坐标为 即 故答案为：
18.解： 由已知，点A 每次旋转转动45°，则转动一周需转动8次，每次转动点A到原点的距离变为转动前的 倍, ∵2021=252×8+4,
∴点 A2021的在第三象限的角平分线上，
故答案为：
324.解: ∵直线的解析式为y=2x, 点 A (1,0) , 且. ⊥x轴, ∴当x=1时, y=2, ∴B (1, 2),
同理可得：
∴点 An的坐标为

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