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三角形相似
1如图, 在 ABCD中, ∠B=60°,AB=18,BC=12, 点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长至点F，使得 连接EC, 以EC, EF为邻边构造 ECGF,连接EG，则EG的最小值为 .
2如图,正方形ABCD的边长为2, 点E是BC的中点, AE与BD交于点 P, F是CD上一点, 连接AF分别交BD,DE于点M,N, 且AF⊥DE,连接PN, 则以下结论中:①F为CD的中点; ②3AM=2DE; ③tan∠EAF= ④PN=2 ⑤△PMN∽△DPE，正确的结论个数是 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE 的延长线上，∠BFE=90°, 连接AF、CF, CF与AB交于G. 有以下结论: ①AE=BC;②AF=CF; ③BF =FG·FC; ④EG·AE=BG·AB.其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4如图, 在 ABCD中, AB=10, AD=15, ∠BAD的平分线交BC于点E, 交 DC的延长线于点F, BG⊥AE于点G, 若BG=8, 则△CEF的周长为( )
A. 16 B. 17 C. 24 D. 25
5如图,△ABC中, ∠A=60° , BM⊥AC于点M, CN⊥AB于点N, BM, CN交于点O,连接MN.下列结论:①∠AMN=∠ABC;②图中共有8对相似三角形;③BC=2MN.其中正确的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
6如图,D是△ABC的边BC上一点, AB=8, AD=4, ∠DAC=∠B. 如果△ABD的面积为15, 那么△ACD的面积为( )
A. 15 B. 10 C. D. 5
7如图, 在四边形ABCD中, AC与BD相交于点O, ∠ABC=∠DAC=90°, 则
8如图,在△ABC中, AC=BC,矩形DEFG的顶点D、E在AB上,点F、G分别在BC、AC上, 若CF=4, BF=3, 且DE=2EF, 则EF 的长为 .
9如图, BC/ 且 AD=BC=4, AB+DE=10. 则 的值为 .
10如图，点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M，N重合)，PQ⊥MN，NE平分∠MNP, 交PM于点E, 交PQ 于点F.
(2) 若 则
11如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90° , AC=3, BC=4, CD⊥AB, 垂足为D, E为BC 的中点, AE与CD交于点F, 则 DF 的长为 .
12在Rt△ABC中, AD平分∠CAB, BE平分∠ABC, AD、BE相交于点F,且 则AC= .
13如图，已知正方形DEFG 的顶点 D、E在 的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 .
14如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C (2, 0) .
(1)当直线AB经过点C时，点O 到直线AB的距离是 ；
(2)设点P为线段OB的中点,连接PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是 .
15如图,在边长为a的等边△ABC中,分别取△ABC三边的中点 A ,B ,C ,得△A B C ;再分别取△A B C 三边的中点A , B , C , 得△A B C ; 这样依次下去…, 经过第2021次操作后得 则 的面积为( )
16如图, 在△ACD中, ,且△DAB∽△DCA, 若AD=3AP,点Q 是线段AB上的动点,则PQ 的最小值是 ( )
D.
17如图,△ABC内接于⊙O, AB为⊙O的直径, D为⊙O上一点 (位于AB下方) ,CD交 AB于点 E, 若. , 则 CE 的长为( )
18如图, 正方形ABCD中, E, F是对角线AC上的两点, 且EF=2AE=2CF,连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则
A. B. C. 1 D.
19由四个全等的直角三角形，和一个小正方形组成的大正方形ABCD，如图所示.过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE 交CG于点H. 若AE=2BE, 则 的值为 ( )
A.
20如图,在△ABC中,BD⊥AB,BD、AC 相交于点D, 则△DBC 的面积是( )
21如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，对角线 AC、BD相交于点O, 过点P分别作AC、BD的垂线,分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N. 下列结论: ①△APE≌△AME; ②PM+PN=AC; ④△POF∽△BNF; ⑤点O在M、N两点的连线上. 其中正确的是( )
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①②③④⑤ D. ③④⑤
22如图,在△ABC中, 点D是AB边上的一点, 且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E, 连接BE, 若∠ACD=∠BED=45° , 且( 则 AB的长为 .
23已知正方形ABCD的边长为3，E为CD上一点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F, 过点D作DG⊥AF, 交AF于点H, 交BF于点G, N为EF的中点, M为BD上一动点，分别连接MC，MN. 若 则 MN+MC 的最小值为 .
24如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 .
25如图， 中， 四边形ABEF是正方形，点D 是直线BC上一点， 且 是线段DE 上一点，且 过点P作直线l与BC平行, 分别交 AB, AD于点G, H, 则GH的长是 .
26如图， 的顶点B在反比例函数 的图象上，顶点C在 x 轴负半轴上， 轴, AB, BC 分别交y轴于点D, E. 若 则
27如图, 在△ABC 和△DEC中, ∠ACB=∠DCE=90° , ∠BAC=∠EDC=60° , AC=2cm, DC=1cm. 则下列四个结论: ①△ACD∽△BCE; ②AD⊥BE; ③∠CBE+∠DAE ；④在△CDE绕点C 旋转过程中，△ABD 面积的最大值为 其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
28如图, 矩形ABCD中, 点E在 BC 边上,且. 于点F，连接DE, BF, BF的延长线交DE 于点O, 交CD 于点G. 以下结论:
①AF=DC, ②OF: BF=CE: CG,③S△BCG=2 S△DFG,④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 .
29如图， 中， 将 绕A 点顺时针方向旋转角 得到 连接 则 与 的面积之比等于 .
30如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF 并延长交BC于点G，若 =1, 则
31如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, 过点B作BD⊥CB, 垂足为B, 且BD=3,连接CD, 与AB相交于点M, 过点M作MN⊥CB, 垂足为N. 若AC=2, 则MN的长为 .
32如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,OD平分∠AOC交AC于点G,OD=OA, BD分别与AC, OC交于点 E, F, 连接AD, CD, 则 的值为 ；若CE=CF, 则 的值为 .
33如图，在菱形ABCD中， C交 BC 的延长线于点 E.连结AE交BD于点F, 交CD于点 G. FH⊥CD于点H, 连结CF. 有下列结论: ②AF =EF·FG; ③FG: EG=4: 5; 其中所有正确结论的序号为 .
34如图，在 中， 垂足为D， ，四边形EFGH和四边形HGNM 均为正方形, 且点E、F、G、N、M都在 的边上，那么 与四边形BCME 的面积比为 .
35如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE 为对角线作正方形BGEF，边EF 与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：①∠ABF=∠DBE; ②△ABF∽△DBE; ③AF⊥BD;④2BG =BH BD; ⑤若CE: DE=1:3, 则BH: DH=17: 16. 你认为其中正确是 . (填写序号)
36如图1，在四边形ABCD中， 点E在边BC上，且 作 交线段AE于点F，连接BF.
(1) 求证:
(2) 若 , 求BE 的长;
(3)如图2，若BF的延长线经过AD的中点M，求 的值.
37如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， . EC与 BD相交于点G，与AD 相交于点F，
(1) 求证:
(2) 若 求AE的长；
(3) 如图2, 连接AG, 求证:
38如图，在四边形ABCD中， ，P为BC边上一点(不与B, C重合) , 连接AP, 过P点作PE交DC于E, 使得
与 相似吗 为什么
(2) 若 求CE的长；
(3)当BP为多少时，CE的长最大 最大为多少
39如图，等腰 中， M为AB的中点，延长CB至N，使 AN与CM交于点P
(1)求 的值；
(2) 求证:
(3) 如果 直接写出CM的长
1 解: 作 CH⊥AB于点H,
在 ABCD中, ∠B=60° , BC=12, ∴CH=6
∵四边形ECGF 是平行四边形, ∴EF∥CG,
∴当 EO取得最小值时，EG 即可取得最小值，
∴当EO⊥CD时,EO 取得最小值,且此时四边形CHEO是矩形，
∴EG的最小值是 故答案为：
2 解: ①∵正方形ABCD的边长为2, 点 E 是BC的中点, ∴AB=BC=CD=AD=2, ∠ABC=∠C=∠ADF=90°,CE=BE=1,∵AF⊥DE,∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°, ∴∠DAN=∠EDC,
在△ADF与△DCE中,
∴△ADF≌△DCE(ASA) , ∴DF=CE=1, AF=DE,
∴DF=CF. 故①正确;
②∵AB∥DF, ∴△ABM∽△FDM,
即3AM=2DE. 故②正确;
③由勾股定理可知：
故③正确，
④如图, 作 PH⊥AN于 H. ∵BE∥AD, 故④正确，⑤∵PN≠DN, ∴∠DPN≠∠PDE, ∴△PMN与△DPE不相似，故⑤错误. 故选: D .
3 解: ①DE平分∠ADC, ∠ADC为直角, 为等腰直角三角形, ∴AD=AE, 又∵四边形ABCD矩形, ∴AD=BC,∴AE=BC, 故①正确。
②∵∠BFE=90° , ∠BEF=∠AED=45° ,∴△BFE为等腰直角三角形, ∴则有 EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°,∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°, ∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中, AE=BC, ∠AEF=∠CBF,EF=BF,∴△AEF≌△CBF(SAS)∴AF=CF. 故②正确。
③假设 则△FBG∽△FCB,
∴∠FBG=∠FCB=45° ,
∵∠BCD=90° , ∴∠DCF=45° , ∵∠CDF=45° ,
∴∠DFC=90°, 显然不可能, 故③错误,
④∵∠BGF=180° -∠CGB, ∠DAF=90°+∠EAF=90°+ (90° -∠AGF) =180° -∠AGF,∠AGF=∠BGC, ∴∠DAF=∠BGF,
∵∠ADF=∠FBG=45°, ∴△ADF∽△GBF,
∵AD=AE, ∴EG·AE=BG·AB, 故④正确, 故选: C.
4 解: ∵在 ABCD中,CD=AB=10,BC=AD=15,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,
∴AB∥DC, ∠BAF=∠DAF, ∴∠BAF=∠F,
∴∠DAF=∠F, ∴DF=AD=15, 同理BE=AB=10,
∴CF=DF--CD=15-10=5;
∴在△ABG中, BG⊥AE, AB=10, BG=8,在Rt△ABG中,
∴AE=2AG=12, ∴△ABE的周长等于10+10+12=32,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CF,
∴△CEF∽△BEA, 相似比为5: 10=1: 2,
∴△CEF 的周长为16. 故选: A.
5.解:∵BM⊥AC,CN⊥AB,∴∠ANC=∠AMB=90°,又∵∠A=∠A, ∴△ABM∽△ACN, ∴ANAM=AC,B,即 又∵∠A=∠A, ∴△AMN∽△ABC,∴∠AMN=∠ABC, 故①正确;
由题可得, △ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM,△AMN∽△ABC, △BCO∽△NMO,
∴图中共有8对相似三角形，故②正确；
∵Rt△ACN中, ∠A=60° , ∴∠ACN=30° ,
又∵△AMN∽△ABC,
即BC=2MN,故③正确.
故选: C.
6解: ∵∠DAC=∠B, ∠C=∠C, ∴△ACD∽△BCA, ∵AB=8, AD=4,
∴△ACD的面积: △ABC的面积
∴△ACD 的面积: △ABD 的面积=1: 3,
∵△ABD的面积为15, ∴△ACD的面积=5. 故选: D.
7解: 如图, 作 BE⊥AC于点 E, 易证△AOD∽△EOB, 设AO=3a, OE=4a, 由题已知的正切值, 易得BE=2AE=14a, 同理CE=2BE=28a,
8 解: ∵DE=2EF, 设EF=x, 则DE=2x,
∵四边形DEFG是矩形,∴GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,
即
∴∠A=∠B,在△ADG和△BEF中,
∴△ADG≌△BEF (AAS) , ∴AD=BE=
在 Rt△BEF中, 即
解得： 或 (舍), 故答案为：
9解: ∵BC∥DE, ∴△ADE∽△ABC, 即 ∴AB·DE=16, ∵AB+DE=10, ∴AB=2, DE=8, 故答案为：2.
10解: (1) ∵MN为⊙O的直径, ∴∠MPN=90°,
∵PQ⊥MN, ∴∠PQN=∠MPN=90°,
∵NE 平分∠PNM, ∴∠MNE=∠PNE,
即
∵∠PNQ+∠NPQ=∠PNQ+∠PMQ=90°,
∴∠NPQ=∠PMQ, ∵∠PQN=∠PQM=90°,
∴①×②得 故答案为：1；
(2) ∵∠PNQ=∠MNP, ∠NQP=∠NPM,
即 设 则
解得， (舍去负值)，
故答案为：
11解: 如图, 过点 F作FH⊥AC于 H.
在Rt△ABC中, ∵∠ACB=90° , AC=3, BC=4,
12
设FH=2k, AH=3k, CH=3-3k,
故答案为
解法二：过E做EM⊥AB，利用平行线等分线段解决问题.(在公众号里配套视频合集里，讲的就是这个方法.)
13 解: 如图, 过点E作EG⊥AD于 G, 连接CF,∵AD, BE 是分别是∠BAC和∠ABC的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,∠CBE=∠ABE, ∵∠ACB=90°,
∴2(∠BAD+∠ABE)=90°, ∴∠BAD+∠ABE=45° ,
∴∠EFG=∠BAD+∠ABE=45°, 在 Rt△EFG中,
EF= , ∴FG=EG=1, ∵AF=4, ∴AG=AF-FG=3，根据勾股定理得，
∵AD平分∠CAB, BE平分∠ABC,
∴CF 是∠ACB的平分线,.
∵∠CAF=∠FAE, ∴△AEF∽△AFC,
故答案为
14 解: 作AH⊥BC于H, 交GF于 M, 如图,∵△ABC的面积是(6,
∴AH=3,设正方形DEFG的边长为x, 则GF=x, MH=x, AM=3-x, ∵GF∥BC, ∴△AGF∽△ABC, 即 解得 即正方形DEFG 的边长为 . 故答案为
15解: (1)当直线AB经过点C时, 点A与点C重合, 当x=2时, y=-2+m=0, 即m=2,
∴直线AB 的解析式为y=-x+2, 则B(0, 2) .
∴OB=OA=2,AB=2 设点O到直线AB的距离为d，由 得 则 故答案是：
(2) 由y=-x+m可得A (m, 0), B(0, m) .
∴OA=OB, 则∠OBA=∠OAB=45° .
当m<0时, ∠APC>∠OBA=45°, 此时∠CPA>45°,故不合题意.
当m>0. 此时存在 ∠CPA=∠ABO=45°, 符合题意.
如图, 作OD=OC=2, 连接CD. 则∠PDC=45°,
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135° ,
即∠OPC=∠BAP, 则△PCD∽△APB, ∴PDAB=CPB,即 解得m=12. 故答案是: 12.
16.解: ∵点A , B 分别为BC, AC的中点,
∴AB=2A B , ∵点A , B 分别为B C , A C 的中点,
∴△A2021B2021C2021的面积 故选: D.
17解: 解得: BD=4(负值舍去),
∴( AB) =AB (AB+BC) , ∴AB=4, ∴AB=BD=4,过B作 BH⊥AD于 H,
∴AP=2,
当PQ⊥AB时, PQ的值最小,
∵∠AQP=∠AHB=90°, ∠PAQ=∠BAH,
18
故选: A.
19解: ∵∠CDB=∠A=45°, ∴∠ABC=∠A=45° ,
∵∠BCE=∠DCB, ∴△BCE∽△DCB,
设DE=x, 则CE=2x,
故选: D.
20 解: 设AB=AD=BC=CD=3a,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠DCF=45° , ∠DAM=∠DCN=90° ,
在△DAE和△DCF中,
∴△DAE≌△DCF (SAS), ∴∠ADE=∠CDF,
在△DAM 和△DCN中,
∴△DAM≌△DCN (ASA) , ∴AM=CN,
∵AB=BC, ∴BM=BN,
∴CN=AM=a, BM=BN=2a,
故选: A.
21.解:如图,过点 G作GT⊥CF交CF的延长线于 T,设BH交CF于 M, AE交DF于 N.
设BE=AN=CM=DF=a,则AE=BM=CF=DN=2a,
∴EN=EM=MF=FN=a, ∵四边形ENFM是正方形,
∴∠EFH=∠TFG=45°, ∠NFE=∠DFG=45°,
∵GT⊥TF, DF⊥DG,
∴∠TGF=∠TFG=∠DFG=∠DGF=45°,
∴TG=FT=DF=DG=a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG, ∴CM: CT=MH: TG=1: 3,
选: C.
C
22.解：如图，过点C作BD的垂线，交 BD 的延长线于点E, 则∠E=90°, ∵BD⊥AB, CE⊥BD,
∴AB∥CE, ∠ABD=90°, ∴△ABD∽△CED,
则
∵∠ABC=150° , ∠ABD=90° , ∴∠CBE=60° ,
故选: A.
23 解: ∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠BAC=∠DAC=45° . ∵在△APE 和△AME中,
∴△APE≌△AME (ASA) , 故①正确;
同理，
∵正方形ABCD中AC⊥BD, 又∵PE⊥AC, PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°, 且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF 是矩形. ∴PF=OE, ∴PE+PF=OA,又∵
∴PM+PN=AC, 故②正确;
∵四边形 PEOF 是矩形, ∴PE=OF, 在 Rt△OPF 中, 故③正确.
∵△BNF 是等腰直角三角形，而△POF 不一定是等腰直角三角形，∴两个三角形不一定相似.故④错误；
连接OM, ON, ∵OA 垂直平分线段 PM. OB 垂直平分线段PN, ∴OM=OP, ON=OP, ∴OM=OP=ON,
∴ 点 M、O、N三点共圆,
∵∠MPN=90° , ∴∠MON=180° , ∴M, O, N共线,故⑤正确. 故选：B.
24. 解: 如图, 延长BE 交AC 于点 F,
则∠FEC=∠ECF=45°, ∴△CEF 是等腰直角三角形, 过点D作DG⊥AC 于点G,∴BF∥DG, ∴DG=2EF =6, GG=CF =3,
在 Rt△ADG中,
25 解: ∵四边形ABCD 是正方形,
∴A 点与 C点关于BD对称, ∴CM=AM,
∴MN+CM=MN+AM≥AN,
∴当A、M、N三点共线时, MN+CM的值最小,
∵AD∥CF,∴∠DAE=∠F,∵∠DAE+∠DEH=90°,
∵DG⊥AF, ∴∠CDG+∠DEH=90° ,
∴∠DAE=∠CDG, ∴∠CDG=∠F,
∵正方形边长为3, ∴CF=6,
在Rt△CEF中,
∵N是EF的中点,
在 Rt△ADE中,
∴MN+MC的最小值为 故答案为：
26.解: 如图, 连接EG, 则∠OEP=90°, 由题意得,小正方形的边长为1，
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠B=∠C=∠A=90° , ∠MQP=90° ,
同理∠EPO=∠CQP=90° -∠QPC,
∴∠BMQ=∠EPO, 又∠OEP=∠B=90° ,
, ∵∠B=∠A=90°, ∠NMQ=90°,∴∠BMQ=∠ANM=90° -∠AMN,在△QBM和△MAN中, 故答案为：
27 解: ∵△ABC中, AC=3, BC=4, AB=5, ∴△ABC为直角三角形，
①.当点 D位于C点左侧时，如图1：设直线l交BE于点 ,又∵四边形ABEF是正方形，且
∴BE=AB=5, ∠EBA=90° , 即 解得：
BM= , ∵∠MGB=∠ABC, ∠EBA=∠ACB=90° ,
解得：
解得：
②当点 D位于 C点右侧时，如图2：与①同理，此时 解得： 综上，GH的长为 或 ，故答案为： 或
28解: 如图, 过点B作 BF⊥x轴于点F. ∵AB∥x轴， 设CO=3a,DE=3b,则AD=2a,OE=2b,∴DBa=
∵反比例函数图象在第一象限，∴k=18，故答案为18.
29解: ∵∠ACB=∠DCE=90° ,
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, ∴∠BCE=∠ACD,
∵∠BAC=∠EDC=60° , AC=2cm, DC=1cm,
∴△ACD∽△BCE, 故①正确;
∵△ACD∽△BCE, ∴∠EBC=∠DAC, 如图, 记BE与AD、AC分别交于F、G,
∵∠AGF=∠BGC, ∴∠BCG=∠BFA=90°,
∴AD⊥BE, 故②正确;
∵∠EBC=∠DAC, ∴∠CBE+∠DAE=∠DAC+∠DAE=∠CAE 不一定等于45°, 故③错误;
如图, 过点C作CH⊥AB于H, ∵∠ABC=30°,
∴D到直线AB的最大距离为 面积的最大值为 故④正确.
故答案为: ①②④.
30. 解: ( 即△ABE是等腰直角三角形, ∴∠BAE=45°,∴∠DAF=90° -45°=45°,即△AFD 为等腰直角三角形, ∴AF=DF, ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠DEC,∵AE=AD, ∴∠AED=∠ADE, ∴∠AED=∠DEC,又∵∠DFE=∠DCE=90° ,DE=DE,∴△DFE≌△DCE (AAS), ∴DF=DC, 即AF=DC, 故①正确;
②由①知△AFD为等腰直角三角形,如图1,作FH⊥AD于 H, 连接CF, ∴点H是AD的中点, ∴点 F 是BG的中点, 即BF=FG=FC, ∵∠AEB=45° ,
∠OEF=90° -∠EDF=90° -22.5° =67.5° ,
∴∠FCG=∠FGC=∠OFE=∠OEF,∴△GFC∽△FOE,
∴OF: FC=EF: CG, 又∵FC=BF, EF=CE,
∴OF: BF=CE: CG, 即②正确;
③令AB=1, 则 ∵∠GBC=∠EDC, ∠DCE=∠BCG=90°,
∴△BCG∽△DCE, ∴BCCG=PCC, 即
由②知, 点F是 BG的中点, 作 FR⊥DC于R, ∴FR∥BC, 即FR 是△GBC的中位线,
成立，即③正确；
④根据角相等可以得出图形中相似三角形如下：△ABE∽△AFD, 这是1对; △ABF∽△OEF∽△ADE, 可组成3对; △BCG∽△DCE∽△DFE, 又可组成3对; △BEF∽△BOE∽△DOG∽△FDG, 还可组成6对,
综上，图形中相似三角形有13对，故④不正确.
故答案为: ①②③.
31.解： 由旋转的性质可知， ∴∠BAB' =∠CAC' , ∵AB=AB' , AC=AC' , 故答案为: 9: 4.
32 解: ∵DE是△ABC的中位线, ∴D、E分别为AB、BC的中点, 如图过D作DM∥BC交AG于点M,
∵DM∥BC,∴∠DMF=∠EGF,∵点F为DE的中点,
∴DF=EF,在△DMF和△EGF中,
∴△DMF≌△EGF(AAS),
∴S△DMF=S△EGF=1, GF=FM, DM=GE,
∵点D为AB的中点, 且DM∥BC, ∴AM=MG,
∵DM为△ABG的中位线,
∴S△BDE=S梯形DMGB=6, ∵DE 是△ABC的中位线,
33 解: ∵∠ACB=90° , BD⊥CB, MN⊥CB,
∴AC∥MN∥BD, ∠CNM=∠CBD,
∴∠MAC=∠MBD, ∠MCA=∠MDB=∠CMN
∴△MAC∽△MBD, △CMN∽△CDB,
故答案为：
34 解: ①在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, O为AB的中点, ∴OA=OC=OB, ∵OD 平分∠AOC,
∴OG⊥AC, 且点 G为AC的中点, ∴OG是△ABC的中位线, ∴OG∥BC, 且 即
②∵OD=OA, ∴OD=OB, ∴∠ODB=∠OBD,∵OG⊥AC, ∴∠DGE=90° , ∴∠GDE+∠DEG=90°, ∵CE=CF, ∴∠CEF=∠CFE,
∵∠CEF=∠DEG,∠CFE=∠OFB,∠ODB=∠OBD,
∴∠OFB+∠OBD=90°,∴∠FOB=90° ,即CO⊥AB,
∴△OBC是等腰直角三角形， .
由 (1) 知, OG∥BC∴△BCF∽△DOF,
故答案为：
35解: ∵四边形 ABCD 是菱形,
∴对角线 BD所在直线是菱形ABCD的对称轴，沿直线
BD对折, A与C重合, ∴AF=CF, 故①正确,
同理根据对称性, 得∠FAD=∠FCD, 又∵AD∥BC,
∴∠FAD=∠FEC, ∴∠FCD=∠FEC,
又∠CFG=∠EFC, ∴△CFG∽△EFC,
故②正确，
∵菱形ABCD中, ∠BAD=120°,
∴∠BCD=120° ,∠DCE=60° ,∠CBD=∠CDB=30° ,AD=CD=BC, 设AD=CD=BC=m,
∵DE⊥BC, ∴∠DEC=90°,
Rt△CDE中,
设AF=2n, 则CF=AF=2n, EF=3n, 又(
故③正确，
设 中, CD=2t=AD, DE= t,Rt△BDE中,
Rt△DFH中,
Rt△ADE中, 勾股定理得:
中， 故④正确, 故答案为: ①②③④.
36解: ∵四边形 EFGH和四边形 HGNM均为正方形,
∴EF=EH=HM, EM∥BC, ∴△AEM∽△ABC,
∴△AEM 与四边形 BCME 的面积比为1: 3,故答案为: 1: 3.
37. 解: ①∵正方形ABCD 和正方形BGEF,
∴△ABD和△FBE 都是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠FBE=45°, ∴∠ABF=∠DBE;
∴①正确，符合题意；
②∵△ABD和△FBE 都是等腰直角三角形, 又∵∠ABF=∠DBE,
∴△ABF∽△DBE, ∴②正确, 符合题意;
③∵△ABF∽△DBE, ∴∠FAB=∠EDB=45°,∴AF⊥BD; ∴③正确, 符合题意;
④∵∠BEH=∠EDB=45°, ∠EBH=∠DBE,
∴④正确，符合题意；
⑤∵CE: DE=1: 3, ∴设CE=x, DE=3x, ∴BC=4x, 在 Rt△BCE中, 由勾股定理知:
∴⑤错误，不符合题意；故答案为：①②③④.
38. 解: (1)如图1,∵AE∥CD,∴∠AEB=∠BCD,
∵∠ABC=∠BCD, ∴∠ABC=∠AEB, ∴AB=AE,
∵DE∥AB, ∴∠DEC=∠ABC, ∠AED=∠BAF,
∵∠ABC=∠BCD, ∴∠DEC=∠BCD, ∴DE=DC,
∵CF∥AD, AE∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形,
∴AF=CD, ∴AF=DE, 在△ABF 和△EAD中,
(2) 由 (1) 知△ABF≌△EAD, ∴∠ABF=∠EAD,
∵∠EAD=∠CFE, ∴∠ABF=∠CFE,
∵∠ABC=∠AEB, ∠ABC=∠ABF+∠EBF,∠AEB=∠CFE+∠ECF, ∴∠EBF=∠ECF,
∵∠BAE=∠AED=∠ECF, ∴∠EBF=∠BAE,
∵∠BEF=∠AEB, ∴△BEF∽△AEB,
即BE4= BE, ∴BE=6;
(3) 如图, 延长BM、ED交于点 G,
∵△ABE,△DCE 均为等腰三角形,且∠ABC=∠DCE,
设 则AB=AE= ax, AF=CD=a, BE= bx,
∴EF=AE-AF= ax--a=a (x-1) ,
∵AB∥DG, ∴∠ABG=∠G
∵AD的中点 M, ∴AM=DM,
∵∠AMB=∠DMG, ∴△AMB≌△DMG(AAS) ,
∴DG=AB= ax, ∴EG=DG+DE= ax+a=a(x+1) ,
∵AB∥DG(即AB∥EG), ∴△ABF∽△EGF,
即
解得： 或 (舍去) ,
39. (1) 证明: ∵四边形ABCD是矩形, 点E 在BA的延长线上, ∴∠EAF=∠DAB=90° , 又∵AE=AD, AF=AB, ∴△AEF≌△ADB(SAS), ∴∠AEF=∠ADB,∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90° ,即∠EGB=90°, 故BD⊥EC,
(2) 解: ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AE∥CD,
∴∠AEF=∠DCF, ∠EAF=∠CDF,
∴△AEF∽△DCF, 即AE·DF=AF·DC,设AE=AD=a(a>0) , 则有a·(a-1) =1,化简得 解得 (舍去负值)，
(3) 证明: 如图, 在线段EG上取点 P, 使得EP=DG,
在△AEP与△ADG中, AE=AD, ∠AEP=∠ADG, EP=DG,∴△AEP≌△ADG(SAS), ∴AP=AG, ∠EAP=∠DAG, ∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°, ∴△PAG为等腰直角三角形,
40.解: (1) ) △ABP 与△PCE相似; 理由如下:
∵∠APE=∠B=∠C=60° ,
∴∠BPA+∠EPC=∠EPC+∠PEC=120°,
∴∠BPA=∠PEC, ∴△ABP∽△PCE;
(2) 由 (1) 可知:△ABP∽△PCE, ∵BC=7, BP=5, ∴PC=BC-BP=7-5=2, 解得：
(3) 设BP=x(0由 (1) 可知△ABP∽△PCE,
∴当 时，y有最大值
∴当BP为 时，CE的长最大，最大为
41. 解: (1) 如图1, 作 ND∥PM交AB 延长线于D,则∠DNB=∠MCB,
在△MBC与△DBN中:
∴△MBC≌△DBN (ASA) , ∴BM=BD=AM,
(2) 如图2, 延长AB至Q, 使BQ=AB, 连接CQ,在△ANB与△QBC中,
∴△ANB≌△QBC(SAS) , ∴∠BAN=∠Q,
∴AP∥CQ, 设AM=a, 则AB=AC=2a,
∴AC =4a , ∵AQ=4AM=4a, ∴AM·AQ=4a ,
∴AC =AM·AQ, ∵∠CAM=∠QAC,
∴△ACM∽△AQC, ∴∠ACP=∠Q,
∵AP∥CQ, ∴∠PAM=∠Q, ∴∠ACP=∠PAM,
∵∠APM=∠CPA, ∴△APM∽△CPA,
(3) ∵ANPN= , AN=6, ∴PN=4, ∴AP=2,
设PM=x, CM=3x,由AP =PM·PC, ∴4=x(x+3x), ∴x=1, ∴CM=3.

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