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二次函数特殊平行四边形存在性问题
1在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A(-3,0), B(4, 0)两点，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线 与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点 E.若M(m，0)是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点 F，交直线AD 于点G, 交直线BC 于点 H.
①当点 F 在直线AD上方的抛物线上，且 时，求m的值；
②在平面内是否存在点 P，使四边形EFHP 为正方形 若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
2如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A、B,与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE，求 面积的最大值；
(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 Q的坐标.
3如图，抛物线 与x轴交于点 点 且 OC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，且 求点P的坐标；
(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为 点 D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值；
②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF 为矩形.
4如图， 已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P 是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为 设其顶点为M，其对称轴交AB于点 N.
①求点 M、N的坐标;
②是否存在点 P，使四边形MNPD为菱形 并说明理由；
(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似 若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.
5如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.
(1) 求A, B, C三点的坐标;
(2) 连接AC, 直线 与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD. 当( 时，求线段DE的长；
(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
6如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 连接AC, BC.
(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式.
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC 于点 D.
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N.当 时，请直接写出DM的长.
7如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的边BC 在 x轴上， 以A为顶点的抛物线 经过点C(3, 0) , 交y轴于点E (0, 3) , 动点P在对称轴上.
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点 P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点 Q，连接AQ，CQ，当t为何值时， 的面积最大 最大值是多少
(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.
8已知抛物线F： 的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为
(1)求抛物线F的解析式；
(2) 如图1, 直线l: 与抛物线F 相交于点 A (x ,y )和点B(x , y ) (点A在第二象限) , 求: 的值(用含m的式子表示)；
(3) 在 (2) 中, 若 设点A'是点A关于原点O的对称点，如图2.
①判断△AA'B的形状，并说明理由；
②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
9如图，二次函数 的图象交x轴于点A (-3, 0) , B (1, 0) , 交y轴于点 C.点 P (m,0)是x轴上的一动点, 轴，交直线AC 于点 M，交抛物线于点 N.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形.若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
10.如图，一次函数 图象与坐标轴交于点A、B，二次函数 图象过A、B两点.
(1)求二次函数解析式；
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形 若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.
1 解: (1) ∵抛物线 交x轴于A(-3, 0), B (4, 0) 两点,
(2) ①如图1, ∵B (4, 0) , C (0, 4) ,
∴设BC的解析式为:y= kx+n,则 解得
∴BC的解析式为：
解得: x=1, ∴E(1,3), ∵M(m, 0), 且MH⊥x轴,
和△OEG 的水平宽度相同，
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解得：
②存在, 由①知: E (1, 3), 且
∴过点E 作 AB 的平行线，与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点 F.
∴FH=EF, ∠EFH=∠FHP=∠HPE=90°,
∵M(m, 0) , 且MH⊥x轴,
分两种情况：
第一种情况: 当-3≤m<1时, 如图1, 点F在EP的左侧，
解得： (舍) , m2
第二种情况：当12. 解: (1) ∵OA=1, ∴A(-1, 0) ,又∵对称轴为x=2, ∴B (5, 0),将A，B代入解析式得： 解得
(2) 由(1)得:C(0, ), D(2, ),∴由两点距离公式可得： 故答案为 (3) ∵B(5,0), C(0, ),
∴直线 BC的解析式为： 设 且0如图, 作EF⊥x轴交 BC 于点 F, 则
当 时，S△BCE有最大值为
(4).设P(2, y), Q (m, n), 由(1)知B(5,0),C(0, ),分三种情况讨论：
①若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得： 解得：
又∵∠BPC=90°, ∴PC +PB =BC ,
即：
解得y=4或 或n=4,
或Q(3,4),
②若 BP 为矩形的对角线 ， 由中点坐标公式得 解得：
又∵∠BCP=90°, BC +CP =Bp
即：
解得 ∴Q(7, 4),
③.若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得： 解得：
又∵∠BCQ=90°, ∴BC +CQ =BQ ,
即：
解得
综上，点Q 的坐标为 或(3, 4) , 或(7, 4)或
解法二，也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。
3. 解: (1) ∵抛物线与x轴交于点A (-1, 0) ,点B (-3, 0) ∴设交点式y=a(x+1) (x+3)
∵OC=OB=3, 点C在y轴负半轴, ∴C(0, - 3)
把点C代入抛物线解析式得: 3a=-3, ∴a=-1
∴抛物线解析式为y= - (x+1) (x+3) =-x -4x-3
(2)如图1, 过点A作AG⊥BC于点G, 过点 P作P⊥x轴于点 H, ∴∠AGB=∠AGC=∠PHO=90°
∵∠ACB=∠POB,∴△ACG∽△POH,∴AG/PH=CG/OH,
∴△ABG 是等腰直角三角形，
设
①当p<-3或-1解得：
或
②当-30时,点P在AB之间或在点 C右侧，横纵坐标异号
解得：
∴P (-2, 1) 或
综上所述，点P 坐标为 或 或(-2,1)或
(3)①如图2,∵x=m+4时,
∴M(m, - m -4m-3) , N(m+4, - m -12m-35)
设直线 MN解析式为y=kx+n
解得：
∴直线 MN:
设D (d, - d -4d-3) (m∵DE∥y轴, ∴E(d, (-2m-8) d+m +4m-3)
=--[d - (m+2) ] +4
∴当d=m+2时, DE 的最大值为4.
②如图3, ∵D、F关于点E对称, ∴DE=EF,
∵四边形 MDNF 是矩形,
∴MN=DF, 且MN与DF互相平分
E为MN中点,
由①得当d=m+2时, DE=4, ∴MN=2DE=8
解
得：
或 时，四边形 MDNF为矩形.
4. 解:
∴顶点为M的坐标为
当 时， 则点N坐标为( ,3);
②不存在.理由如下：
设P点坐标为(m, - 2m+4),则. ∵PD∥MN,
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即 解得 (舍去), 此时P 点坐标为
∴由两点距离公式可得： PN= , ∴PN≠MN,
∴平行四边形 MNPD 不为菱形，
∴不存在点 P，使四边形 MNPD 为菱形；
(2) 存在. 由题意知: A (2, 0) , B (0, 4)
∴ OB=4, OA=2, 则.
当x=1时, y=-2x+4=2, 则P (1, 2) ,∴由两点距离公式可得： 设抛物线的解析式为 把A(2, 0) 代入得44a+2b+4=0, 解得b=-2a-2,∴抛物线的解析式为 当x=1时, 则D (1, 2-a) , ∴PD=2-a-2=-a,
∵DC∥OB, ∴∠DPB=∠OBA,
如上图，分两种情况讨论：
①.当 时, △PDB∽△BOA, 即 解得a=-2，此时抛物线解析式为
②.当 时, △PDB∽△BAO, 即 解得 此时抛物线解析式为 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：
或
5 解: (1) 在 中, 令y=0, 得 -8=0, 解得: x =-4,x =2, ∴A(-4, 0), B(2,0) , 令x=0, 得y=-8, ∴C(0, - 8) ;
(2) 如图1, 设直线AC的解析式为y= kx+b,
∵A (-4, 0) , C(0, - 8) ,
解得： ∴直线AC 的解析式为y=-2x-8,
∵直线x=m(-4交于点D, ∴E(m, m +2m-8), D(m, - 2m-8) ,
设DE交x轴于点F, 则 F(m, 0), ∴OF=-m,
∴AF=m - (-4) =m+4, DF=2m+8,
∵OD⊥AC, EF⊥OA,
∴∠ODA=∠OFD=∠DFA=∠AOC=90° ,
∴∠DOF+∠COD=∠OCD+∠COD=90° ,
∴∠DOF=∠OCD, ∴△ACO∽△DOF,
∴8(2m+8) =4(-m) , 解得:
(3)存在，N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N 抛物线对称轴为直线
∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：CM对角线，或CN为对角线，或CP为对角线，
①如图2，当CP为对角线时 为对角线)，
∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N(-1， -6)，由两点距离公式可得：
②如图3，当CN为对角线时，
设 则
解得：
③.如图4, 当CM对角线(CM )时, PN与CM互相垂直平分，设 则N(1, b), M(0, 2b+8),∵N(1, b)在直线 上，
综上所述，点M的坐标为：
6. 解: (1) 当y=0时,
解得x =-6, x =2, ∴A(-6, 0) , B(2, 0) ,当x=0时, y=-6, ∴C(0, - 6) ,
∵A(-6, 0), C(0, - 6) ,
∴直线AC的函数表达式为y=-x-6,
∵B(2, 0) , C(0, - 6) ,
∴直线 BC的函数表达式为y=3x-6;
(2) ①存在: 设点D 的坐标为(m, - m-6) , 其中-6∵DE∥BC, ∴当DE=BC时, 以点 D, C, B, E为顶点的四边形为平行四边形，现在分分两种情况讨论：
第一种情况：如图1中的E1，当BD=BC时， 四边形BDEC为菱形,∴BD =BC , ∴ (m-2) +(m+6) =40, 解得:m =-4, m =0(舍去) ,
∴点 D 的坐标为(-4, - 2) ,
∵点B 点向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C
∴ 点 D 向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点 E, ∴点E的坐标为(-6, - 8) ;
第二种情况，如图2，当CD=CB时，四边形CBED为菱形，
解得： (舍去),
∴点 D 的坐标为
∵ 点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B，
∴点D 向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点 E 的坐标为
综上，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为 ( - 6, - 8) 或
②.如图3, 设点D的坐标为(m, - m-6) , 其中-6∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∵直线BC的函数表达式为y=3x-6, 直线l∥BC,
∴设直线l的解析式为y=3x+b,
∵点D的坐标(m, - m-6) ,
∴b=-4m-6, ∴ 直线l的解析式为y=3x-4m-6,
∴当x=-2时, y=-4m-12 ∴ M(-2, - 4m-12) ,
∵抛物线的对称轴与直线AC交于点 N.
∴N(-2, - 4) , ∴MN=-4m-12+4=-4m-8,
整理得： 解得: m =-5,m =1(舍去),∴点D 的坐标为(-5, - 1) , ∴点M 的坐标为(-2,8)， ∴由两点距离公式得： 故DM的长为
7.解： (1)将点 C、E的坐标代入二次函数表达式得： 解得：
故抛物线的解析式为： 则点A (1, 4);
(2) 设直线AC的解析式为: y= kx+h, 由题意可得: 解得： ∴直线AC的表达式为：
y=-2x+6, 点 P (1, 4-t) , 则点 设点
故S△ACQ有最大值,
∴ 当t=2时,其最大值为1;
(3) 设点P (1, m), 点M(x, y), 分两种情况讨论:
①当EC是菱形一条边时，当点 M在点 P 右方时，如图1中的M1.
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点 P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3=x=4, m-3=y, 即M(4, m-3)
而MP=EP得: 1 解得： 故点
当点 M在点 P 左方时，如图1中的 M2.
同理可得：点.
②如图2，当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点, ,则x+1=3, y+m=3,
而PE=PC, 即 解得: m=1,故x=2, y=3-m=3-1=2,故点 M (2, 2);
综上所述, 点M(4, ) 或( 或M(2,2) .
8. 解: (1) ∵抛物线 的图象经过点 (0，0)和解得： ∴抛物线 F的解析式为
(2) 将 和 联立方程组，解得：
∴点 A 的坐标为 点B的坐标为 ∵点A'是点A 关于原点O的对称点，∴点A'的坐标为
①△AA'B为等边三角形，理由如下：
∴分别有两点距离公式可得：
∴AA' =AB=A' B, ∴△AA' B为等边三角形.
②∵△AA'B为等边三角形，∴存在符合题意的点 P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形
设点 P 的坐标为(x，y).现在分三种情况讨论：
第一种情况：当A'B为对角线时，
解得：
∴点 P 的坐标为
第二种情况：当AB为对角线时，有
解得： . .点 P 的坐标为
第三种情况：当AA'为对角线时，有
解得： ∴点 P的坐标为
综上所述：平面内存在点 P，使得以点A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为 (- 和
9. 解: (1)把A(-3,0), B(1,0)代入 中，得： 解得
(2)①设直线AC的表达式为y= kx+b' ,把A(-3,0),C(0, - 3) 代入. 得
解得：
∵点 P (m, 0) 是x轴上的 一动点, 且PM⊥x轴.
∴M(m, - m-3) , N(m, m +2m-3) ,
∴.此函数有最大值.
又∵点 P 在线段OA 上运动，且
∴当 时，MN有最大值
(3).存在，分三种情况讨论：
①.如图1中, 当点M在线段AC上, MN=MC, 四边形MNQC 是菱形时.
解得 或0(舍弃)
②.如图2中，当 MC 是菱形的对角线时，四边形 MNCQ是正方形, 此时CN=MN=CQ=2,可得Q (0, - 1) .
③.如图3中, 当点 M在CA延长线上时, MN=CM, 四边形MNQC 是菱形时，则有， 解得 或0(舍弃),
当点 P在y轴的右侧时，显然MN>CM，此时满足条件的菱形不存在.
综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为 或(0, - 1) 或(0, 3-1).
10.解:(1)在 中,令x=0得y= - 令y=0得x=3, ∴A(3, 0) , B(0, - ) ,∵二次函数 图象过A、B两点， 解得：
∴二次函数解析式为
(2)存在，理由如下：由二次函数 可得其对称轴为直线 设P(1,m), 而 ∵C与B关于直线x=1对称， ①当BC、PQ为对角线时, 如图1:
此时BC的中点即是PQ的中点，而此时的Q 点即为抛物线的顶点 且此时
∴四边形BQCP 是菱形，∴此时
②BP、CQ为对角线时, 如图2中的Q2, 同理BP、CQ中点重合，可得：
解得： ∴当P(1,0), Q (-1, 0)时，四边形BCPQ是平行四边形，由.P (1, 0) , B (0, - ) , 可得：
∴四边形BCPQ是菱形, ∴此时Q (-1, 0) ;
③以BQ、CP为对角线，如图2中的Q3(此时与A 点重合) , RO CP中占重合, 可得.
解得：
∴P (1,0) , Q (3, 0)时, 四边形 BCQP 是平行四边形, 由P(1,0) , B(0, - ) , C(2, - 可得： ∴四边形BCQP 是菱形,
∴此时 Q (3, 0) ;
综上所述，Q的坐标为： 或(-1, 0)或(3, 0) .

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